广东历年高考文科数学试题及答案
2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答
一、选择题
1.已知集合,,则=
A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}
【解析】,故,选(C).
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
A．-2 B． C. D．2
【解析】,依题意, 选(D).
3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C．单凋递增的偶函数 D．单涮递增的奇函数
【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).
4．若向量满足,与的夹角为,则
A． B． C. D．2
【解析】,选(B).
5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
【解析】依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).
6.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
【解析】逐一判除,易得答案(D).
7.图l是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A：、…、A，。(如A：表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6
【解析】身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数为,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).
8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
【解析】随机取出2个小球得到的结果数有种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为共3种,故所求答案为(A).
9．已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为
【解析】依题意,结合可得,易得,故选(A).
10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给
A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将
A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,
但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少
的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设的件数为(规定:当时,则B调整了件给A,下同!),的件数为,的件数为,的件数为,依题意可得,,,,
从而,,,故调动件次,
画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).
二、填空题:
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．
【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.
12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．
【解析】由可得,答案:.
13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项满足5
β),是的导数,设 (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和.
【解析】(1)求根公式得, …………3分
(2)………4分 ………5分 ……7分
……10分
∴数列是首项,公比为2的等比数列………11分
∴………………………………………………………14分
21．已知是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求的取值范围.
【解析】若,则,令,不符题意, 故………2分
当在 [-1,1]上有一个零点时,此时或………6分
解得或 …………………………………………………………………8分
当在[-1,1]上有两个零点时,则………………………………10分
解得即………………12分
综上,实数的取值范围为. ………………………………14 分
(别解:,题意转化为知求的值域,
令得转化为勾函数问题.)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科）B
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件互斥，那么．
一、选择题：
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行．若集合{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．记等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
5．已知函数，，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B． 最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
6．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
8．命题“若函数，在其定义域内是减函数，则”的逆否命题（ ）
A．若，则函数（，）在其定义域内不是减函数
B．若，则函数（，）在其定义域内不是减函数
C．若，则函数（，）在其定义域内是减函数
D．若，则函数（，）在其定义域内是减函数
9．设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（一）必做题（11~13题）
图3
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0
45
55
65
75
85
95
产品数量
频率／组距
11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是 ．
12．若变量满足则的最大值是
13．阅读图4的程序框图，若输入，，则输出 ， ．
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
开始
n整除a?
是
输入
结束
输出
图4
否
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选择一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．
三、解答题：
16．已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
17．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用）
18．C
P
A
B
图5
D
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，．
（1）求线段的长；
（2）若，求三棱锥的体积．
19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
男生
377
370
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知，，求初三年级中女生比男生多的概率．
20．设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
A
y
x
O
B
G
F
F1
图6
21．设数列满足，，．数列满足，是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
2008年普通高考广东卷数学（文科）（B卷）参考答案
一、选择题：C C B B D C A A A D
二、填空题：11．13 12．70 13．12，3 14．， 15．
三、解答题
16．解：（1）依题意知
，又；
，即 因此；
（2），，且
，
；
17．解：设楼房每平方米的平均综合费为元，则
令得
当时，；当时，
因此当时，取最小值
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
18．解：（1）是圆的直径
，又，
，；
（2）在中，
，又
底面
三棱锥的体积为
19．解：（1），
（2）初三年级人数为，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生男生数记为；
由（2）知，且，
基本事件空间包含的基本事件有： ，，，，共11个
事件包含的基本事件有：，，，，共5个．
．
20．解：（1）由得
当时，，点的坐标为
，
过点的切线方程为，即，
令得，点的坐标为；
由椭圆方程得点的坐标为， ，即，
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和．
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，
以为直角的只有一个，
同理以为直角的只有一个；
若以为直角，设点的坐标为，则坐标分别为
由得，
关于的一元二次方程有一解，有二解，即以为直角的有二个；
因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形．
21．解：（1）由得（）
又，
数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由得，由得，
同理可得当为偶数时，；当为奇数时，；
因此
（2）
．
当为奇数时，
．
当为偶数时，
．
令，………………………①
①得：………………②
①②得：
，
．
因此
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科）
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题：
1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是
2.下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是
A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5
3.已知平面向量a= ，b=， 则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
4.若函数是函数的反函数，且，则
A． B． C． D．2
5.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
A. B. C. D.2
6.给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7.已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b=
A.2 B．4＋ C．4— D．
8.函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
9．函数是
A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
A. B.21 C.22 D.23
二、填空题：（一）必做题（11－13题）
11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s=
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)
图1
12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
图 2
13．以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 .
图3
三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
17.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG
18.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
19.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
20.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?
21.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
参考答案
一、
1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9．A 10．B
二、
11.,
12． 37, 20
13．
14．
15.
16. 【解析】（１）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴
17.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；
18. 【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；
19.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为：.
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
20.【解析】（1）,
,,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
（2）
；
由得，满足的最小正整数为112.
21.【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)
参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB=
A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝
2．函数，的定义域是
A．(2，) B．(1,) C．[1，) D．[2，)
3．若函数与的定义域均为，则
A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数
C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数
4．已知数列{}为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5=
A．35 B．33 C．31 D．29
5．若向量，，满足条件，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
6．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是
A． B．
C． D．
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A． B． C． D．
8．“>0”是“>0”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
9．如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是（（D）
10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：状元源 zyy100.com
那么d
A．a B．b C．c D．d
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题(11～13题)
11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，
对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为，…， (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，，，分别为1，，，，则输出的结果s为 1.5 .
12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有
正线性相关关系.
13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则
sinA= 0.5 .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= 0.5a .
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（）中，曲线与的交点的极坐标为 (1,) . w
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．设函数，，，且以为最小正周期．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）已知，求的值．
17． 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。
18.如图4，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
19.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
20.已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.
求，
的值；
（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；
（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
21.已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.
（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；
（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；
（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，
证明：
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）
参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值。
样本数据的标准差为。是正整数，则。
一、选择题：
1．设复数满足，其中为虚数单位，则= （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知向量，若为实数，，则= （ ）
A． B． C． D．
4 ．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． BC． D．
6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
8．设圆C与圆 外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（ ）
A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆
9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
2
2
主视图
左视图
俯视图
A． B． C． D． 2
10．设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：．
11．已知是递增等比数列，，则此数列的公比 ．
12．设函数若，则 ．
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x（单位：小时）与当于投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0．4
0．5
0．6
0．6
0．4
小李这 5天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为
．
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤q ＜p ）和
（t∈R），它们的交点坐标为 ．
F
E
D
C
B
A
15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．已知函数，．
（1）求的值；
（2）设求的值．
17．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．
18．如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的分别为的中点，分别为的中点．
（1） 证明：四点共面；
（2） 设为中点，延长到,
使得,证明: ．
19．设,讨论函数 的单调性．
20．设b>0,数列满足,．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数,．
21．在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．
（1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2） 已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3） 过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
参考答案
一 选择题：
A C B C D B D A C B
二 填空题 2 -9 0.5 0.53 (1,) 7:5
16 (1)
(2)
17 (1)由题意得：75=
S=
(2)设5位同学为：A, B,C, D, E 其中A70分，B76分，C72分，D70分，E72分
基本事件：AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共10种。
恰好一位同学成绩在区间（68，75）的基本事件为：AB, BC,BD,BE,共4种。
所以：P=
18(1)易得：19
（ 文科）设,讨论函数 的单调性．
20．设b>0,数列满足,．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数,．
解：，
21．在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．
（1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2） 已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3） 过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）如图1，符合的点M可以在PO的左侧和右侧。
当M在PO左侧时，显然点M是PO垂直平分线与X轴的交点，所以易得M的轨迹方程为：
y=0(x<-1)
当M在PO右侧时，，所以PM//x轴，设M(x,y),则P(-2，y)
因为M在PO的垂直平分线上，所以,
即：（x
综上所述：当点P在上运动时，点M的轨迹E的方程为：
y=0(x<-1) 和（x如图：
（2）当H在方程y=0(x<-1)运动时，显然
当H在方程（x上运动时，,由图知当P,H,T三点共线时，取得最小值，显然此时，设H(x,-1),因为H在上，得x=,所以H(,-1)
综上所得：（）min=1-(-2)=3。H(,-1)
(3)设直线l1:y+1=k(x-1),联立得：
当k=0时，显然只有一个交点，不成立。
当k时，所以当k时，直线l1与轨迹E至少有两个交点。
可见l1与y=0(x<-1) 不能有交点，当直线l1过点C时，k=
由图可知，当直线l1与轨迹E有且仅有两个交点时，k
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科B卷）
一、选择题：
1．设为虚数单位，则复数
A． B． C． D．
2．设集合,，则
A． B． C． D．
3．若向量，则
A． B． C． D．
4．下列函数为偶函数的是
A． B． C． D．
5．已知变量满足约束条件则的最小值为
A． B． C． D
6．在中，若，，，则
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线与圆相交
于、两点，则弦的长等于
A． B． C． D．
9．执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为
A． B． C． D．
10．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，
与的夹角，且和都在集合中，则
A． B． C． D．
二、填空题： （一）必做题（11～13题）
11．函数的定义域为________________________．
12．若等比数列满足，则_______________．
13．由整数组成的一组数据其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的
参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）
如图3，直线PB与圆相切与点B，D是弦AC上的点，，若，则AB= ．
图3
O
A
B
C
P
D
·
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．已知函数,且．
（1） 求的值；
（2） 设，，求的值．
17．某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
，，，，．
(1) 求图中a的值
(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(1) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数
之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．
分数段
x：y
1：1
2：1
3：4
4：5
18． 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．
（1） 证明：PH平面ABCD；
（2） 若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（3） 证明：EF平面PAB．
19．（本小题满分14分）
设数列的前项和，数列的前项和为，满足．
（1） 求的值；
（2） 求数列的通项公式．
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在上．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．
21． （本小题满分14分）
设，集合，，．
(1) 求集合（用区间表示）；
(1) 求函数在内的极值点．
参考答案
一、选择题答案：
1-5：DAADC 6-10：BCBCD
第10解析：
由定义知：
因为,取，n取1,即可得答案
二、填空题答案：
11： （注意，写成集合形式也给分
12:
13: 1 1 3 3
14: 参数方程极坐标：
15：几何证明选做题：
三、解答题
16：
17、解：
(1):
(2):50-60段语文成绩的人数为：3.5分
60-70段语文成绩的人数为：4分
70-80段语文成绩的人数为：
80-90段语文成绩的人数为：
90-100段语文成绩的人数为：
(3):依题意：
50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分
60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=……10分
70-80段数学成绩的的人数为= ………………………………………11分
80-90段数学成绩的的人数为= ………………………………………12分
90-100段数学成绩的的人数为=……………………13分
18、解：
(2):过B点做BG；
连接HB,取HB 中点M，连接EM，则EM是的中位线
即EM为三棱锥底面上的高
=………………………………………………………………………6分
………………………………………………………………………………………………………………………8分
（3）：取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ
19、解：(1):
………………………………………………3分
…………………………………………………………5分
（2）
①
②…………………………6分
①-②得：
……………… ③………………………7分
在向后类推一次
……… ④…………………………8分
③-④得：
…………………………………………9分
…………………………………………………10分
……………………………………………12分
…………13分
………………………………………………14分
20、解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分
则：,…………………………………………………………………………2分
设椭圆方程为：………………………………………………………………3分
将点坐标代入，解得：…………………………………………………………4分
所以
故椭圆方程为：…………………………………………………………………………5分
（2）设所求切线的方程为：……………………………………………6分
消除y
………7分
化简得：
①………………………………………………………8分
同理：联立直线方程和抛物线的方程得：
消除y得：
……………………………………………………………………9分
化简得：
② …………………………………………………………………………10分
将②代入①解得：
解得：
………………………………………………………12分
故切线方程为：…………………………………………14分
20、解：（1）
集合B解集：令
(1):当时，即：，B的解集为：
此时
（2）当
此时，集合B的二次不等式为：
，
，此时，B的解集为：
故：
（3）当即
此时方程的两个根分别为：
很明显，
故此时的
综上所述：
当
当时，
当，
(2)
极值点，即导函数的值为0的点。
即
此时方程的两个根为：
（ⅰ）当
故当
分子做差比较：
所以
又
分子做差比较法：
，
故,故此时时的根取不到，
（ⅱ）
当时，，此时，极值点取不到x=1极值点为(,
（ⅲ）
当，,极值点为： 和
总上所述：
当 有1个
当，有2个极值点分别为 和
