全国高考理科数学试题及答案湖南

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全国高考理科数学试题及答案湖南

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)‎ 数学(理工农医类)‎ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分。‎ 参考公式:(1),其中为两个事件,且,‎ ‎ (2)柱体体积公式,其中为底面面积,为高。‎ ‎ (3)球的体积公式,其中为求的半径。‎ 一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。‎ ‎1.若,为虚数单位,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案:D 解析:‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ 因,根据复数相等的条件可知。‎ ‎2.设,,则“”是“”则( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎ 答案:A 解析:因“”,即,满足“”,反之“”,则,或,不一定有“”。‎ ‎3.设图一是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案:B 解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积。‎ ‎4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得 附表:‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表,得到的正确结论是( )‎ A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ 答案:C 解析:由,而,故由独立性检验的意义可知选C.‎ ‎5.设双曲线的渐近线方程为,则的值为( )‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ 答案:C 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知。‎ ‎6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )‎ A. B.‎1 C. D.‎ 答案:D 解析:由定积分知识可得,故选D。‎ ‎7. 设,在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 答案:A 解析:画出可行域,可知在点取最大值,由解得。‎ ‎8.设直线与函数的图像分别交于点,则当达到最小时的值为( )‎ A.1 B. C. D.‎ 答案:D 解析:由题,不妨令,则,令解得,因时,,当时,,所以当时,达到最小。即。‎ ‎ ‎ 二填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上。‎ 一、选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)‎ ‎9.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为,则与的交点个数为 。 ‎ 答案:2‎ 解析:曲线,,由圆心到直线的距离,故与的交点个数为2.‎ ‎10.设,则的最小值为 。‎ 答案:9‎ 解析:由柯西不等式可知。‎ ‎11.如图2,是半圆周上的两个三等分点,直径,‎ ‎,垂足为D, 与相交与点F,则的长为 。‎ 答案:‎ 解析:由题可知,,,得,,‎ 又,所以.‎ 二、必做题(12~16题)‎ ‎12、设是等差数列的前项和,且,则 答案:25‎ 解析:由可得,所以。‎ ‎13、若执行如图3所示的框图,输入,则输出的数等于 。‎ 答案:‎ 解析:由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,‎ 则。‎ ‎14、在边长为1的正三角形中,设,则。‎ 答案:‎ 解析:由题,,‎ 所以。‎ ‎15、如图4, 是以为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形内”,B表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”,则 ‎(1);(2)‎ 答案:(1);(2)‎ 解析:(1)由几何概型概率计算公式可得;‎ ‎(2)由条件概率的计算公式可得。‎ ‎16、对于,将表示为,当时,,当时,为0或1.记为上述表示中为0的个数,(例如,:故)则 ‎(1) (2)‎ 答案:(1)2;(2)‎ 解析:(1)因,故;‎ ‎(2)在2进制的位数中,没有0的有1个,有1个0的有个,有2个0的有个,……有个0的有个,……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数,在所求式中的的和为:‎ ‎。‎ 又恰为2进制的最大7位数,所以。‎ 三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为,且满足.‎ ‎(I)求角的大小;‎ ‎(II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.‎ 解析:(I)由正弦定理得 因为所以 ‎(II)由(I)知于是 ‎ ‎ 取最大值2.‎ 综上所述,的最大值为2,此时 ‎18. 某商店试销某种商品20天,获得如下数据:‎ 日销售量(件)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。‎ ‎(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;‎ ‎(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望。‎ 解析:(I)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量1件”)=。‎ ‎(II)由题意知,的可能取值为2,3.‎ ‎;‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为。‎ ‎19.(本题满分12分)如图5,在圆锥中,已知的直径的中点.‎ ‎(I)证明:‎ ‎(II)求二面角的余弦值.‎ 解:(I)连接,因为,为的中点,所以.‎ 又因为内的两条相交直线,所以而,所以。‎ ‎(II)在平面中,过作于,由(I)知,,所以又所以.‎ 在平面中,过作连接,则有,‎ 从而,所以是二面角的平面角.‎ 在 在 在 在,所以。‎ 故二面角的余弦值为。‎ ‎20. 如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为,雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与×S成正比,比例系数为;(2)其它面的淋雨量之和,其值为,记为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时。‎ ‎(Ⅰ)写出的表达式 ‎(Ⅱ)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量最少。‎ 解析:(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,‎ 故.‎ ‎(II)由(I)知,当时,‎ 当时,‎ 故。‎ ‎(1)当时,是关于的减函数.故当时,。‎ ‎(2) 当时,在上,是关于的减函数;在上,是关于的增函数;故当时,。‎ A. ‎(本小题满分13分)‎ ‎ 如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。‎ ‎(Ⅰ)求,的方程;‎ ‎(Ⅱ)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.‎ ‎(i)证明:;‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:是否存在直线,使得=?‎ 请说明理由。‎ 解析:(I)由题意知,从而,又,解得。‎ 故,的方程分别为。‎ ‎(II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.‎ 由得,‎ 设,则是上述方程的两个实根,于是。‎ 又点的坐标为,所以 故,即。‎ ‎(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为 又直线的斜率为 ,同理可得点B的坐标为.‎ 于是 由得,‎ 解得或,则点的坐标为;‎ 又直线的斜率为,同理可得点的坐标 于是 因此 由题意知,解得 或。‎ 又由点的坐标可知,,所以 故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和。‎ ‎22.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知函数() =,g ()=+。‎ ‎ (Ⅰ)求函数h ()=()-g ()的零点个数,并说明理由;‎ ‎ (Ⅱ)设数列满足,,证明:存在常数M,使得对于任意的,都有≤ .‎ 解析:(I)由知,,而,且,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点 解法1:,记,则。‎ 当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点。记此零点为,则当时,‎ ‎;当时,;‎ 所以,‎ 当时,单调递减,而,则在内无零点;‎ 当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述,有且只有两个零点。‎ 解法2:,记,则。‎ 当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点,‎ 综上所述,有且只有两个零点。‎ ‎(II)记的正零点为,即。‎ ‎(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:。下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,显然成立;‎ ‎②假设当时,有成立,则当时,由 知,,因此,当时,成立。‎ 故对任意的,成立。‎ ‎(2)当时,由(1)知,在上单调递增。则,即。从而,即,由此猜测:。下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,显然成立;‎ ‎②假设当时,有成立,则当时,由 知,,因此,当时,成立。‎ 故对任意的,成立。‎ 综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.‎
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