2015高考数学一轮方法测评练步骤规范练——空间几何体及点线面之间的位置关系

2015高考数学一轮方法测评练步骤规范练——空间几何体及点线面之间的位置关系

步骤规范练——空间几何体及点、线、面之间的位置关系　‎ ‎(建议用时：90分钟)‎ 一、填空题 ‎1．若圆锥的母线长为‎2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的体积为________cm3.‎ 解析　设圆锥底面半径为r，则由2πr＝2π，得r＝1，所以圆锥高为h＝＝，从而体积为V＝·π·＝π.‎ 答案　π ‎2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为________．‎ 解析　还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.‎ 答案　60°‎ ‎3．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．‎ 解析　由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m ‎，它们也可以异面，故必要性不成立，故填m∥l1，且n∥l2.‎ 答案　m∥l1且n∥l2‎ ‎4．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α是条件乙：l∥m的________条件．‎ 解析　若l∥α，m⊂α，不一定有l∥m；若l∥m，m⊂α则α，l⊂α或l∥α.因而甲⇒/ 乙，乙⇒/ 甲. ‎ 答案　既不充分也不必要 ‎5．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的________条件．‎ 解析　当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，所以q⇒p，但p⇒/ q.‎ 答案　必要不充分 ‎6．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件________时，有m⊥β(填序号)．‎ 解析　利用一条直线垂直两平行平面中的一个平面必垂直另一个平面．‎ 答案　②⑤‎ ‎7．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则对于下列条件：①a⊥c，b⊥c；②α⊥β，a⊂α，b⊂β；③a⊥α，b∥α；④a⊥α，b⊥α，其中是a⊥b的一个充分不必要条件的是________．　‎ 解析　若a⊥α，b∥α，则a⊥b，反之显然不成立，故应填③.‎ 答案　③‎ ‎8.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE外接球的体积为________．‎ 解析　由题意，折叠后的三棱锥P DCE为正四面体，且棱长为1，以此正四面体构作正方体，则此正方体棱长为 ‎，正四面体外接球恰为该正方体外接球，直径2R＝×＝，故V球＝R3＝×3＝.‎ 答案　 ‎9.(2014·合肥一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论不成立的是________．‎ ‎①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A‎1C1异面．‎ 解析　连接B‎1C，AC，则B‎1C交BC1于F，且F为B‎1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綉AC，‎ 而B1B⊥平面ABCD，所以B1B⊥AC，‎ 所以B1B⊥EF，①正确；‎ 又AC⊥BD，所以EF⊥BD，②正确；‎ 显然EF与CD异面，③正确；由EF綉AC，AC∥A‎1C1，‎ 得EF∥A‎1C1.故不成立的为④.‎ 答案　④‎ ‎10．(2014·江苏城贤中学月考)正三棱锥SABC中，BC＝2，SB＝，D、E分别是棱SA、SB上的点，Q为边AB的中点，SQ⊥平面CDE，则三角形CDE的面积为________．‎ 解析　如图，设SQ与DE交于点F，连接CF，CQ，∵SQ⊥面CDE，‎ CF⊂面CDE ‎∴SQ⊥CF ‎∵Q为AB中点，SA＝SB，AC＝BC ‎∴AB⊥SQ，AB⊥CQ ‎∴AB⊥面SQC，∴AB⊥CF ‎∴CF⊥面SAB，∴CF⊥DE ‎∴CF为△CDE的高，DE∥AB ‎∵BC＝2，SB＝，正三棱锥SABC ‎∴CQ＝，SQ＝，SC＝QC；‎ ‎∴F为SQ中点，‎ ‎∴DE＝AB＝1‎ CF＝＝＝ ‎∴S△CDE＝×1×＝.‎ 答案　 ‎12．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；‎ ‎②若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；‎ ‎③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；‎ ‎④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．‎ 解析　③α，β可以平行，所以错误；④n与m可以垂直，所以错误．‎ 答案　①②‎ ‎13．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．‎ 解析　如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AH∶HB＝1∶2，所以OH＝R.由勾股定理，有R2＝r2＋OH2，又由题意得πr2＝π，则r＝1，故R2＝1＋2，即R2＝.由球的表面积公式，得S＝4πR2＝.‎ 答案　 ‎14.正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，设三棱锥D－GAC的体积为V1，三棱锥P－GAC体积为V2，则V1∶V2＝________.‎ 解析　设棱锥的高为h，‎ V1＝VD－GAC＝VG－ADC＝S△ADC·h，‎ V2＝VP－GAC＝VP－ABC＝VG－ABC＝S△ABC·.‎ 又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故V1∶V2＝2∶1.‎ 答案　2∶1‎ 二、解答题 ‎15．(2014·济南一模)在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝‎ AD＝EF＝BC，G是BC的中点．‎ ‎(1)求证：AB∥平面DEG；‎ ‎(2)求证：EG⊥平面BDF.‎ 证明　(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.‎ 又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綉BG，‎ ‎∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.‎ ‎∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG.‎ ‎(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，‎ ‎∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，‎ ‎∴DF⊥平面BCFE，EG⊂平面BCFE，∴DF⊥EG.‎ ‎∵EF綉BG，EF＝BE，‎ ‎∴四边形BGFE为菱形，‎ ‎∴BF⊥EG，‎ 又BF∩DF＝F，BF⊂平面BFD，DF⊂平面BFD，‎ ‎∴EG⊥平面BDF.‎ ‎16.(2014·成都一模)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△ABF是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝BC.‎ ‎(1)求证：EO∥面ABF；‎ ‎(2)若EF＝EO，证明：平面EFO⊥平面ABE.‎ 证明　(1)取AB的中点M，连接FM，OM.‎ ‎∵O为矩形ABCD的对角线的交点，‎ ‎∴OM∥BC，且OM＝BC，‎ 又EF∥BC，且EF＝BC，‎ ‎∴OM＝EF，且OM∥EF，‎ ‎∴四边形EFMO为平行四边形，∴EO∥FM，‎ 又∵FM⊂平面ABF，EO⊄平面ABF，‎ ‎∴EO∥平面ABF.‎ ‎(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形，‎ 又∵EF＝EO，∴四边形EFMO为菱形，连接EM，则有FO⊥EM，‎ 又∵△ABF是等边三角形，且M为AB中点，‎ ‎∴FM⊥AB，易知MO⊥AB，且MO∩MF＝M，‎ ‎∴AB⊥面EFMO，又FO⊂面EFMO，‎ ‎∴AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，∴FO⊥平面ABE.‎ 又∵FO⊂平面EFO，∴平面EFO⊥平面ABE.‎ ‎17．(2013·安徽卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，‎ ‎∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.‎ ‎(1)证明：PC⊥BD；‎ ‎(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．‎ ‎(1)证明　连接AC，交BD于O点，连接PO.‎ 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.‎ 由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC.因此BD⊥PC.‎ ‎(2)解　因为E是PA的中点，‎ 所以VP－BCE＝VC－PEB＝VC－PAB＝VB－APC.‎ 由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.‎ 因为∠BAD＝60°，‎ 所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1.又PA＝，‎ 所以PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.‎ 故S△APC＝PO·AC＝3.‎ 由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝×·BO·S△APC＝.‎ ‎18．(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.‎ ‎(1)证明：DE∥平面BCF；‎ ‎(2)证明：CF⊥平面ABF；‎ ‎(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VFDEG.‎ ‎(1)证明　在等边△ABC中，AD＝AE，‎ 在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，‎ 因此＝，从而DE∥BC.‎ 因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ 所以DE∥平面BCF.‎ ‎(2)证明　在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝，BC＝.，‎ 所以BC2＝BF2＋CF2，所以 BF⊥CF.‎ 又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，‎ 所以CF⊥平面ABF.‎ ‎(3)解　由(1)知，平面DEG∥平面BCF，‎ 由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，‎ 又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，‎ 所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.‎ 在折叠前的图形中，‎ AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.‎ 由AD＝知＝，‎ 又DG∥BF，所以＝＝＝，‎ 所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，‎ 所以FG＝AF－AG＝.故V三棱锥FDEG＝V三棱锥EDFG ‎＝×DG·FG·GE＝·2·＝.‎