不动点定理及其应用高考

不动点定理及其应用高考

‎ 摘 要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.‎ 关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.‎ Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.‎ 撤消修改Keywords:Banach fixed point theorem, Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.‎ 目 录 第1章 绪论 1‎ 1.1导论 1‎ 1.1.1 选题背景 1‎ 1.1.2 选题意义 2‎ 1.1.3 课题研究内容 2‎ 1.2 研究现状 2‎ 1.3本章小结 3‎ 第2章 不动点定理 4‎ 2.1 有关概念 4‎ 2.2 不动点定理和几种推广形式 4‎ 2.3 本章小结 7‎ 第3章 不动点定理在数列中的应用 8‎ 3.1 求数列的通项公式 8‎ 3.2 数列的有界性 9‎ 3.3 数列的单调性及收敛性 11‎ 3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 11‎ 3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 14‎ 3.4 本章小结 17‎ 第6章 结束语 18‎ 参考文献 19‎ 第1章 绪论 ‎1.1导论 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．‎ 不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．‎ ‎1.1.1 选题背景 不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.‎ ‎1.1.2 选题意义 利用“不动点”法巧解高考题 ，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.‎ ‎1.1.3 课题研究内容 本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：‎ ‎①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.‎ ‎②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.‎ ③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．‎ ‎1.2研究现状 不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.‎ 不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.‎ 许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数把单位闭区间映到中，则有，使.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.‎ 近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.‎ ‎1.3 本章小结 本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.‎ 第2章 不动点定理 ‎2.1 有关概念 函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数的取值过程中，如果有,使.就称为的一个不动点．‎ 对此定义，有两方面的理解：‎ ⑴代数意义：若方程有实数根，则有不动点．‎ ⑵几何意义：若函数与有交点，则为的不动点．‎ 为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.‎ 定义1[7] 度量空间: 设是一个集合，.如果对于任何，有 ⑴（正定性）,并且当且仅当；‎ ⑵（对称性）；‎ ⑶（三角不等式），‎ 则称是集合的一个度量,偶对是一个度量空间.‎ 定义2[7] 压缩映射：给定如果对于映射:存在常数,使得，则称是一个压缩映射.‎ 定义3[7] Cauchy 列 ：给定,,若对任取的,有自然数使对,都成立则称序列是Cauchy列.‎ 定义4[7] 完备度量空间：给定，若中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.‎ 定义5[8] 不动点：给定度量空间及 的映射如果存在使 则称为映射的不动点.‎ 定义6[9] 凸集：设是维欧式空间的一点集，若任意的两点的连线上的所有的点;则称为凸集.‎ ‎2.2 不动点定理和几种推广形式 不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成的形状这里的 是某个适当的空间中的点，是到的一个映射，把每个移到.方程的解恰好就是在这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.‎ 首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明 定理l （Banach 不动点定理 ——压缩映射原理[10]）设是一个完备的度量空间是到其自身的一个压缩映射,则在中存在惟一的不动点.‎ 证明 首先,证明存在不动点 取定以递推形式 确定一序列是Cauchy 列.事实上，由 任取自然数,不妨设那么 从而知 是一Canchy 列,故存在使且是的不动点,因为 故,即,所以是的不动点.‎ 其次,下证不动点的惟一性 设有两个不动点,那么由及有 ‎ ‎ ‎ 设,则,得到矛盾，从而，唯一性证毕.‎ 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：‎ 定理2 设是Banach空间，为中非空紧凸集，是连续 自映射，则在中必有不动点.‎ Sehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意，‎ 是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder不动点定理II：‎ 定理3 设E是Banach空间，为中非空凸集，是紧的连续自映射，则在中必有不动点.‎ 定义6 设是线性拓扑空间，如果中存在由凸集组成的零邻域基，则称是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.‎ ‎1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理：‎ 定理4 设是局部凸线性拓扑空间，是其中的非空紧凸集，是连续自映射，则必有不动点，即存在，使得.‎ ‎1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理：‎ 定理5 设是局部凸线性拓扑空间，是其中的非空凸集，是紧连续自映射，则必有不动点，即存在，使得.‎ 从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，‎ 定义如下：‎ 定义7 设是拓扑空间，是集值映射，其中表示的所有非空子集的集合.若存在，使，则称是的不动点.‎ ‎1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：‎ 定理6 设是凸紧集，且是具闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.‎ ‎1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：‎ 定理7 设是Banach空间，是中的非空紧凸集，是具有闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.‎ ‎1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即：‎ 定理8 设是局部凸的Hausdorff线性拓扑空间，是中的非空紧凸集，是具有闭凸值的上半连续集值映射，则必有不动点.‎ ‎1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：‎ 定理9 设是Hausdorff线性拓扑空间E中的非空凸紧子集，集值映射满足：‎ ‎(1)对任意，是中的非空凸集 ‎(2)对任意是Z中的开集 则存在，使.‎ 本章小结 ‎ 本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式.‎ 第3章 不动点定理在数列中的应用 ‎ 在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．‎ 用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.‎ ‎3.1求数列的通项公式 定理10 已知数列满足 ,其中，设是唯一的不动点，则数列是一个等差数列.‎ 证明 因为是唯一的不动点，所以是方程，亦即是一元二次方程的唯一解.得 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 把 代入上式，得:‎ ‎ 令 ，可得数列是一个等差数列.‎ 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.‎ 例1 若（，且）求数列的通项公式.‎ 解 根据迭代数列，构造函数，易知有唯一的不动点，‎ 根据定理 可知，‎ 则 ‎ ‎ 即数列是以首项，公差为的等差数列.则对应的通项公式为 ‎ ‎ 解得 又也满足上式.所以的通项公式为.‎ 对于此类形式的数列，已知数列满足 ,其中，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列是以首项，公差为的等差数列.‎ 推论 已知数列满足 ,其中，设是唯一的不动点，则数列是一个公比为等比数列 例2 若，（，且），求数列的通项公式.‎ 解 根据迭代数列，构造函数，易知有唯一的不动点，‎ 根据推论 可知，‎ 则 ‎ ‎ 所以 所以是以为首项，为公比的等比数列，‎ 则当时，有，‎ 故 又也满足上式.‎ 所以的通项公式为.‎ 在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知及递推公式，求数列的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.‎ ‎3.2 数列的有界性 在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.‎ 例3(2008年全国II)函数.数列满足．证明:．‎ 分析 函数的不动点是显然此题就是要证明数列向不动点收敛 证明 当时，，所以在区间内是增函数；又，所以 ‎；‎ 假设时有，因为是增函数，所以，即，当时结论也成立．故原不等式成立 这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.‎ 例4（2010年全国I)已知数列中，，求使不等式成立的的取值范围.‎ 解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为，则有，即方程在有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.‎ 因为对任意自然数都成立，所以首先应有，可得． ‎ 设，则是增函数，.‎ 令，即.当 时，该方程有2个不等的实数根．设为，由韦达定理，可知只要让即可.‎ 令.‎ 即当时，在上存在不动点(就是)所以的取取范围是.再用数学归纳法证明结论的正确性：‎ 因为且在是增函数，所以当时，‎ 有.‎ 假设时，有．因为是增函数，故，即，当时结论也成立，所以当的取值范围是时，‎ 有在区间内的不动点，数列单调递增向该不动点收敛.‎ ‎3.3 数列的单调性及收敛性 近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．‎ ‎3.3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论 定义8 设，其中是的一个区间，数列由和递推关系来定义.则数列称为递推数列.称为数列的特征函数，称为数列的特征方程，称为初始值.‎ 若设是连续的，若收敛而且有极限，.因此问题就变为寻找方程 解(即的不动点)，并验证数列是不是收敛于数 ．‎ 定理 11设是定义在上的一个压缩映射，则由任何初始值和递推数列 ，生成的数列收敛．‎ 证明：由于是上的一个压缩映射，故，则，且 ‎，使得，有 ‎ ‎ 于是，（不妨设 )，只要取，都有根据Cauchy收敛准则，收敛．[证毕]‎ 定义9 在不动点处，若，则称为的吸引不动点；若，则称为的排斥不动点．‎ 定理12 若是定义在上的连续可导函数，是吸引不动点，则存在的邻域区间 ，对一切 ，都有且．这里的记号.‎ 证明：因为连续可导，又，则这样的区间 显然存在．‎ 对任意一点，在为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得 所以， 由定理1可得数列收敛，且．[证毕]‎ 定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点．下面研究数列将以何种方式收敛于.‎ 定理13 若是定义在上的连续可导函数，只有一个不动点 ，且为吸引不动点，初始值,递推数列，则(1)当在上递增时，则数列单调且收敛于；(2)当在上递减时，则的两个子列的和一递增一递减，且收敛于．‎ 证明：(1)当在上递增时，若，则由数学归纳法可证明，递增；若，则由数学归纳法可证明 ，递减．‎ ‎(2)当在上递减时，此时复合函数递增，而子数列和 中有一个递增，另一个递减．若，用数学归纳法可证明单调递增．事实上，若 ，则 ，，由此可得单调递减；若，证明类似．[证毕]‎ 定理14 若是定义在上的连续可导函数，有且只有两个不动点且，异于的初始值，递推数列．则两个不动点至多只有一个吸引不动点．‎ 证明：设函数，则.假设两个不动点同为吸引不动点，则从而.又，可得,使得，则，同理 ，使得．由连续及零点存在定理，得在区间上必有一个零点．这与仅有两个零点矛盾．因此假设不成立，则两个不动点 ，至多一个为吸引不动点．[证毕]‎ 定理15 若是定义在上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点，且，中有一个吸引不动点，．异于的初始值，递推数列 ，则为吸引不动点，为排斥不动点，且当

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