二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。‎ 题型一：求二项展开式 ‎1．“”型的展开式 例1．求的展开式；‎ 解：原式==‎ ‎=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。‎ ‎2． “”型的展开式 ‎ 例2．求的展开式；‎ 分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。‎ ‎3．二项式展开式的“逆用”‎ 例3．计算；‎ 解：原式=‎ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。‎ 题型二：求二项展开式的特定项 1． 求指定幂的系数或二项式系数 ‎（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）展开式中的系数是 ；‎ 解：==‎ ‎ 令则，从而可以得到的系数为：‎ ‎ ，填 （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 ‎ 例5．（02全国）的展开式中，项的系数是 ；‎ ‎ 解：在展开式中，的来源有：‎ ① 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；‎ ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为 的系数应为：填。‎ （3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ；‎ 解：‎ 上述式子展开后常数项只有一项，即 ‎ 本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，‎ 考查了变型与转化的数学思想。‎ 2． 求中间项 例7．（00京改编）求（的展开式的中间项；‎ 解：展开式的中间项为 ‎ 即：。‎ ‎ 当为奇数时，的展开式的中间项是和；‎ 当为偶数时，的展开式的中间项是。‎ 1． 求有理项 例8．（00京改编）求的展开式中有理项共有 项；‎ 解：‎ 当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。‎ ① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；‎ ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。‎ 2． 求系数最大或最小项 （1） 特殊的系数最大或最小问题 例9．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；‎ 解：‎ 要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为 （2） 一般的系数最大或最小问题 ‎ 例10．求展开式中系数最大的项；‎ ‎ 解：记第项系数为，设第项系数最大，则有 ‎ 又，那么有 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 解得，系数最大的项为第3项和第4项。‎ （1） 系数绝对值最大的项 例11．在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；‎ 解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，‎ 故此答案为第4项，和第5项。‎ 题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和 ‎ 例12．（99全国）若，‎ ‎ 则的值为 ；‎ ‎ 解： ‎ ‎ 令，有，‎ ‎ 令，有 ‎ 故原式=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 例13．（04天津）若，‎ ‎ 则 ；‎ 解：，‎ ‎ 令，有 ‎ 令，有 故原式==‎ ‎ 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多。‎ ‎ 例14．设，‎ ‎ 则 ；‎ 分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。‎ ‎ 解：‎ ‎ =‎ ‎ =0‎ 题型四：利用二项式定理求近似值 ‎ 例15．求的近似值，使误差小于；‎ ‎ 分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。‎ ‎ 解：==‎ ‎ ，‎ ‎ 且第3项以后的绝对值都小于，‎ ‎ 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。‎ ‎ ==‎ ‎ 小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。‎ ‎ 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。‎ ‎ 题型五：利用二项式定理证明整除问题 ‎ 例16．（02潍坊模拟）求证：能被7整除。‎ ‎ 证明： ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =49P+（）‎ ‎ 又 ‎ =（7+1）‎ ‎ =‎ ‎ =7Q（Q）‎ ‎ 能被7整除。‎ 在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。‎ 二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。‎