陕西省西安一中高考数学一模试卷理科解析

陕西省西安一中高考数学一模试卷理科解析

2016 年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科） 　 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 M={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，N={x|x﹣1＜0}，则 M∩N=（　　） A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2} 2．设 i 是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（　　） A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i 3．已知函数 f（x）为奇函数，且当 x＜0 时，f（x）=2x2﹣1，则 f（1）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 4．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为 120°，则 E 的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 5．如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数．从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（　　） A． B． C． D． 6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 θ，大正方形的面积是 1，小正方 形的面积是 ，则 sin2θ﹣cos2θ 的值等于（　　） A．1 B．﹣ C． D．﹣ 7．已知向量 =（cosα，﹣2）， =（sinα，1），且 ∥ ，则 tan（α﹣ ）等于（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 8．下面命题中假命题是（　　） A．∀x∈R，3x＞0 B．∃α，β∈R，使 sin（α+β）=sinα+sinβ C．∃m∈R，使 是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增 D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x” 9．执行如图所示的程序框图，则输出的 S=（　　） A．1023 B．512 C．511 D．255 10．已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点，若 =3 ，则|QF|=（　　） A． B． C．3 D．6 11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　 ） A．29π B．30π C． D．216π 12．若函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1，x2，且 f（x1）=x1＜x2，则关于 x 的方程 3（ f（x））2+2af（x）+b=0 的不同实根个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 　 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．（a+x）（1+x）4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a=　　　　　　． 14．已知 p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实 数 m 的取值范围为　　　　　　． 15．如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60°，E、F 分别为 AD、CD 的中点，则 =　　　　　　． 16．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 2ccosB=2a+b，△ABC 的面积为 S= c，则 ab 的最小值为　　　　　　． 　 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 S3=7 且 a1+3，3a2， a3+4 构成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令 bn=lnan，n=1，2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 18．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近 50 天的结果如下： 日销售量 1 1.5 2 频数 10 25 15 频率 0.2 a b （1）求表中 a，b 的值 （2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求 5 天中该种商品恰有 2 天销售量为 1.5 吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千 元），求 X 的分布列和期望． 19．如图，在三棱锥 D﹣ABC 中，DA=DB=DC，D 在底面 ABC 上的射影为 E，AB⊥BC， DF⊥AB 于 F （Ⅰ）求证：平面 ABD⊥平面 DEF （Ⅱ）若 AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值． 20．已知椭圆 的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，点 M 在椭 圆上，且满足 MF2⊥x 轴， ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线 y=kx+2 交椭圆于 A，B 两点，求△ABO（O 为坐标原点）面积的最大值． 21．已知 a∈R，函数 f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x． （Ⅰ）若 f（x）在 x=﹣e 处取得极值，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值 g（a）． 　 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．已知四边形 ABCD 内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD 的延长线交于点 E，且 EF 切 ⊙O 于 F． （Ⅰ）求证：EB=2ED； （Ⅱ）若 AB=2，CD=5，求 EF 的长． 　 23．在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ，直线 l 的参数方程为： （t 为参数），两曲 线相交于 M，N 两点． （Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （Ⅱ）若 P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 　 24．设函数 f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且 f（x）的最小值为 3． （1）求 a 的值； （2）若 f（x）≤5，求满足条件的 x 的集合． 　 2016 年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 M={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，N={x|x﹣1＜0}，则 M∩N=（　　） A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2} 【考点】交集及其运算． 【分析】求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由 M 中不等式解得：﹣2≤x≤2，即 M={x|﹣2≤x≤2}， 由 N 中不等式变形得：x＜1，即 N={x|x＜1}， 则 M∩N={x|﹣2≤x＜1}， 故选：A． 　 2．设 i 是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（　　） A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可． 【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i． 故选：C． 　 3．已知函数 f（x）为奇函数，且当 x＜0 时，f（x）=2x2﹣1，则 f（1）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可． 【解答】解：函数 f（x）为奇函数，且当 x＜0 时，f（x）=2x2﹣1， 则 f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（2×12﹣1）=﹣1． 故选：B． 　 4．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为 120°，则 E 的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上，由题意可得 M 的坐标为（﹣2a， a），代 入双曲线方程可得 a=b，再由离心率公式即可得到所求值． 【解答】解：设 M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上， 且 MA=AB=2a，∠MAB=120°， 则 M 的坐标为（﹣2a， a）， 代入双曲线方程可得， ﹣ =1， 可得 a=b， c= = a， 即有 e= = ． 故选：D． 　 5．如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数．从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可． 【解答】解：从1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1， 2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5 ），（3，4，5）共 10 种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ． 故选：C 　 6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 θ，大正方形的面积是 1，小正方 形的面积是 ，则 sin2θ﹣cos2θ 的值等于（　　） A．1 B．﹣ C． D．﹣ 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小 正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2 的值，判断出 cosθ＞sinθ 求得 cosθ﹣sinθ 的值，然后求 得 2cosθsinθ 利用配方法求得（cosθ+sinθ）2 的进而求得 cosθ+sinθ，利用平方差公式把 sin2θ﹣cos2θ 展开后，把 cosθ+sinθ 和 cosθ﹣sinθ 的值代入即可求得答案． 【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为 cosθ，短直角边为 sinθ， 小正方形的边长为 cosθ﹣sinθ， ∵小正方形的面积是 ， ∴（cosθ﹣sinθ）2= 又 θ 为直角三角形中较小的锐角， ∴cosθ＞sinθ ∴cosθ﹣sinθ= 又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ= ∴2cosθsinθ= ∴1+2sinθcosθ= 即（cosθ+sinθ）2= ∴cosθ+sinθ= ∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣ =﹣ 故选：B． 　 7．已知向量 =（cosα，﹣2）， =（sinα，1），且 ∥ ，则 tan（α﹣ ）等于（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数． 【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα ，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果． 【解答】解：∵ ， ∴cosα+2sinα=0， ∴tanα= ， ∴tan（ ） = =﹣3， 故选 B 　 8．下面命题中假命题是（　　） A．∀x∈R，3x＞0 B．∃α，β∈R，使 sin（α+β）=sinα+sinβ C．∃m∈R，使 是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增 D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x” 【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用． 【分析】根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断． 【解答】解：A．根据指数函数的性质可知，∀x∈R，3x＞0，∴A 正确． B．当 α=β=0 时，满足 sin（α+β）=sinα+sinβ=0，∴B 正确． C．当 m=1 时，幂函数为 f（x）=x3，且在（0，+∞）上单调递增，∴C 正确． D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，∴D 错误． 故选：D． 　 9．执行如图所示的程序框图，则输出的 S=（　　） A．1023 B．512 C．511 D．255 【考点】程序框图． 【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的 S 值． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是： S=2°+21+22+23+…+28 = =29﹣1 =511． 故选：C． 　 10．已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点，若 =3 ，则|QF|=（　　） A． B． C．3 D．6 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】考查抛物线的图象，利用抛物线的定义以及 =3 ，求解即可． 【解答】解：如下图所示，抛物线 C'：B 的焦点为（3，0），准线为 A，准线与 C'轴的交 点为 AB，P 过点 f（x）=|x+1|+|x﹣1|作准线的垂线，垂足为 f（x）＜4，由抛物线的定义知 M 又因为 M，所以，a，b∈M 所以，2|a+b|＜|4+ab|，所以， ． 故选：B． 　 11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　 ） A．29π B．30π C． D．216π 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积． 【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长 方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积． 【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形， 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球， 它的对角线的长为球的直径： ，球的半径为： ． 该三棱锥的外接球的表面积为： ， 故选 A． 　 12．若函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1，x2，且 f（x1）=x1＜x2，则关于 x 的方程 3（ f（x））2+2af（x）+b=0 的不同实根个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断． 【分析】求导数 f′（x），由题意知 x1，x2 是方程 3x2+2ax+b=0 的两根，从而关于 f（x）的 方程 3（f（x））2+2af（x）+b=0 有两个根，作出草图，由图象可得答案． 【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2 是方程 3x2+2ax+b=0 的两根， 由 3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个 f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1） ， 如下示意图象： 如图有三个交点， 故选 A． 　 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．（a+x）（1+x）4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a=　3　． 【考点】二项式定理的应用． 【分析】给展开式中的x 分别赋值 1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以 2 得到答案． 【解答】解：设 f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5， 令 x=1，则 a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），① 令 x=﹣1，则 a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．② ①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1）， 所以 2×32=16（a+1）， 所以 a=3． 故答案为：3． 　 14．已知 p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实 数 m 的取值范围为　[8，+∞）　． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】将条件¬p 是¬q 的必要不充分条件，转化为 q 是 p 的必要不充分条件，进行求解． 【解答】解：因为¬p 是¬q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的必要不充分条件， 即 p⇒q，但 q 推不出 p， 即 ，即 ， 所以 m≥8． 故答案为：[8，+∞） 　 15．如图，菱形 ABCD 的边长为 1，∠ABC=60°，E、F 分别为 AD、CD 的中点，则 =　 　． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】把要求的式子化为（ ）•（ ），再利用两个向量的数量积的定义 可得要求的式子等于 1×1cos60°+ + + 1×1cos60°，运算求得结果． 【解答】解： =（ ）•（ ）= + + + =1×1cos60°+ + + 1×1cos60°= + = ， 故答案为 ． 　 16．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 2ccosB=2a+b，△ABC 的面积为 S= c，则 ab 的最小值为　 　． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得 cosC=﹣ ，C= ．根据△ABC 的 面积为 S= ab•sinC= ab= c，求得 c=3ab．再由余弦定理化简可得 9a2b2=a2+b2+ab≥3ab， 由此求得 ab 的最小值． 【解答】解：在△ABC 中，由条件用正弦定理可得 2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB ， 即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣ ，C= ． 由于△ABC 的面积为 S= ab•sinC= ab= c，∴c=3ab． 再由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得 9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当 a=b 时， 取等号， ∴ab≥ ， 故答案为： ． 　 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设{an}是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 S3=7 且 a1+3，3a2， a3+4 构成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令 bn=lnan，n=1，2，…，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和． 【分析】（I）设{an}是公比 q 大于 1 的等比数列，由于 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列，可 得 6a2=a3+4+a1+3，即 6a1q= +7+a1，又 S3=a1（1+q+q2）=7，联立解出即可得出． （II）bn=lnan=（n﹣1）ln2，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出数列{bn}的前 n 项和． 【解答】解：（I）设{an}是公比 q 大于 1 的等比数列， ∵a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列， ∴6a2=a3+4+a1+3，化为 6a1q= +7+a1，又 S3=a1（1+q+q2）=7， 联立解得 a1=1，q=2． ∴an=2n﹣1． （II）bn=lnan=（n﹣1）ln2， ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= ln2． 　 18．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近 50 天的结果如下： 日销售量 1 1.5 2 频数 10 25 15 频率 0.2 a b （1）求表中 a，b 的值 （2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求 5 天中该种商品恰有 2 天销售量为 1.5 吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千 元），求 X 的分布列和期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的 a，b． （2）①利用二项分布的概率公式求出 5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率 ． ②写出 X 可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出 X 取每一个值的概率．列出分布列 ，求得期望． 【解答】解：（1）∵ =50∴a= =0.5，b= =0.3 （2）①依题意，随机选取一天，销售量为 1.5 吨的概率 p=0.5 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨，则 X～B（5，0.5） P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125 ②X 的可能取值为 4，5，6，7，8，则 p（X=4）=0.22=0.04 p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2 p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37 p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3 p（X=8）=0.32=0.09 所有 X 的分布列为： X4 5 6 7 8 P 0.040.20.370.30.09 EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2． 　 19．如图，在三棱锥 D﹣ABC 中，DA=DB=DC，D 在底面 ABC 上的射影为 E，AB⊥BC， DF⊥AB 于 F （Ⅰ）求证：平面 ABD⊥平面 DEF （Ⅱ）若 AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值． 【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）由 DE⊥平面得出 DE⊥AB，又 DF⊥AB，故而 AB⊥平面 DEF，从而得出平面 ABD⊥平面 DEF； （II）以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出 和平面 DAB 的法向量 ，则|cos＜ ＞|即为所求． 【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC， ∴AB⊥DE，又 AB⊥DF，DE，DF⊂平面 DEF，DE∩DF=D， ∴AB⊥平面 DEF， 又∵AB⊂平面 ABD， ∴平面 ABD⊥平面 DEF． （Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E 为 AC 的中点，DE= =2． ∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB= ． 以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（ ，﹣1，0）． ∴ =（0，﹣2，﹣2）， =（ ，﹣1，﹣2）， =（ ，﹣1，0）． 设平面 DAB 的法向量为 =（x，y，z）． 则 ，∴ ，令 z=1，得 =（ ，﹣1，1）． ∴ =2，| |= ，| |=2， ∴cos＜ ＞= = ． ∴BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值为 ． 　 20．已知椭圆 的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为 ，点 M 在椭 圆上，且满足 MF2⊥x 轴， ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线 y=kx+2 交椭圆于 A，B 两点，求△ABO（O 为坐标原点）面积的最大值． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（I）运用离心率公式和 a，b，c 的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆 方程； （II）设 A（x1，y1），B（x2，y2），将 y=kx+2 代入椭圆，可得 x 的方程，运用韦达定理 和判别式大于 0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值． 【解答】解：（I）由已知得 ，又由 a2=b2+c2， 可得 a2=3c2，b2=2c2， 得椭圆方程为 ， 因为点 M 在第一象限且 MF2⊥x 轴， 可得 M 的坐标为 ， 由 ，解得 c=1， 所以椭圆方程为 ； （II）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 将 y=kx+2 代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0， 由△＞0，即 144k2﹣24（3k2+2）＞0，可得 3k2﹣2＞0， 则有 所以 ， 因为直线 y=kx+2 与轴交点的坐标为（0，2）， 所以△OAB 的面积 ， 令 3k2﹣2=t，由①知 t∈（0，+∞）， 可得 ， 所以 t=4 时，面积最大为 ． 　 21．已知 a∈R，函数 f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x． （Ⅰ）若 f（x）在 x=﹣e 处取得极值，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值 g（a）． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极 值的条件． 【分析】（I）先对函数 y=f（x）进行求导，然后令导函数大于 0（或小于 0）求出 x 的范围 ，根据 f′（x）＞0 求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0 求得的区间是单调减区间，即可得 到答案． （II）先研究 f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的单调性，再利用导数求解 f（x）在区间[﹣e2， ﹣e﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小 ，最后确定出最大值即得． 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a， 由题意知 x=﹣e 时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0， ∴a=﹣1 ∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1 令 f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得 x=﹣e 令 f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得 x＜﹣e 令 f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0 ∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数， （Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a， ∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]， ∴﹣x∈[e﹣1，e2]， ∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]， ①若 a≥1，则 f'（x）=ln（﹣x）+a≥0 恒成立，此时 f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数， fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1 ②若 a≤﹣2，则 f'（x）=ln（﹣x）+a≤0 恒成立，此时 f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数， fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2 ③若﹣2＜a＜1，则令 f'（x）=ln（﹣x）+a=0 可得 x=﹣e﹣a ∵f'（x）=ln（﹣x）+a 是减函数， ∴当 x＜﹣e﹣a 时 f'（x）＞0，当 x＞﹣e﹣a 时 f'（x）＜0 ∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减， ∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a， 综上： 　 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．已知四边形 ABCD 内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD 的延长线交于点 E，且 EF 切 ⊙O 于 F． （Ⅰ）求证：EB=2ED； （Ⅱ）若 AB=2，CD=5，求 EF 的长． 【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定． 【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合 相似三角形的性质及已知可得结论； （Ⅱ）根据切割线定理可得 EF2=ED•EC=EA•EB，设 DE=x，由 AB=2，CD=5 构造方程， 解得 DE，进而可得 EF 长． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠EAD=∠C， 又∵∠DEA=∠BEC， ∴△AED∽△CEB， ∴ED：EB=AD：BC=1：2， 即 EB=2ED； 解：（Ⅱ）∵EF 切⊙O 于 F． ∴EF2=ED•EC=EA•EB， 设 DE=x，则由 AB=2，CD=5 得： x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3， ∴EF2=24，即 EF=2 　 23．在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ，直线 l 的参数方程为： （t 为参数），两曲 线相交于 M，N 两点． （Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （Ⅱ）若 P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ，写出曲线 C 的直角坐标方程；用代入法消去参数 求得直线 l 的普通方程． （Ⅱ）把直线 l 的参数方程代入 y2=4x，得到 ，设 M，N 对应的参数分 别为 t1，t2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t1+t2|，计算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x， 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣y﹣2=0． （Ⅱ）直线 l 的参数方程为： （t 为参数）， 代入 y2=4x，得到 ，设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1+t2=12 ，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|= ． 　 24．设函数 f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且 f（x）的最小值为 3． （1）求 a 的值； （2）若 f（x）≤5，求满足条件的 x 的集合． 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）由条件利用绝对值的意义可得|a﹣4|=3，再结合 a＞1，可得 a 的值． （2）把 f（x）≤5 等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得 所求． 【解答】解：（1）函数 f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的 x 对应点到 4、a 对应点的距离之 和，它的最小值为|a﹣4|=3， 再结合 a＞1，可得 a=7． （2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|= ，故由 f（x）≤5 可得， ①，或 ②，或 ③． 解①求得 3≤x＜4，解②求得 4≤x≤7，解③求得 7＜x≤8， 所以不等式的解集为[3，8]． 　 2016 年 6 月 20 日