2013高考数学能力加强集训专题一集合常用逻辑用语含详解

2013高考数学能力加强集训专题一集合常用逻辑用语含详解

专题一　第1讲　集合、常用逻辑用语 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．(2012·银川模拟)已知集合M＝{x－3＜x≤5}，N＝{xx＜－5，或x＞5}，则M∪N＝‎ A．{xx＜－5，或x＞－3}　 B．{x－5＜x＜5}‎ C．{x－3＜x＜5} D．{xx＜－3，或x＞5}‎ 解析　如图可知，M∪N＝{xx＜－5，或x＞－3}．‎ 答案　A ‎2．(2012·东莞模拟)“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当a＝－1时，两直线方程为x－y＋6＝0,4x＋4y＋9＝0，显然垂直；当两直线垂直时，4a2＋a－3＝0，得a＝－1或a＝，故选A.‎ 答案　A ‎3．(2012·丰台二模)已知全集U＝R，集合A＝{x2x＞1}，B＝{xx2－3x－4＞0}，则A∩(∁UB)＝‎ A．{x0≤x＜4} B．{x0＜x≤4}‎ C．{x－1≤x≤0} D．{x－1≤x≤4}‎ 解析　解不等式2x＞1，得x＞0，∴A＝(0，＋∞)，‎ 解不等式x2－3x－4＞0，得x＞4或x＜－1，∴B＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，‎ 则∁UB＝[－1,4]，∴A∩(∁UB)＝(0,4]．‎ 答案　B ‎4．(2012·海淀模拟)已知命题p：∃x0∈R,＝1，则綈p是 A．∀x0∈R, ≠1 B．∀x0∉R, ≠1‎ C．∃x0∈R, ≠1 D．∃x0∉R, ≠1‎ 解析　根据命题的否定的概念知选A.‎ 答案　A ‎5．(2012·天水模拟)“a＜4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的 A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件 解析　把|2x－1|＋|2x＋3|≥a变形为＋≥，‎ 由绝对值的几何意义知＋≥2，‎ 据题意得≤2，即a≤4，‎ 由a＜4⇒a≤4但a≤4D/⇒a＜4，故选B.‎ 答案　B ‎6．命题p：若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．命题q：如果y＝f(x)是可导函数，则f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件．下列说法不正确的是 A．“p∨q”是真命题 B．“p∧q”是假命题 C．“綈p”为假命题 D．“綈q”为假命题 解析　因为a，b反向共线时，a·b＜0，但a与b的夹角为π，而不是钝角，故命题p是假命题；对于命题q，如果y＝f(x)是可导函数，则f′(x0)＝0，如果x0的左右邻域内f′(x)符号相同，则函数y＝f(x)在x＝x0处取不到极值，反之，若函数y＝f(x)在x＝x0处取到极值，则必有f′(x0)＝0，故命题q是真命题．故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选C.‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．若集合A＝{xx2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　(1)若A＝∅，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2；‎ ‎(2)若1∈A，则12＋a＋1＝0，‎ 解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；‎ ‎(3)若2∈A，则22＋2a＋1＝0，‎ 解得a＝－，此时A＝，不合题意；‎ 综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)．‎ 答案　[－2,2)‎ 8． 命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是________命题(填“真”或“假”)．‎ 解析　解法一　∵m＞0，∴4m＞0,4m＋1＞0，‎ ‎∴方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1＞0，‎ ‎∴方程x2＋x－m＝0有实数根，即原命题为真．‎ ‎∴命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是真命题．‎ 解法二　原命题的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”，‎ ‎∵方程x2＋x－m＝0无实数根，∴Δ＝4m＋1＜0.‎ ‎∴m＜－＜0，∴原命题的逆否命题为真．‎ 答案　真 ‎9．给出下列命题：‎ ‎①y＝1是幂函数；‎ ‎②函数f(x)＝2x－log2x的零点有1个；‎ ‎③(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)；‎ ‎④“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件；‎ ‎⑤函数y＝x3在点O(0,0)处切线是x轴．‎ 其中真命题是________(写出所有正确命题的编号)．‎ 解析　y＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，‎ 知函数f(x)＝2x－log2x没有零点，②错误；x＝1是不等式(x－2)≥0的解，‎ ‎③错误；x＜1⇒x＜2，而x＜2x＜1，④正确；y′＝(x3)′＝3x2，k切＝0，‎ 过原点的切线方程为y＝0，⑤正确．‎ 答案　④⑤‎ 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．(2012·潍坊模拟)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0；命题q：∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．‎ 解析　p真，则a≤1，q真，则Δ＝(a－1)2－4＞0，即a＞3或a＜－1.‎ ‎∵“p∨q”为真，p∧q为假，‎ ‎∴p、q中必有一个为真，另一个为假，‎ 当p真q假时，有得－1≤a≤1，‎ 当p假q真时，有得a＞3，‎ 实数a的取值范围为－1≤a≤1或a＞3.‎ ‎11．(2012·新乡模拟)已知p：|x－4|≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解析　由题知，若綈p是綈q的必要不充分条件的等价命题为：p是q的充分不必要条件．‎ p：|x－4|≤6⇒－2≤x≤10；‎ q：x2－2x＋1－m2≤0⇒[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0①‎ 又∵m＞0，∴不等式①的解集为1－m≤x≤1＋m.‎ ‎∵p是q的充分不必要条件 ‎∴或，∴m≥9，‎ ‎∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．‎ ‎12．(2012·奉贤区模拟)设关于x的不等式x(x－a－1)＜0(a∈R)的解集为M，不等式≤0的解集为N.‎ ‎(1)当a＝1时，求集合M；‎ ‎(2)若M⊆N，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)当a＝1时，由已知得x(x－2)＜0.‎ 所以M＝{x0＜x＜2}．‎ ‎(2)解法一　由已知得N＝{x－1≤x＜3}．‎ ‎①当a＜－1时，因为a＋1＜0，‎ 所以M＝{xa＋1＜x＜0}．‎ 因为M⊆N，所以－1≤a＋1＜0，解得－2≤a＜－1.‎ ‎②若a＝－1时，M＝∅，显然有M⊆N，‎ 所以a＝－1成立．‎ ‎③若a＞－1时，因为a＋1＞0，‎ 所以M＝{x0＜x＜a＋1}．‎ 又N＝{x－1≤x＜3}，‎ 因为M⊆N，所以0＜a＋1≤3，解得－1＜a≤2.‎ 综上所述，a的取值范围是[－2,2]．‎ 解法二　由(1)与解法一：‎ 由已知得N＝{x－1≤x＜3}．‎ 由题得解得－2≤a≤－1，‎ 解得－1≤a≤2.‎ 所以a∈[－2,2]．‎