高考数学第二轮总复习讲义
专题内容： 高考集合映射与不等式题型分析与预测
一、方法概述
① 对于集合:首先要认清构成集合的元素所具有的性质(如不等式的解集、函数的定
义域或值域、平面曲线或区域等），然后要注意运用数形结合，借助数轴、文氏图、几何
曲线或平面区域的直观显示，简化转化过程，提高解题速度。
② 映射：口诀:以原象集合为基础，要求每元必有象，且象唯一。
③ 判断充要条件，要分清谁是条件,谁是结论,然后坚持“双向”考查的原则；对于
具体的数集，可以运用口诀:“以条件集合为基础，小充分，大必要”去处理。
④ 注意原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价转换，并能加以灵活运用。
二、 典例分析与解答：
★【※题 1】①设集合 A=｛x|x=4n+2,n∈Z｝,B=｛y|y=4m+3,m∈Z｝,当 x0∈A,y0∈B,给出
下列四个结论：① x0+ y0∈B ② x0 y0∈A ③x0 - y0∈B ④x0- y0∈A，其中正确结论的序
号为______(答案:②③)
②设全集 U=｛(x,y)|x,y∈R｝,集合 A=｛(x,y)|2x-y+m>0｝, B=｛(x,y)|x+y-n≤0｝,已知
m>-1,n<5,则下列结论正确的是( C )：
A （2，3）∈A∩B B (2,3)∈( CUA)∩B
C (2,3)∈A∩(CUB) D (2,3)∈( CUA)∩(CUB)
③设 M，N 为全集 U 的非空子集，定义集合 M-N=｛x|x∈M 且 x∈CUN｝,则 M-（M-N）
=（ ）
A M B N C M∪N D M∩N
解、可取 U=｛1，2，3｝，M=｛1，2｝，N=｛2，3｝去验证，选（D）
★【※题 2】已知函数（x）=a·bx 的图象经过两点 A（4，1
4）和 B（5，1），设 an=
log2（n）(n∈N*),数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn,集合 M=｛n∈N*| an ·Sn≤0｝试求
出集合 M 中的各个元素,并用列举法出来.
解、①（n）=22n-10,则 an=2n-10； ②Sn=n2-9n,由 an ·Sn，则（2n-10）（n2-9n）≤0；
则 5≤n≤9, ∴M=｛5,6,7,8,9｝
★【※题 3】已知集合 M 是满足下列性质的函数（x）的全体：存在非零常数 T，对任意
x∈R，有（x+T）=T（x）成立。①试判断函数（x）=x 是否属于集合 M，并说明理由；
②设（x）=ax(a>0,a≠1)的图象与直线 y=x 有公共点，证明：（x）=ax∈M
解、①不属于； ②由 ax=x 有解，则有 aT=T,则对于函数（x）=ax,有（x+T）=ax+T=
aT·ax=T·ax= T（x）恒成立,∴（x）=ax∈M
★【※题 4】①设集合 A=｛x|x2-x<0｝,B=｛x|x2
0 恒成立的充要条件是_______(c>
a2 + b2)
④已知函数（x）=2cosx(sinx+acosx)-a,其中 a 为常数,则函数（x)的图象关于直线 x=-
π
8 对称的充要条件是_______(答案:a=-1)
★【※题 6】已知数列数列｛an｝满足: a1 >0,且 a1 ≠1,an+1 = 2an
1 + an (n∈N*),设 bn =an + p
an
(p≠0,为常数),求数列{bn }为等比数列的充要条件
解、bn =an + p
an ,则 an= p
bn - 1;考查 bn+1 =an + 1 + p
an + 1 = +p =1+ p
2an +p
2 =1+p
2 +p
2×bn - 1
p
=p
2 +1
2+1
2bn ，则 p=-1
★【※题 7】①设直线 2x-y+c=0 按向量a=（1，-1）平移后与圆 x2+y2=5 相切，则 c=______（答案：
8 或-2)
②函数（x）=x2-2ax-3 在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是_____(答案:a≤1
2
π
2
π
3
1
7
1
3
1
7
1
1
lim
x→ 7
1
3
1
或 a≥2)
③已知椭圆 x2
m + 1+y2=1 的两个焦点 F1、F2 在 x 轴上，则椭圆上存在点 P，使 PF1⊥PF2 的充要
条件是_____(答案:由 c= m≥b 则 m≥1)
★【※题 8】过椭圆 (a>b>0)的左焦点 F,任做一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,M 为 x
轴上的一点,求证:∠AMB 被 x 轴平分的充要条件是点 M 为椭圆的左 准线
与 x 轴的交点
解、扣住 Rt△ACM～Rt△BDM 去处理
三、课堂小结
注意领会集合、映射的概念，掌握充要条件的判断方法。注意数形结合思想、转化与化归思想的运用。
四、今日训练作业；《专题透析》P1-10
专题内容： 高考函数题型分析与预测
一、 方法概述
1、 处理函数问题，务必树立定义域优先的思想;
2、 函数的值域、单调性、最值是联系在一起的；运用函数的性质解题时，注意数形
结合，扬长避短→常规函数；画出图象；非常规函数，画出单调性示意图；
3、 指数函数 y=ax、对数函数 y=logax：①分两类：01；②牢记图象：注意
定义域、值域、单调性、特殊点，靠近线等；③（x+a）；（x）+a；（|x|）；|
（x）|；（-x）；-（-x）等的图象要能迅速做出；④在同一坐标系下几个不同图象的
比较: 指数函数 y=ax 盯住在 x=1 的点;对数函数 y=logax 盯住在直线 x=1 的右边,有
“底大图低”
4、 函数的周期性、对称性：①、若（x+a）=（x+b）或（x+T）=（x），则
（x）具有周期性；若（a+x）=（b-x），则（x）具有对称性；“内同表示周期性，
内反表示对称性”；②、周期性：1）（x+a）=-（x）；2）（x+a）= 1
（x）；3）
（x+a）=1 + （x）
1 - （x）；则（x）的周期分别为 2a,2a,4a;
③、1)（x+a）=（a-x）;2)（x+a）=（b-x）;则（x）对称轴分别为 x=a,x=
a + b
2 ；④若有（x+a）=-（b-x）,则函数（x）的图象关于点（a + b
2 ,0)中心对称，特
别地，若（x+a）=-（a-x），则函数（x）的图象关于点（a,0）中心对称；⑤周期性与
对称性是相互联系、紧密相关的：1）若（x）的图象有两条对称轴 x=a 和 x=b(a≠b)，则
（x）必为周期函数，其一个周期是 2|b-a|；
2）若（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则（x）必为周期函数，其
一个周期是 2|b-a|；3）若（x）的图象有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则
（x）必为周期函数，其一个周期是 4|b-a|；若函数的图象同时具备两种对称性，两条对
称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
5、注意原函数与反函数之间的内在联系；注意方程、不等式、函数之间的相互转化；注
意数列是特殊的一种函数；加强导数的工具性作用。
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
6、函数的奇偶性：①图象性质 ②函数恒等式性质
二、典例分析与解答
★【※题 1】①若关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根，则实数 a 的取值范围是
（ A ）
A（0，1] B（-∞，1] C[0，1] D （-∞，1]
②设 m>1 为常数,若函数 （x）=x2
2 -x+3
2的定义和域和值域都是 [1,m],则 m 的值为
___(答案：m=3)
③设、是关于 x 的方程 x2+ax+2b=0(a、b∈R)的两根，若∈（0，1）；∈（1，
2），则b - 2
a - 1的取值范围是____(答案:(1
4,1))
④已知函数（x）=-x2+ax+b2-b+1 对任意的 x∈R 都有（1+x）=（1-x）成立,且对任
意 x∈[-1,1]都有（x）>0 成立,则 b 的取值范围是( D )
A (-1,0) B (2,+∞) C (-∞,-1) D (-∞,-1)∪(2,+∞)
⑤设函数（x）=ax2+bx+c(b<0)满足（x+2）=（-x）(x∈R),则下列不等式正确的有
( C )
A （3x）>（2x） B （3x） <（2x）
C （3x）≥（2x） D （3x）≤（2x）
⑥已知函数（x）=ax 2+bx+c,若 a,b,c 成等比数列,且（0）= -4,则（x)的值域为
______(答案:(-∞,-3])
★ ★【※题 2】①已知关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根,则 m 的取值范围是
_____(答案:(1,5)
②已知（x）=4x 2-mx+5 在(-2,+∞)上是单调增函数,则（1）与 25 的大小关系是
______(答案:（1）≥25)
③已知（x）是定义于 R 上的增函数,且（0）=-1,（3）=1,则不等式|（x+1）|<1 的
解集是______(答案:(-1,2))
④已知函数（x）=2x3+3x,x∈(-1,1)则满足（a2-1）+（a-1）<0 的实数 a 的取值范围
是_____答案:(0,1))
★【※题 3】①已知函数（x）=x3,若当∈[0, ]时,不等式
（msin）+（1-m）>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是多少?(答案:m<1)
②已知定义于[-π,π]上的函数（x）、g（x）分别是偶函数、奇函 数，
且它们在[0，π]上的图象如图所示，则不等式（x）
g（x） <0 的解集是_____
(答案:(- ,0)∪( ,π))
③已知（x）是定义于 R 上的以 2 为周期的周期函数,且当 x∈(-1,1]时, （x）=x2,若
关于 x 的方程 （x）+ax=0 在(1,3]内有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是______(答
案:[ -1
3 ,0))
④已知函数 g（x）=2x-1,函数 y=（x）是 y= g（x）的反函数,设 a>b>c>0,则下列正确的
是( C )
A（a）
a <（c）
c <（b）
b B （c）
c <（a）
a <（b）
b
C （a）
a <（b）
b <（c）
c D （c）
c <（b）
b <（a）
a
★【※题 4】已知定义于(0,+∞)上的函数（x）满足（xy）=（x）+（y）(x,y>0),
2
π
3
π
3
π
（ ）=1,且当 x>1 时, （x）<0,①确定（x）在(0,+∞)上的单调性; ②求（4）的
值; ③求不等式（x）+（5-x）+2≥0 的解集
解、①凑:设 x1>x2>0,则（x1）-（x2）=（x1
x2·x2）-（x2）=（x1
x2）<0,则（x）
是↘
②（4）=-2 ③不等式的解集为(0,1]∪[4,5)
★ 【※题 5】已知（x）=log2(2x-a),若对任意的 x∈[0,+∞)都有（2x）>-1
（x）成立,求实数 a 的取值范围
解、-1（x）= log2(2x+a),a∈(-1,0)
★【※题 6】已知函数（x）的图象与曲线 C 关于 y 轴对称，把曲线 C 沿 x 轴负方
向平移 1 个单位之后恰好与函数 y=| log2(-x-2)|的图象重合；
①求函数（x）的解析式； ②若实数 a,b 满足 10)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆 x2+y2=r2 上,则(x)的最
小正周期是______(答案:4)
③已知函数 y=sin(ωx+)(ω>0,0<<π)是偶函数,其图象关于点 M( ,0)对称,且在[0, ]上是单调
函数,求ω和的值.(答案:= ;ω=2 或
2
3)
★【※题 4】已知函数(x)= sinωxcosωx-cos2ωx+
3
2(ω≠0)的最小正周期是π,且图象关于直线 x= 对
称,①求出ω之值; ②若当 x∈[0, ]时,|a+(x)|<4 恒成立,求实数 a 的取值范围.
解、①(x)= -sin（2x+ ）+1；②|a+(x)|<4 恒成立[-4-(x)]max0)个单位,得到曲线 C′,若曲线 C′关于点( ,0)对称,
则 a 的最小值是_____(答案:
3π
8 )
【※题 6】①已知a=(1,1)a与a+2 b的方向相同,则a·b的取值范围是_______(答案:(-1,+∞))
②已知非零向量AB与AC满足(||+|| )·BC=0,且||·||= ,则△ABC 为(D )
A 钝角△ B Rt△ C 等腰非等边△ D 等边△
③已知OA=(3,1),OB=(-1,2),若OC⊥OB,且BC∥OA,则OC=________(答案:(14,7))
④已知向量a=(1,-2),b=(1,),若a与b的夹角为锐角,则实数的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪(-2, ))
【※题 7】设函数(x)= a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx, sin2x),①当(x)=1- ,且 x∈[-
, ],求 x; ②若函数 y=2sin2x 的图象按向量c=(m,n)(|m|< )平移后得到函数 y=(x)的图象,求实数
m,n 之值.
8
π
4
π
3
π
5
6
π 5
6
π
4
π
3
3
4
π
2
π
2
π
3 6
π
2
π
6
π
3
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
4
π
4
π
4
π
2
1
2
1
3 3
3
π
3
π
2
π
解:①(x)=2sin(2x+ )+1,则 x=-
②m=
-π
12 , n=1
★【※题 8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;
卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=(t),下面是该港口
在某季节每天水深的数据:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经过长期观察, y=(t)曲线可以近似地看作函数 y=Asinωt+k 的图象
①根据以上数据,求出函数 y=(t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m
以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5m,如果
该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间)
解:①y=3sin t+10; ②y=3sin t+10≥5+6.5,则 1≤t≤5 或 13≤t≤17,则最多可停留 16 个小时.
★【※题 9】①设 O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+(AB+AC),∈
[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(D )
A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心
②将上题中的条件改为OP=OA+(||+||)则应选(C)
【※题 10】设△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,
(Ⅰ)给出下列两个条件:➊a,b,c 成等差数列; ➋a,b,c 成等比数列;
(Ⅱ)给出下列三个结论:①0 )的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（D ）
A 2 B C
2
3 D
2
3
②把椭圆 的长轴 AB 分成 8 等分，过每一个分点作 x 轴的垂线，
分别交椭圆的上半部分于 P1，P2，…P7 七个点，F 是椭圆的左焦点，求
|P1F|+|P2F|+…|P7F|之值______(答案:所求=7×2+
3
4 (1+2+3+4+5+6+7)=35 )
③双曲线 C: 的右顶点为 A,x 轴上有一点 Q(2a,0),若 C 上存在一点 P,使 AP⊥PQ,则此双曲线的离心
率的取值范围是( B )
2 6
2
2 12
x y− =
2 2
14 2
x y− =
2 2
12 4
x y− =
2 2
12 4
y x− =
2 2
14 2
y x− =
2 2
13 2
x y+ =
2
1
2
2 13
x y− =
2
2 1( 1)3
x y x− = >
2
2 13
yx − =
2
2 1( 1)3
yx x− = >
2 2
112 16
x y+ =
2 2
2 12
x y
a
− = 2 3
π
3
2 2
125 16
x y+ =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
A e> 2 B 10)于 P,Q 两点,
设 Q 点关于 x 轴的对称点为 M,连结 PM 交 x 轴于点 B;
① 证明:点 B 为定点;②若AP=AQ,求证:PB=BM
解、①可求得 B(-m,0);②转为向量坐标关系去证明.
★【※题 5】已知 A,B 为椭圆 (a>b>0)和双曲线 的公共顶
点,P,Q 分
别为双曲线和椭圆上不同于 A,B 的动点,且有AP+BP=(AQ+BQ)(∈R,||>1), 设
AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4 为一个定值.
解、①点 A(-a,0);B(a,0);②由AP+BP=(AQ+BQ),向量的加法平行四边形法则,则有 O， Q，P 三点共
线;设 P(x1,y1)、Q（x2，y2）,则
x12
a2 -
y12
b2 =1,则 x12-a2=
a2
b2·y12 故 k1+k2=
y1
x1 + a +
y1
x1 - a =
2x1y1
x12 - a2 =
2b2
a2 ·
x1
y1;同样
有 k3+k4=
-2b2
a2 ·
x2
y2;由于
x1
y1=
x2
y2,则所求的定值为 0，为定值。
【※题 6】①过抛物线 y2=4x 的焦点做直线 L 交抛物线于 A,B 两点,若线段
AB 的中点的横坐标是 3,则|AB|=____(答案:8)
② 抛物线 y2=2px(p>0)焦点弦 AB 的两个端点的坐标是
A(x1,y1),B(X2,y2),则
y1y2
x1x2之值是( B )
A 4 B -4 C p2 D –p2
③抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是(B )
A 6 B 9 C 12 D 16
④ 在③题中,若将条件改为 A(3,1),其它不变,则是____(答案:3)
⑤直线 y=2x+m 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,以 x 轴正半轴为始边,OA 为终边(O 为坐标原点)的角为,OB
为终边的角为,则 sin(+)=____(答案:
-4
5 )
★ 【※题 7】已知双曲线 C 中心在原点,抛物线 y2=8x 焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线过点 T( ,
);①求双曲线 C 的方程; ②设双曲线 C 的实轴左顶点为 A,右焦点为 F,在第一象限内任取双曲线 C 上
的一点 P,问是否存在常数(>0),使得∠PFA=∠PAF 恒成立,并证明你的结论.
解:① ; ②取特殊位置;PF⊥x 轴求出=2,再一般性去加以证明.
二、课堂回顾与小结
解析几何的实质是用代数方法去研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此，要掌握求曲
线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一。同时，要熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识，掌握直
线与圆锥曲线的位置的研究方法。
三、今日训练练习：《专题透析》P54-66
专题内容： 高考排列组合二项式定理概率统计题型分析与预测
洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336 手机号码： 13975987411
一、方法概述
1、 概率与统计已成为高考的一个重点考查内容，其基本考点有随机事件的概率，抽样方法，总体分布的估
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2
3
2
2 13
yx − =
D
C
B
A
计；理科则还有离散型随机变量的分布列，数学期望与方差，正态分布等。试题以实际问题为背景，贴
近生活，难度适中。
2、 解决概率问题，一定要根据有关概念，判断是否是等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，或是独
立重复试验，以便选择正确的计算方法。解题过程中，要明确条件中“至少有 1 个发生”、“至多有 1 个
发生”、“恰有 1 个发生”、“都发生”、“都不发生”和“不都发生”等词语的意义，以及它们概率之间的
关系和计算公式。
3、 总体、样本及样本频率是统计中最基本的概念，通过样本可对总体进行估计。
4、 在求某些较复杂的概率时，通常有两种办法：一是将所求事物的概率化成一些彼此互斥的事件的概率之
和；二是先求此事件的对立事件的概率。
5、 要注重概率、统计知识与其它知识的互相渗透，是近几年来高考的命题方向，通常与函数、数列、不等
式、方程等知识相结合，同时它的应用性极强，需要学会建立准确的数学模型。
6、 对于随机变量，则必须弄清楚它是服从哪一类型分布，能够写出分布列，求出数学期望和方差，它们是
随机变量最常用也是最重要的数学特征，它们分别刻划了随机变量的平均值水平和取值分布离散的程度。
二、范例剖析
★ 【※题 1】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋中装有 2 个红球,2 个白球;乙袋中装有 2 个红球,n
个白球;现从甲、乙两袋中各任取 2 个球.①若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率；②若取到的 4 个球
中至少有 2 个红球的概率是 3/4，求 n 的值。
解：①记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A,则 P(A)=
C
C·
C
C=
1
60
②可求得 n=2
★ 【※题 2】从 6 名男同学和 4 中女同学中,采用简单随机抽样的方法选出 3 名同学参加一项竞技测试,每位
同学通过测试的概率为 0.7,试求:①选出的 3 人中至少有一名女同学的概率;②选出的 3 人中甲同学必被
选中且通过测试的概率是多少;③设选出的 3 位同学中至少有 2 名男同学的概率.
解:①至少有一名女同学的概率 P1=1-
C
C=
5
6 ; ②甲同学必被选中的概率为
C
C=
3
10;且通过测试的概率是 P2=0.3×
0.7=0.21 ③至少有 2 名男同学的概率 P3=
CC
C +
C
C=
2
3
【※题 3】美国 NBA 篮球总决赛采用七局四胜制,即先胜四局的队获胜,比赛结束。2007 年美国东部活塞队与
西部马刺队分别进入总决赛,已知马刺队与活塞队的实力相当,即单局比赛每队获胜的概率均为
1
2；若第一场比
赛组织者可获门票收入 30 万美元,以后每一场门票收入都比上一场增加 10 万美元，设各局比赛相互之间没有
影响.①求组织者在本次比赛中获门票收入为 180 万美元的概率；②若组织者在本次比赛中获门票收入不低于
330 万美元，其概率为多少.
解:①每场比赛的门票收入构成等差数列｛an｝,其中 a1=30，d=10，则 an=20+10n,Sn=25n+5n2,由 Sn=180 得
n=4(n=-9 舍去），即比赛进行 4 场，∴P4=2C 4
4 (
1
2)4=
1
8；②由 Sn≥330，则 n≥6(n≤-11 舍去），则必须比赛 6
或 7 场：➊比赛 6 场的概率为 P6=C1
2C3
5（
1
2）5×（
1
2）；➋比赛 7 场的概率为 P7=C1
2C3
6（
1
2）5×（
1
2）；∴P 求=
P6+P7=
5
8
★ 【※题 4】某人玩掷骰子放球的游戏:若掷出 1 点,则在甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,则在乙盒中放一
球;否则,则在丙盒中放一球.设他掷 n 次之后,甲、乙、丙各盒中的球数分别为 x,y,z
① 当 n=3 时，求 x,y,z 成等差数列的概率； ②当 n=6 时，求 x,y,z 成等比数列的概率。
解：①由 2y=x+z 则有 x=y=z=1:C 1
3 ( )C 1
2 ( )C 1
1 ( )= ；或 x=0,y=1,z=2:C 1
3 ( )C 2
2 ( )2=
；或 x=2,y=1,z=0:C 2
3 ( ) 2 C 1
1 ( )=
1
36 ∴P1= + +
1
36 =
4
9
3
1
2
1
6
1
6
1
3
1
2
1
4
1
6
1
3
1
6
1
4
1
② y2=xz,且 x+y+z=6,则 x=y=z=2：P2=C2
6( ) 2C2
4( )2C2
2( )2=
5
72
★ 【※题 5】设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点移到另外三个顶点是等可能的。现抛掷一枚均匀硬
币（硬币正面和反面出现的概率均是
1
2），
根据硬币的正、反面来确定棋子是否移动：若硬币出现正面，则棋子不动，若硬币
出现反面，则棋子移到另一顶点。已知棋子的初始位置在顶点 A。①求掷 1 次硬币后棋子到达顶点 B 的概率；②
求掷 2 次硬币后棋子恰好到达顶点 B 的概率；③掷了 3 次硬币，求硬币出现的都是反面，且棋子第 3 次恰好到
达顶点 B 的概率。
解：①掷 1 次硬币后棋子到达顶点 B，则说明硬币出现的是反面，且棋子由 A 移到 B，则 P1=
1
2×
1
3=
1
6；②掷 2 次
硬币后棋子恰好到达顶点 B，可能有下列 4 类情形：AAB，ABB，ACB，ADB，则 P2=
1
2×
1
6 +
1
6×
1
2 +
1
6×
1
6 +
1
6×
1
6 =
2
9
③ 可能有 7 种情形：ABAB，ABCB，ABDB，ACAB，ACDB， AD
AB，ADCB，则所求概率为 P3=7×（
1
6）3=
7
216
★ 【※题 6】证明下列各式：①1+2 +4 +…+2n-1 +2n =3n
②( )2+( )2+( )2+…+( )2=
解：①构造函数（x)=(1+x)n,令 x=2 可得结论。
②构造函数（x)=(1+x)2n=(1+x)n·(1+x)n,比较两边展开式中 xn 的系数即可得到结论。
★ 【※题 7】设（x)是定义于 R 上的一个给定函数，函数
g(x)= （
0
n)·(1-x)n+ (
1
n)x(1-x)n-1+…+ (
n
n)xn(1-x)0(x≠0,1);
①当(x)=1 时，求 g(x); ②当(x)=x 时，求 g(x).
解：①当(x)=1 时，g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+…+ xn(1-x)0 = [（1-x)+x]n=1
②当(x)=x 时，g(x)= ·
0
n·(1-x)n+ ·
1
n· x·(1-x)n-1+ ·
2
n·x2·(1-x)n-2+…+ ·
n
n·xn,
由于 k =n ,则 ·
k
n = ,则 g(x)= ·x·(1-x)n-1+ ·x2·(1-x)n-1+ ·x3·(1-x)n-2+…+
·xn =x[ ·(1-x)n-1+ ·x·(1-x)n-1+ ·x2·(1-x)n-2+…+ ·xn-1]=x[(1-x)+x]n-1=x
★ 【※题 8】(理）甲有一只放有 x 个红球，y 个黄球，z 个白球的箱子，且 x+y+z=6（x,y,z∈N），乙有一只
放有 3 个红球，2 个黄球，1 个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲
胜，异色时乙胜。①用 x,y,z 表示出甲胜的概率；②若同时规定，当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为
1、2、3 分，否则得 0 分，求甲得分的期望的最大值及此时 x,y,z 之值。
解、①甲胜的概率 P1=
1
2·
x
x + y + z+
1
3·
y
x + y + z+
1
6·
z
x + y + z=
3x + 2y + z
36
②E§=3×
z
36+2×
2y
36+1×
3x
36 =
3(x + y + z) + y
36 =
18 + y
36 而 0≤y≤6，则其最大值为
18 + 6
36 =
2
3，此时
x=z=0,y=6
★题 9、已知正四面体 A-BCD，有一只小虫自顶点 A 沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点 B、C、D，
然后又从 B、C、D 中的一个顶点沿着每一条棱以等可能的概率爬到其他三个顶点，依次进行下去，记 Pn 为第 n
次到达顶点 A 的概率（小虫刚开始时在 A 点）。
6
1
2
1
3
1
1
nC 2
nC 1n
nC − n
nC
0
nC 1
nC 2
nC n
nC 2
n
nC
0
nC 1
nC n
nC
0
nC 1
nC n
nC
0
nC 1
nC 2
nC n
nC
k
nC 1
1
k
nC −
−
k
nC 1
1
k
nC −
−
0
1nC −
1
1nC −
2
1nC −
1
1
n
nC −
−
0
1nC −
1
1nC −
2
1nC −
1
1
n
nC −
−
① 求 Pn 的通项公式；②求第 2007 次小虫爬到顶点 A 概率。（理科：若不断地爬下去，小虫最终停在 A 处的
概率是多少？）
解：①小虫第 n 次在顶点 A 的概率为 Pn；第 n-1 次在顶点 A 的概率为 Pn-1，则此时在 B 或 C、D 处的概率为
1-Pn-1，而由其中任何一个顶点爬到 A 的概率均为
1
3，则有 Pn=（1-Pn-1）×
1
3，则有 Pn -
1
4 =
-1
3 （Pn-1 -
1
4 ），
且 P1=1，则有 Pn =
3
4（
-1
3 ）n-1 +
1
4；②P2007 =
3
4（
-1
3 ）2006 +
1
4， Pn=
1
4
★题 10、经统计，长沙友谊商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
求:①每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? ②一周七天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算
的概率大于 0.75,商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口,为什么?
解:①由于概率之和等于 1,则有 x=0.25;P1=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75;②每一天超过 15 人排队结算的概率是
0.25+0.2+0.05=
1
2,则一周七天中:➊没有出现超过 15 人排队结算的概率是 C0
7(
1
2)7;➋ 有一天出现超过 15 人排
队结算的概率是 C1
7 (
1
2)7;➌ 有两天出现超过 15 人排队结算的概率是 C2
7 (
1
2)7;∴有三天以上(含三天)出现超过
15 人排队结算的概率是 1-[ C0
7(
1
2)7+C1
7(
1
2)7+C2
7 (
1
2)7]=
99
128 >0.75,∴该商场需要增加窗口.
一、课堂回顾与小结
求较复杂事件的概率，可以将它分解为几个比较简单的互斥事件，再利用互斥事件概率的加法公式来求解，
这种方法实质就是分类讨论思想。
四、今日训练练习：《专题透析》P45-53
专题内容：高考直线平面与简单几何体题型分析与预测
湖南省洞口三中 方锦昌
电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312
四、方法概述
近几年高考的立体几何,命题形式比较稳定,难易适中,一般保持着“两小一大”的题型格局;考查的主要内
容有:线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，线线、线面、面面所成的角及有关距离的计算，面积
和体积的计算（侧重于体积）。试题的特点是；推理论证与几何量的计算并重，常常是一题两解，兼顾几何
法与向量法，且由于向量法的独特性，使得向量法在得分上略显优势。试题以中等难度为主，兼有少量容
易题，没有出现过很难的题。
五、典例剖析
★ 【※题 1】①如图,在正四面体 A-BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得
AE
EB=
CF
FD
=
(>0),设（）=+,其中与分别表示 EF 与 AC、BD 所成的角， 则
（D ）
A （）是（0，+∞)上的增函数 B （）是（0，+∞)上的减函数
C （）是（0，1)上的增函数 , 是（1，+∞)上的减函数
D （）是（0，+∞)上的常函数
②关于直线 m,n 与平面，有下列四个命题：➊若 m∥,n∥,且∥,则 m∥n;➋若 m⊥,n⊥
排队人数 0～5 6～10 11～15 16～20 21～25 25 以上
概率 0.1 0.15 0.25 x 0.2 0.05
lim∞→n
,且⊥,则 m⊥n;➌若 m⊥,n∥,且∥,则 m⊥n;➍若 m∥,n⊥,且⊥,则 m∥n；其中真命题
的序号为____(答案:➋➌)
③设 l,m 为两条异面直线,,为两个不同的平面,若 l⊥m,且 l,m,给出下列四个结论:➊
∥;➋⊥;➌l∥;➍m⊥;其中可能成立的结论个数有＿＿＿＿个．（答案：４个）
④设 l,m 为空间两条直线,,为空间两个不同的平面,且 l,m⊄,则下列命题中，其否命题为假命
题的是（ Ｃ ）
Ａ 若 m∥,则 m∥l; Ｂ 若 m⊥l,则 m⊥;
Ｃ 若 l⊥,则⊥; Ｄ 若 l∥,则∥
⑤设,为空间两个不同的平面, m、n 为平面，外的两条不同的直线,给出下列四个论断：➊m∥
n;➋n∥;➌⊥;➍m⊥;以其中的任意三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共可组成四个命题，
则这四个命题中正确的命题有______(答案:➊➋➍➌或➊➌➍➋)
★ 【※题 2】已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直,
∠ABC=90°,BC=2,AC=2 ,且 AA1⊥A1C,AA1=A1C,①求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成的
角的大小;②求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成的二面角的大小;③求顶点 C 到侧面
A1ABB1 的距离. (解: ①45°; ② 60°; ③ )
★【※题 3】如图 3，已知Ｏ为半径为 1 的球的球心，点Ａ、Ｂ、Ｃ在球面上，ＯＡ、OB、ＯC
两两垂直，点Ｅ、Ｆ分别为大圆弧 和 的中点，则点Ｅ、Ｆ在该球面上的球面距离
为________
解: 要求过Ｅ、Ｆ两点的球面距离，则要求∠ＥＯＦ的弧度数；为此，则要求出弦ＥＦ的长度,
则应过Ｅ、Ｆ做平行于平面ＯＢＣ的平面交ＯＡ于Ｄ，由于Ｅ、Ｆ分别是 和 的
中点，可知ＤＥ＝ＤＦ＝ ，从而求出ＥＦ＝１，那么得到∠ＥＯＦ＝ ，则 点Ｅ、Ｆ在该球面上的球
面距离为
★【※题 4】【§Ⅰ】下列命题正确的序号有_____①②④____
① 直线 m、n、L 和平面、：若 m,L∩=A,点 Am,则 L 与 m 不共面
② 若 L 与 m 是异面直线，L∥,m∥,且 n⊥L,n⊥m,则,n⊥
③ 若 L∥,m∥,且∥，则 L∥m
④ 若 L， m， L ∩m=A, L∥,m∥,则∥
【§Ⅱ】、已知直线 L⊥，直线 m,则：
①若∥ L⊥m； ②⊥L∥m ③L∥m⊥
④L⊥m∥ 正确的有 ①③
【§Ⅲ】、已知直线 m、n、和平面、，则
①若 m⊥，m⊥，则∥ ②若 m, n, m∥n,则∥
③若 m∥n, m⊥，则 n⊥ ④若 m⊥，m，则⊥
正确的有 ①③④
3
3
AB AC
AB AC
2
2 3
π
3
π
【§Ⅳ】、如图，在正方体 ABCD—A′B′C′D′中，EF 是异面直线 AC 与 A′D 的公垂线,则由正方
体的八个顶点所连接的直线中,与 EF 平行的直线( A )
A 有且只有一条 B 有二条
C 有四条 D 不存在
解、转为线面关系，则 EF⊥平面 A′C′D ，而只有 BD′⊥平面 A′C′D 从而选（A）
【§Ⅴ】、一个三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，且长度分别为 1、 6、3 已知
该项三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ A ）
A 16π B 32π C 36π D 64π
解、建立长方体模型，则球的直径为长方体的对角线，从而有 2R= 1 + 6 + 9=4
【§Ⅵ】在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点，若∠CMN=90°，则异面
直线 AD1 与 DM 所成的角为( D )
A 30° B 45° C 60° D 90°
解、由三垂线定理知所求为 90°
【§Ⅶ】在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,将菱形沿对角线 AC 折
起,使折起后 BD=1,则二面角 B-AC-D 的余弦值为( A )
A 1
3 B 1
2 C 2
3 D 2
【§Ⅷ】如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所
在平面成 60°的二面角,则 AB 与平面 BCD 所成角的大小为_______(答案:arcsin4_)
★【※题 5】如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,平面 B1ED 交 A1D1 于 F,①指出 F 在 A1D1
上的位置,并说明理由;
②求直线 A1C 与 DE 所成的角的大小;
③设 P 为面 BCC1B1 上的动点,且 AP=
2
3,试指出动点 P 的轨迹,并求出其轨迹所表示的曲
线
的长度.
解:①F 为 A1D1 的中点;②arccos15; ③△APB 为 Rt△,则 PB= AP2 - AB2 = ,而 B
为
定点,则点 P 的轨迹是以 B 为圆心, 为半径的 圆,其长度为 ×2π× = 6 π
★【※题 6】因需要进行商业谈判,我急于要从北京出发前往智利的圣地亚哥,航空公司开出 了
两条路线供我选择:其一:从北京 纽约 圣地亚哥；其二:从 北京 澳大利
亚的弗里曼特尔 圣地亚哥。已知这四个城市的经纬度为：北京（东经 120°、北纬 40°）；纽
约（西经 70°、北纬 40°）；圣地亚哥（西经 70°、南纬 30°）；弗里曼特尔（东经 120°、南纬 30°）
请帮我比较策划这两种方案中哪一种飞行距离更短些，请说明理由。
解:不妨用 表示地球上两点间的球面距离，用各城市的头一个字母Ｂ、Ｎ、Ｆ、Ｓ分别代表北京、纽约、
弗里曼特尔、圣地亚哥。甲方案的空中航线长为： ＋ ;乙方案的空中航线长为： ＋
由于向南飞行是同经度，沿经度线飞行，经度线所在就是地球的大圆线，它们间纬度差正好相等，则有
3
33
3 4
1
4
1 3
3
→向西 →向南 →向南
→向西
ABL
BNL NSL BFL FSL
NSL
= ，从而只要比较 和 就可以了。在 中，北纬 40°的小圆半径ｒ=Ｒ·cos40° ,经度差为 170
°，它的弦长ＢＮ= 2Ｒsin85°·cos40°
同理有ＦＳ= 2Ｒsin85°·cos30°； ∵cos40°＜cos30° ∴ＢＮ＜ＦＳ
∵对于同一个球，较长的弦对应的球心角也较大，则 ＜
∴两个方案中第一个方案飞行的距离要短些。
i. 本题不必去求出具体的距离数值，而只要去比较大小即可，从而减少计算量。同时，要能熟练掌握
同纬度两城市间的距离和同经度两城市间距离的求解
三、课堂回顾与小结
立体几何中经常涉及的知识与题型有：①证明平行与垂直；②求多面体的体积；③三种角的计算；④有关
距离的计算；⑤多面体表面积的计算。这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相
交直线所成的角；面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等。其解答题的设计，注意了求解方法既可用
向量法处理，又可用传统的几何法解决，并且向量方法比用传统的方法解决较为简单。
四、今日训练练习；《专题透析》P67-81
专题内容： 导数及其应用
湖南省洞口三中 方锦昌
电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312
一、方法概述
1、 导数是一个知识独特、应用广泛，与初、高等数学衔接紧密的重要内容，因此成为高考的热点，并且
在大题和小题中都有相关试题。其中选择、填空题主要是考查导数的基本概念、基本运算和基本方法；
解答题一般是考查导数与函数、方程、不等式的综合应用。
2、 要特别关注对某些不等式的证明、方程根的存在范围或个数讨论问题。其基本方法是构造函数，然后
利用导数分析其单调性和极值、最值，概括其函数值分布，进而推出相应结论。最好画出其单调性示
意图，以加强直观理解。这是一种函数思想，导数是研究函数性质的工具和手段。
3、 理科要加强数列的极限、函数的极限、函数的连续的概念的理解和简单应用。
二、范例剖析
★【※题 1】已知函数(x)=- x3-bx2-5cx-2d 在(-∞,0]上为↘,在[0,6]上↗,且方程(x)=0 有 3 个实
数根 m,n,1
① 求(4)的取值范围;
② ②问 m2-4mn+n2 是否有最小值?若有,求出最小值,若没有,请说明理由.
解: ①由′(0)=0,则 c=0;
②′(x)=0 的两根为 x1=0,x2=
-2b
3 ,而(x) 在[0,6]上↗,则
-2b
3 ≥6,则 b≤-9,
∴(4)=-63-15b≥72;
③设(x)=-(x-m)(x-n)(x-1)= - x3-bx2-2d,则有 -b=m+n+1,且 0=m+n+mn,且-2d=mn,∴
m2-4mn+n2=(-1-b)2+12d=(b-2)2-9≥112,则有最小值为 112.
★【※题 2】已知函数(x)=x3-
1
2x2+bx+c,①若(x)的图象有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围; ②若
(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时, (x)2 为所求.
★【※题 3】已知函数 y=（x)在区间（0，+∞）内可导，导函数′（x)是↘，且′（x)>0,设 x0∈(0,+
∞),y=kx+m 是曲线 y=(x)在点(x0,(x0))处的切线方程，并设函数 g(x)=kx+m
BFL BNL FSL BNL
BNL FSL
① 用 x0,(x0)、′(x0)表示 m;
②证明：当 x∈(0,+∞)时，g(x)≥(x)
解: ① m=(x0)- x0·′(x0)
② 构建辅助函数 G(x)= g(x)- (x)；对其求导: G′(x)= g′(x)- ′(x)=k-′(x)= ′(x0) -
′(x)；则当 x=x0 时，G′(x0)= 0；
③ 又已知′（x)是↘，则-′（x)是↗，则 G′(x) = ′(x0) -′(x) 是↗，
∴ 当 x>x0 时，G′(x）> G′(x0)= 0, xx0 时，G(x）为↗,则 G(x）> G(x0）=0； 当 x G(x0）=0；
∴ 当 x∈(0,+∞)时, G(x）> G(x0）=0,即 g(x)- (x)≥0,从而 g(x) ≥(x).
★【※题 4】设 x1、x2 是函数(x)=
a
3x3+x2-a2x(a>0)的两个极值点，g(x)=′(x)-2a(x-x1)，已知 x1<0，
|x1|+|x2|=2
求证：当 x10,又 x1a 时,总有(x)0,则 h(x)为↗,又 h(a)=a-(a)=0,则当 x>a 时,
h(x)>0,即有(x)0,则(x)为↗;则(x1)≤(x2),
又(x)-x 为↘,则(x1)-x1≥(x2)-x2,∴0≤(x2)- (x1)≤x2-x1,即|(x2)- (x1)| ≤|x2-x1|;
而|x2-x1|≤|x2-a|+|x1-a|<2, ∴|(x1)-(x2)|<2
★【※题 7】(理) 已知函数(x)=lnx,g(x)=x;
1 2( ) ( 2 )
2
x x x x− + + −
① 若 x>1,求证:(x)>2g(
x - 1
x + 1)
② 若关于 x 的方程
1
2g(x2)-(1+x2)=k 有四个不同的实数根,求实数 k 的取值范围.
解:①设辅助函数 h(x)= (x)-2g(
x - 1
x + 1)=lnx -
2(x - 1)
x + 1 ,求导后知,h(x)在[1,+∞)上为↗,则 h(x)>
h(1)=0;
②令(x)=
1
2g(x2)-(1+x2)=
1
2 x2- ln(1+x2),求导并得出其单调性
示意图,则有 k∈(
1
2-ln2,0)
三、课堂回顾与小结
函数、不等式、导数的综合问题，除了利用导数判断函数的单 调性和
利用导数求极值、最值外，高考命题中出现较多的还有导数与 不等式
的整合：一是将一类范围问题转化为求函数的最值，使用导数 求解；
二是构造函数，利用导数证明不等式。
四、今日训练练习：《专题透析》P8-10
专题内容：高考应用性问题与数学建模的分析和探究
湖南省洞口三中 方锦昌
电子邮箱： fangjingchang2007@163.com 手机号码： 13975987411 邮编： 422312
一、方法概述
1、数学应用性问题要求学生，将一个用文字语言叙述的问题，根据其实际意义概括抽象为一
个纯粹的数学问题，化归为一个数学模型（即数学建模）来解决；其本质是建立合理的数
学模型，并利用相关数学知识进行求解。
2、 数学应用题的一个显著特点是文字叙述多、生活常识多、科技术语多、字母变量符号多、
相关制约因素多。解题时，首先要认真读题，准确理解题意，舍弃问题中与数学无关的非
本质因素，梳理信息；其次要抓住问题中的关键词语，抽取出涉及问题本质的数学结构，
建立适当的数学模型。
3、应用题中往往数据较多,数量关系隐蔽,而且这些数据具有生活实际的本来面目,并非纯数
学化的数据,解题时可以适当用表格处理复杂的数量关系,把信息以表格的形式进行整合,
以此理顺各数据之间的内在取系,再进行数学建模.
4、数学应用问题,最后要对所提出的问题进行总结作答,这是求解应用性问题的一个必不可少
的步骤.
二、 范例剖析
★【※题 1】根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定》，书籍稿酬由基本稿酬和印数稿酬组成。（Ⅰ）
基本稿酬的标准为：①著作稿酬每千字 10 至 30 元，确有学术价值的，可适当提高，但每千字不
超过 40 元；②词书稿有两种计酬的方法：其一是按一般著作稿酬标准另加 15%至 20%计算（词条
书目）；其二是按每千字 20 元至 30 元计算，另增加 20%至 30%的基本稿酬（百科全书词条）。（Ⅱ）
印数稿酬的标准为：①一般书籍，印数在一万册以内，以一万册计算付基本稿酬的 8%，印数超过
一万册的，其超过部分每千册付基本稿酬的 0.8%;②确有学术价值而印数较少的专著,印数在一万
册以内的,以一万册计算付基本稿酬的 30%,印数超过一万册的,计算方法同①.根据以上内容,解答
下列问题:①若印 x 千册,试写出每千字最高稿酬(x)和每千字最低稿酬 g(x)的函数关系式;②若
王教授出版了一本 25.4 万字的书,印数 1.8 万册,试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬.
解:①每千字最高稿酬(x)= 40(1+20%)+40(1+20%)×30% (x≤10)
40(1+20%)+40(1+20%)×30%+40(1+20%)(x-10)×0.8% (x>10)
即(x)= 62.4 (x≤10)
62.4+0.384(x-10) (x>10)
每千字最低稿酬 g(x)= 10+10×8% (x≤10)
10+10×8%+10×8%(x-10) (x>10)
即 g(x)= 10.8 (x≤10)
10.8+0.08(x-10) (x>10)
②此时 x=18, (18)=65.472, g(18)=11.44,因此此书 25.4 万字(254 千字),所以最高稿酬为
65.472×254=16629.888≈16630 元,最低稿酬为 11.44×254=2095.76≈2096 元.
★ 【※题 2】载人宇宙飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在
返回舱预计到达区域安排三个救援中心(记为 A,B,C),A 在 B 的正东方向,相距 6 千
米;C 在 B 的北偏西 30°方向,相距 4 千米;P 为航天员着陆点,某一时刻,A 收到来自 P
的求救信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 远，因此 4 秒后，B、C 两个求援中心才同时收到
这一信号，已知该信号的传播速度为 1 千米/秒；
① 求 P 相对于 A 的方位角。
② 若信号从 P 点正上空 Q 点发出，则 A、B 收到信号时间差变大还是变小，说明理由。
解、①点 P 处于双曲线 （x>0)上；
点 P 又处于 BC 的中垂线 x- y+7=0 上，联立两方程得 x=8,
∴P（8，5 ），则 P 点处于 A 点的北偏东 30°处。
③ 如图，设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,由于传播速度为 1 千米/秒，则
主要是比较|QB|-|QA|= x2 + h2 - y2 + h2 = (x-y)·x + y
+ <1，
则|QB|-|QA|<|PB|-|PA|，故 A、B 收到信号时间差变小，B、C 两求援中心收到信号的时
间少于 4 秒。
★【※题 3】一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为
n(n≥3,n∈N*)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花；
（Ⅰ）、如图 1，圆环被分成 a1,a2,a3 三等份时，共有多少种不同的种植方法？
（Ⅱ）、如图 2，圆环被分成 a1,a2,a3,a4 四等份时，共有多少种不同的种植方法？
（Ⅲ）、如图 3，圆环被分成 a1,a2,a3,…,an-1,an 这 n 等份时，共有不同的种植方法数记为 S（n),试
写出 S（n）与 S（n-1)满足的关系式，并求出 S（n)关于 n 的表达式。
解：①S（3）=C 1
3 C 1
2 C 1
1 =6；
②S（4）=C 1
3 C 1
2 （C 1
2 +C 1
1 ）=18
③如图 3，圆环分成 n 等分，a1 有 3 种不同
的种法，对 a2,a3,…,an-1,an 都有两种不同
的种法，但这样种法只能保证 a1 与 ai(i=2,3,…,n-1)不同颜色，但不能保
证 a1 与 an 不同颜色；
于是，分为两类：一类是 an 与 a1 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 S（n）
2 2
14 5
x y− =
3
3
(n≥3)种；另一类是 an 与 a1 同色的种法，这时可以把 an 与 a1 看成一个整体，这样的种法相
当于对 n-1 部分符合要求的种法，记为 S（n-1）；两类合计共有 3×2n-1 种种法，
则 S（n）+ S（n-1）=3×2n-1 = 2n+2n-1，
则有 S（n）-2n=-[ S（n-1）-2n-1]，则数列｛S（n）-2n｝是首项为 S（3）-23=-2，公比为-1
的等比数列，则 S（n）-2n=-2·（-1）n-3
∴S（n）=2n-2·（-1）n-3(n≥3)
★ 【※题 4】在抗洪抢险的大堤上，有一个三角形的遮阳棚△ABC（如图），其中 A、B 是地面上
南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线 OCD 与地面成锐角，△ABD
为光照遮阳棚产生的阴影。
① 遮阳棚与地面成多少角度时，才能使阴影△ABD 面积最大？
② 当 AC=3，BC=4，AB=5，=30°时，求出阴影△ABD 的最大面积。
解：过 C 做 AB 的垂线，垂足为 E，则 DE 为 CE 在地面上的射影，且 AB⊥平面 CED，∴∠
CED 是平面 ABC 与平面 ABD 所成的平面角；
在△CED 中,∠CDE=,设∠CED=,则 DE=sin( + )
sin ·CE,
∴S△
ABD=1
2·AB·DE=1
2·AB·sin( + )
sin ·CE=1
2·AB·CE·
sin( + )
sin
= S△ABC·sin( + )
sin ,∴当=π
2 -时,阴影△ABD 面积最大.
③ 利用①中结论可得所求为 12
★【※题 5】如图所示,某村在 P 处有一堆肥料,今要把这堆肥料沿道路 PA
或 PB 送到成矩形的一块田 ABCD 中去,已知 PA=100 米,PB=150 米,BC=60 米,
∠APB=60°,能否在田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送
肥较近而另一侧的点沿道路 PB 送肥较近?如果能,请说出这条界线是什 么
曲线,并求出它的方程.
解:田地 ABCD 中的点可分为三类：第一类是沿 PA 送肥较近；第二类是沿 PB 送肥较近；第三
类是沿 PA 或 PB 送肥一样远近；由题意知，界线是第三类点的轨迹。
如图建立平面直角坐标系,设 M 为界线上的任意一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,则
|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,故所求的界线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支，
其方程为 x2
625- y2
3750 =1(25≤x≤35,y≥0)
三、课堂回顾与小结：
解答应用题的一般步骤是：
①审题认真阅读理解文字所表达的意义，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模按问题的主要关系列式，将实际问题抽象成数学问题，构建数学模型，这是最关键
的一步；
③求解并作答利用相关的数学知识求解，获得数学上的结论；再将所得的结果返回到实际
问题，然后作答。
注意：要透彻地理解题意，要在实际问题的情景中去理解、分析给出的问题，清理出问题所
需要的实质性因素，舍弃与解题无关的非本质性的东西。要将实际问题抽象成某种（或几种）
数学模型，运用数学式子加以描述，使实际问题得以转化，成为所熟悉的纯数学问题，然后
解之。
四、今日训练练习：《专题透析》P 82-94
专题内容：高考创新题型分析与预测
湖南省洞口三中 方锦昌
电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312
一、方法概述
1、创新型数学试题大致可以分为两大类：一是新概念问题，二是新情景问题。给出一个
陌生的数学背景，要求考生在深刻、准确理解题意的基础上，运用所学的数学知识解决相关的实
际问题，是创新型试题的基本特点。这类试题的设问方式各式各样，具有开放性和探索性，要求
具备较强的知识迁移能力。
2、新概念问题是指试题中自定义一个概念、一种运算、一个规定符等，再提出一个与之相
关的问题，要求考生结合所学数学知识进行解答。解题时首先必须深刻理解新概念的内涵，再利
用新概念将所研究的问题化为常规的数学问题来解决。
3、新情景问题是指给出一个新颖、陌生的数学背景，要求考生利用所学数学知识设计一个
辅助问题，然后将新情景问题转化为辅助问题来解决。这是一种创新思维，要求能敏锐地抓住问
题本质。
4、有些创新型试题只给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出问题的一般规律，其
解题过程就是一个从特殊到一般的归纳探索过程，充分分析题目给出的基本材料，明确所探求的
结论的一般结构，认清解题的基本方向，是正确解题的基础。
5、对于新概念、新情景下的存在型探索性问题，一般有肯定型、否定型和讨论型三种。解题
时一般先假定结论成立，再探求它成立的条件是否与已知条件相符，然后作出相应的回答；有时
也直接由已知条件推断结论是否存在。
二、典例剖析
【※题 1】➊设 A=(a1,a2,a3), b1
B= b2
b3 , 若记 A*B=max{a1b1,a2b2,a3b3},其中 max{p,q,r}表示
p,q,r 三者中最大者,则设 A=(x-1,x+1,1), x-2
B= |x-1|
1 若 A*B=x-1,则 x 的取值范围是( B )
A [1- ,1] B [1,1+ ] C [1- ,1] D [1,1+ ]
➋在计算机的算法中，有一种算法叫做冒泡排序法，它是用来将一列数按照规定的次序进行
排列的一种算法。例如用冒泡排序法将一列数按照从小到大的顺序排列时，其过程是：将该列数
的第一个数与第二个数进行比较，如果第一个数小于第二个数，则两个数的位置保持不变；如果
第一个数大于第二个数，则交换两个数的位置，然后再将这时的第二个数与第三个数进行比较，
若第二个数小于第三个数，则两个数的位置保持不变；如果第二个数大于第三个数，则交换两个
数的位置，依次下去，直到最后两个数，就算完成了一趟排序；然后再从第一个数开始按照上述
方法进行第二趟排序，第三趟排序…直到所有的数最终按照从小到大的顺序排列 ，整个排序过程
结束。现有一列数：15，3，12，14，7，10，用上述的冒泡排序法将这 6 个数从小到大进行排序
时，第二趟的结果是_____,需要几趟排序即可将这列数按照从小到大的顺序完成排列_____
3 2 2 3
(答案: 第二趟的结果是：3,12,7,10,14,15; 需要 3 趟排序)
➌在一个数列中，如果每一项与它后面一项的乘积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积
数列，这个常数叫做该数列的公积。已知数列｛an｝是等积数列，an ≠0 且 a2006=2，公积为 5，则
a1 =_____
解、an ·an+1= an+1· an+2 an= an+2 ，
则 a1= a3 =…= a2005 ， a2 = a4 =…= a2006 =2，∴ a1 =
5
2
➍定义运算 a*b 为： a*b= a (a≤b)
b (a>b) 则 1*2x 的取值范围是______(答案:(0,1])
➎椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,B 为上顶点,A 为右顶点,
当FB⊥AB时,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”
可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 的值为( )
A
+1
2 B
-1
2 C 5-1 D 5+1
解：由FB·AB=0 则 b2=ac ∴e= +1
2
★【※题 2】①一个机器猫每秒前进或后退一步,程序设计人员让机器猫以每前进 3 步,然后再
后退 2 步的规律移动.如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距离为 1 个
单位长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那么下列结论中错误的是
( D )
A P(3)=3 B P(5)=1 C P(101)=21 D P(103)< P(104)
解: P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=2, P(5)=1,则此机器猫每 5 秒向正的方向前进一步,则
P(103)=23, P(104)=22
②如图,已知图形满足:➊第 n 行首尾两数均为 n;➋表中的递推关系类似杨辉三
角,则第 n 行(≥2)第 2 个数是________(答案: n2 - n + 2
2 )
解 : 每 一 行 的 第 2 个 数 , 满 足 an=an-1+n-1, 于 是 有 an=a1+1+2+3+…(n-1)=1+
n(n - 1)
2
③椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质.对于椭圆有如下的命题:已知 A,F,B 分别是优美椭圆
(a>b>0)(离心率为黄金分割比
-1
2 的椭圆)的左顶点、右焦点和上顶点，则有 AB⊥BF；类似地，对于双曲线有如
下命题：已知:A,F,B 分别是优美双曲线 （a>0,b>0)(离心率为黄金分割比的倒数
+1
2 的双曲线)的左
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
顶点、右焦点及其虚轴的上端点，则有_____(答案:AB⊥BF)
④在平面几何中有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2”；拓展到空间，类比平面几
何有勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的
三个侧面 ABC，ACD，ADB 两两互相垂直，则____(答案:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=SBCD2)
⑤有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”，即运算符号紧跟在运算对象后面，按照从左到右
的顺序运算，如表达式 3×（x-2)+7,其运算为：3，x,2,-,*,7,+.若计算机进行运算：x,x,2,-,*,lg,那么使
此表达式有意义的 x 的范围为___(答案:x<0 或 x>2)
【※题 3】ABCD-A′B′C′D′是单位正方体,黑、白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱
向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”。白蚂蚁爬行的路线是 AA′
A′D′…；黑蚂蚁爬行的路线是 ABBB′…；它们都遵循如下规则： 所
爬行的第 i+2 段与第 i 段所在的直线必须是异面直线（其中 i 是自然 数）
，设黑、白蚂蚁都爬完 2008 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、
白蚂蚁的距离是_____
解:每爬完三段,黑、白蚂蚁相汇于单位正方体的一个顶点处,由于
2008=669×3+1,则爬完 2008 段后,黑、白蚂蚁位于正方体的同一个面的相对两个顶点处,它们的
距离是 2
★【※题 4】设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线 C 上的点,且
a1=|OP1|2,…,an=|OPn|2 构成公差为 d(d≠0)的等差数列,其中 O 是坐标原点,记 Sn=a1+a2+…+an;
① 若 C 的方程为 x2
100+y2
25 =1,n=3,点 P1(10,0),且 S3=255,求点 P3 的坐标(只需写出一个);
② 若 C 的方程为x2
a2+y2
b2 =1(a>b>0),点 P1(a,0)对给定的自然数 n,当公差 d 变化时,求 Sn 的最小
值;
③ 请选定一条椭圆以外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点
P1,P2,…Pn 存在的充要条件,并说明理由.
解:①a1=|OP1|2=100,由且 S3=3
2 (a1+a3)=255,得 a3=|OP3|2=70,则有 x32
100+y32
25 =1,且 x32+y32=70 从
而解得 x32=60,y32=10,∴点 P3 的坐标可以是(2 15, 10)
②原点 O 到二次曲线 C: x2
a2+y2
b2 =1(a>b>0)上各点的最小距离为 b,最大距离为 a,
∵a1=|OP1|2=a2,∴d<0,且 an=|OPn|2=a2+(n-1)d≥b2,∴b2 - a2
n - 1 ≤d<0,∵n≥3,n(n - 1)
2 >0,
∴Sn=na2+n(n - 1)
2 · d 在[b2 - a2
n - 1 ,0)上↗,故 Sn 的最小值为 na2+n(n - 1)
2 ·b2 - a2
n - 1 =
n(a2 + b2)
2
若双曲线 C: x2
a2 - y2
b2 =1,点 P1(a,0),a>0,则对于给定的 n,点 P1,P2,…Pn 存在的充要条件是 d>0,
∴点 P1,P2,…Pn 存在当且仅当|OPn|2>|OP1|2,即 d>0.
★ 【※题 5】给定 an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使 a1·a2·a3·…·ak 为整数的数 k(k∈N*)叫做
潇湘数,则区间[1,2006]内的所有潇湘数之和为_______(答案 :2026)
三、课堂回顾与小结
对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段去进行分析处理，再灵活、综合地应用所学的
数学知识、思想与方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，然后创新性地将问题解决。2007
年的考纲强调在平稳过渡中主要加强设计试题的创新程度，值得我们注意。
四、今日训练练习：《专题透析》P65-82
专题内容：高考应用性问题和创新题型分析与预测(2)
湖南省洞口三中 方锦昌
电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312
一、典例剖析
【※例 1】设数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn，定义 Tn=S1 + S2 + S3 + … + Sn
n 为数列 a1,a2,…an 的
“和均数”，那么数列 1，2，6，10 的“和均数”是______；若数列 a1,a2,…a100 的“和均数”是
2020，则数列：7，a1,a2,…a100 的“和均数”是______
答案：①8 ②2007
★ 【※例 2】已知等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 对一切实数 x
都成立，定义(a1,a2,a3,a4)=b1+b2+b3+b4，则(4,3,2,-1）=_______(答案为-2）
★ 【※例 3】对于在区间[m,n](m0,且 a≠1)，试讨论(x)与 g(x)在区间[a+2,a+3]上是否为邻近函数，
并证明。
★ 【※例 4】对于定义于区间[2，4]上的函数(x),若对任意的 x∈[1,2]，都有(2x)∈(1,2)，且
存在常数 k∈(0,1)，使得对于任意的 x1,x2∈[1,2]都有|(2x1)-(2x2)|≤k|x1-x2|成立，则称函
数(x)为“凯森函数”；证明：①函数(x)=3 1 + xx∈[2,4]为“凯森函数”；②若(x)为“凯
森函数”，且存在 x0∈(1,2)，使得 x0=(2x0)，则这样的 x0 是惟一的。
★ 【※例 5】已知两定点 M（0，3）、N（0，-3），若某曲线上存在点 P，使|PM|- |PN|=4,则称该
曲线为“等差曲线”,给出下列曲线方程:①x2+(y-2)2=1;②y=x;③x2=5y;④x-2y-5=0,其中是“等
差曲线”的方程的序号是（ B ）A ①③ B ②④ C ①② D ③④
★ 【※例 6】对于任意的两个实数对（a，b)和(c，d)，规定：(a，b)=(c，d)，当且仅当 a=c，b=d
时成立，定义运算“⊙”为(a，b) ⊙(c，d)=(ac-bd，bc+ad)；定义运算“⊕”：(a，b) ⊕
(c，d)=(a+c，b+d)；设 p,q∈R，若(1,2) ⊙ (p，q)=(5,0)，则(1,2) ⊕ (p，q)=________（答案：
（2，0））
★【※例 7】如果定义在集合 A 上的函数（x)满足：对任意的 x1、x2∈A，都有(x1 + x2
2 )≤1
2 [
(x1)+(x2)]成立，则称函数（x)是 A 上的凹函数，①试判断函数(x)=3x2+x 是否是 R 上的凹函
数；②若函数(x)=logax 是 R+上的凹函数，求不等式(x2+2x-2)≥0 的解集。
解：①是；②x∈[-3,-1- )∪(-1+ ,1]
★ 【※例 8】已知函数(x)=
x + 1 - a
a - x ,按如图所示构造一个数列发生 器,
其工作原理如下:①输入数据 x1(x1≠a),经数列发生器输出 x2= (x1);②
若 x2=a,则数列发生器结束工作;若 x2≠a,则将 x2 反馈到输入端,再输 出
x3=(x2),并依此规律继续下去.
(Ⅰ)求当 a 为何值时,数列｛xn｝为无穷数列? (Ⅱ)试推断是否存在数据 x1,
使数列｛xn｝为无穷递增数列,若存在,求 x1 的取值范围,若不存在,说明理 由.
解:①a=-1;②不存在.
★ 【※例 9】把数列｛2n+1｝中的各项从小到大依将次按第一个括号放一个数,第二个括号放 2
个数,第三个括号放 3 个数,第四个括号放 4 个数,第 5 个括号又放 1 个数,…循环分为:（3）,
（5,7）,（9,11,13）,（15,17,19,21）,（23）,（25,27）,（29,31,33）,（35,37,39,41）,…
那么第 104 个括号内各数之和为( D )
A 2036 B 2048 C 2060 D 2072
专题内容：数学选择题的求解常见策略
一、方法概述
数学选择题具有概念性強,知识面广,注重基础,内容灵巧等特点.由于选择题提供了备选
答案,又不要求写出解答过程,因此,选择题的解法灵活多样,不拘一格.最常用的的方法主要有直
接法、排除法、特例法、验证法、图象法、估算法等;在实际应用中,同一个选择是题可以用几种
方法去求解,也可以联合几种方法去求解,方法的选取要以提高解题效率为目的,力求“快、准、
巧”,防止小题大做.
①直接法:直接从题设条件出发,通过正确的的运算或推理求得结论,再与选择支对照,从而作出
判断;这种方法解题严谨,适用于解题过程简单的选择题.
②排除法:充分运用单项选择题的特点,结合题目中的有关信息,采用简捷有效的手段,对各选择
支进行筛选,排除其中三个假支,即可选出真支;这种方法适用范围广,解题效率高,是一种简单可行的
典型方法.
③特例法:运用满足题设条件的某些特殊值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊函数等,对
各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真这一原理,达
到肯定一支或否定三支的目的,从而得出正确选项,这种方法符合普遍性存在于特殊性之中的辩证
原理,是一种非常重要的解题策略.
④验证法:将选择支中的具体数值逐一代入,验证题设条件是否成立,然后确定符合题设条件的
选择支,这种方法适用于选择支是方程、不等式的解集,参数的值或取值范围等.
⑤图象法:利用函数图象或数学问题的几何意义,将数的问题转化为形的问题,利用图形的直观
性,辅以简单的计算,再确定正确选项;这种方法是一种数形结合的数学思想,能使解题简捷、迅速.
3 3
⑥估算法:通过粗略的计算,把复杂的问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数
据扩大或缩小,对运算结果确定一个大致范围或作出一个估计,进而作出判断选择真支;这种方法常
用于解选择支为数据运算结果的某些选择题.
二、范例剖析
※【★题 1】已知定义于 R 上的函数(x)满足(x+2)=
1
(x),若(1)=-5,则[ (5)]的值为( C )
A -5 B 5 C
-1
5 D
1
5
※【★题 2】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是
( C ) A 16π B 20π C 24π D 32π
※【★题 3】设函数(x)=lg2 + x
2 - x,则(
x
2) +(
2
x)的定义域为( A )
A (-4,0)∪(0,4) B (-4,1)∪(1,4) C (-2,-1)∪(1,2) D (-4,-2)∪(2,4)
※【★题 4】设函数(x)= 2 –x -1, (x≤0)
, (x>0) 若(x0)>1,则 x0 的取值范围是( D )
A (-1,1) B(-1,+∞) C (-∞,-2)∪(0,+∞) D (-∞,-1)∪(1,+∞)
※【★题 5】已知长方形的四个顶点 A（0，0）,B（2，0）,C（2，1）,D（0，1）一质点从 AB 的
中点 P0 沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、
P3、P4（入射角等于反射角），设 P4 的坐标为(x4,0)，若 1b>0)的两条渐近线的夹角为，离心率为 e,则 cos
2
等于（ B ）
A e B 1
e C e2 D 1
e2
※【★题 8】已知|OA|=1,|OB|= ,OA·OB=0,点 C 在∠AOB 的内部,且∠AOC=30°,设OC=mOA+n0B(m,n
∈R),则m
n=( B） Ａ1
3 B 3 C 3 D
※【★题 9】若定义于区间（-1，0）的函数(x)=log2a(x+1)满足(x)>0,则 a 的取值范围是（A ）
A （0，1
2） B （0，1
2] C （1
2，+∞） D （0，+∞）
※【★题 10】已知等差数列｛an｝的前 n 项之和为 30，前 2n 项之和为 100，则它的前 3n 项之和
为（C ）A 130 B 170 C 210 D 260
※【★题 11】设 a>0,b>0 则以下不等式中不恒成立的是（ B）
A (a+b) (1
a+1
b) ≥4 B a3+b3≥2ab2 C a2+b2+2≥2a+2b D |a - b|≥ a- b
※【★题 12】函数 y=ln(x + 1
x - 1) (x∈1,+∞)的反函数为（ B ）
A y=ex - 1
ex + 1 （x∈(0,+∞) ） B y=ex + 1
ex - 1 （x∈(0,+∞) ）
C y=ex - 1
ex + 1 （x∈(-∞,0) ） D y=ex + 1
ex - 1 （x∈(-∞,0) ）
1
2x
2 2
2 2 1x y
a b
− =
3
3
※【★题 13】若平面向量b与a=(1,-2)的夹角为 180°,且|b|=3 5,则b=( A )
A (-3,6) B (3,-6) C (6,-3) D (-6,3)
※【★题 14】设直线 L 过点 A(0,a),且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( C )
A ±4 B ±2 2 C±2 D ± 2
※【★题 15】已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=( 2cos, 2sin),则向量OA与向量OB的夹角的取值
范围为( C )
A [0,
π
4 ] B [π
4 , 5
12π] C [π
12, 5
12π] D [ 5
12π,π
2 ]
※【★题 16】设 a>1 为常数,对任意的 x∈(1,a),下列不等式中正确的是( B )
A loga(logax)cosx,则区间 I 为( C )
A (
π
4 ,π
2 ] B [π
2 ,π] C [π,5π
4 ) D (5π
4 ,3π
2 ]
※【★题 18】定义两种运算：a⊕b= a2 - b2,a⊙b= (a - b)2,则函数(x)= 2 ⊕ x
(x ⊙ 2) - 2
为（ A ） A
奇函数 B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数
※【★题 19】过点 A(1,-1)和 B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为( C )
A (x-3)2+(y+1)2=4 B (x+3)2+(y-1)2=4
C (x-1)2+(y-1)2=4 D (x+1)2+(y+1)2=4
※【★题 20】与点 A(1,2)相距为 3,且与点 B(4,6)相距为 2 的直线共有( C )条
A 1 B 2 C 3 D 4
解:转为考查以 A 和 B 为圆心的两圆的公切线条数,所以有 3 条。
※ 【★题 21】函数（x)=x2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数 g(x)= 在区间（1，
+∞）上必有（ D ）
A 最小值 B 最大值 C 是减函数 D 是增函数
解：则 a 必须小于 1
※【★题 22】四位同学参加某次竞赛，竞赛规则规定：每一个同学都必须从甲、乙两道题中任选
一道做答，选甲题答对得 21 分，答错得-21 分；选乙题答对得 7 分，答错得-7 分；若这四人的总
成绩刚好为 0 分，则这四位同学不同的得分情况的种数有（ B ）种。 A 48 B 44 C
36 D 24
专题内容： 直接法、特值法、图象法求解填空题
洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411
一、方法概述
数学填空题不要求写出计算和推理过程,命题形式千姿百态,解法灵活多变。最常见的求
解方法有以下几种：
①直接法 直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式、法则等知识，通过变形、
推理、计算、判断等手段得出正确的结论。
②特值法 根据题设条件的特征，选取恰当的特殊值、特殊函数、特殊位置、特殊图形、特
殊模型等进行推理计算，从而得出相关的结论。这种方法适用于在一般条件下答案为定值的填空
题,是一种高效率的求解策略.
③图象法 根据试题的特点,找出其几何意义,画出符合题意的辅助图形,借助图形的直观性进
( )f x
x
行分析探究,得出正确结论.这是一种数形结合的解题策略,在填空题中有着广泛的应用.
④构造法 根据题意将问题进行合理类比,通过构造方程、函数、向量、图形等，把原问题转
化为另一个简单的问题来解决，从而得出所求的结论，这是一种非常规的解法，需要有一定的创
新思维能力。
⑤检验法 在题设条件下给出多个结论，要求判断正确结论的个数或序号，一般可通过逐一检
验各个结论或命题的正确性来作出判断，从而得出所填答案，这类填空题实质是一种变通的选择
题，因此可利用解选择题的方法进行求解。
⑥临界法 对于确定变量取值范围的某些填空题，先求出变量的临界取值，再考虑在变化过
程中变量的取值与临界值的大小关系，就可以得出变量的取值范围；解题中要注意数形结合，找
准变量的临界位置。
求解选择题时，要注意适当选取方法，尽量避免繁杂的推理和运算，有时要综合几种方法去
求解，力争小题巧做。
二、范例剖析
※【★题 1】已知(x3+1
x)n 的展开式中的常数项为 84,则 n=_____(答案:n=9)
※【★题 2】函数 y=(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的图形的面积称为函数(x)在
[a,b]上的面积。已知函数 y=sinnx 在[0,
π
n ]上的面积为2
n (n∈N*)，则函数 y=sin3x 在[0,2π
3 ]上的面
积为______（答案： 4
3）
※【★题 3】口袋里装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,另 5 个球标有数字 1,若从袋子
中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球中所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是______(答案:
13
63)
※【★题 4】设集合 A=｛x|lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)｝,集合 B=｛x| x
x - 3
≤0｝,若 A∩B 中有且只有
一个元素,则实数 m 的取值范围是_____(答案:｛m|-3≤m≤0 或 m=1｝
※【★题 5】设 O 为坐标原点，过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作 L，交抛物线于 A、B 两点，则
OA·OB等于______（答案： -3
4 ）
※【★题 6】设函数(x)= 4 - x2的定义域为 A，函数 g(x)=ln(3a-ax-x2)的定义域为 B，若 A
B，则实数 a 的取值范围是______（答案：（4，+∞））
※【★题 7】已知函数(x)=sinx-|a|为奇函数，则实数 a 的值为_____(答案：0）
※【★题 8】若数列｛an｝满足：a1=
1
3，且对于任意的正整数 m,n 都有 am+n=am·an，则
a1+a2+…+an=_____（答案：3n - 1
2·3n）
※【★题 9】已知 lgx1=3-x1,10(x2) =3-x2,x1+x2=_______(答案：3）
※【★题 10】已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直,且 PA=2,PB=PC=4,则这三棱锥的
外接球的体积是_____(答案:36π)
※【★题 11】定义一种运算“*”，对于正整数 n 满足以下运算性质：①1*1=1；
②(n+1)*1=3(n*1),那么 n*1 用含 n 的代数式表示是_____(答案：3n-1)
※【★题 12】椭圆 的焦点为 F1，F2，点 P 为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点
P 的横坐标的取值范围是______(答案：（ -3
5 ，3
5））
※【★题 13】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设｛an｝是公比为 q
的无穷等比数列，下列｛an｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第几组
2 2
19 4
x y+ =
_____①S1,S2;②a2 与 S3;③a1 与 an④q 与 an；其中 n 为大于 1 的整数，Sn 为｛an｝的前 n 项之和
（答案：①④）
※【★题 14】设 F 是椭圆 的右焦点，且椭圆至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2,3,…),
使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围是______(答案：[ -1
10 ，0）∪
（0， 1
10]）
※【★题 15】已知 m,n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：①若∥,m
，n，则 m∥n；②若 m,n,m∥,n∥，则∥；③若 m⊥,n⊥,m∥n，则∥
；④m,n 是两条异面直线，若 m∥,m∥,n∥,n∥,则∥。上述命题中，真命题的序号
是____(答案：③④）
高考数学填空题求解策略讲解
填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、
数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表
达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分
类加以例说.
1. 函数与不等式
例 1 已知函数 ，则
讲解 由 ，得 ，应填 4.请思考为什么不必求 呢？
例2 集合 的真子集的个数是
讲解 ，显然集合 M 中有 90 个元素，其真子集的个
数是 ，应填 .
●快速解答此题需要记住小结论:对于含有 n 个元素的有限集合,其真子集的个数是
例3 若函数 的图象关于直线 对称，则
讲解 由已知抛物线的对称轴为 ,得 ，而 ，有 ，故应填 6.
例4 如果函数 ，那么
讲解 容易发现 ，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝ ，应填
●本题是 2002 年全国高考题，十分有趣的是，2003 年上海春考题中也有一道类似题：
设 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得
2 2
17 6
x y+ =
( ) 1+= xxf ( ) ._______31 =−f
13 += x ( ) 431 ==− xf ( )xf 1−
∈−<≤−= NxxM
x
,2
110log1 1 .______
{ } { }NxxxxM ∈<≤=∈<≤= ,10010Nx2,lgx1
1290 − 1290 −
.122 −
( ) [ ]baxxaxy ,,322 ∈+−+= 1=x ._____=b
2
2+−= ax 4−=a 12
=+ ba 6=b
( )
2
2
1 x
xxf += ( ) ( ) ( ) ( ) ._____4
143
132
121 =
++
++
++ fffffff
( ) 11 =
+
tftf ( )
2
731 =+f .2
7
( )
22
1
+
=
xxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .______650f45 =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+−+− ffff
2. 三角与复数
例5 已知点 P 在第三象限，则角 的终边在第 象限.
讲解 由已知得 从而角 的终边在第二象限，故应填二.
例6 不等式 （ ）的解集为 .
讲解 注意到 ，于是原不等式可变形为:
而 ，所以 ，故应填
例7 如果函数 的图象关于直线 对称，那么
讲解 ，其中 . 是已知函数的对称轴，
，即 ，于是 故应填 .
●在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数 和 的图象关于过最值
点且垂直于 x 轴的直线分别成轴对称图形.
例 8、设非零复数 满足 ，则代数式 的值是_____
讲解 将已知方程变形为 ，
解这个一元二次方程，得
显然有 , 而 ,于是
原式＝ ＝ ＝
●在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.
3. 数列、排列组合与二项式定理
例 9、 已知 是公差不为零的等差数列，如果 是 的前 n 项和，那么
讲解 特别取 ，有 ，于是有 故应填 2.
( )αα cos,tan α ____
<
>⇒
<
<
,0cos
,0sin
,0cos
,0tan
α
α
α
α α
( ) 120lg cos2 ≥x ( )π,0∈x __________
120lg > .0cos0cos2 ≥⇔≥ xx
π<< x0 20
π≤< x .20
∈≤< Rxxx ，π
xaxy 2cos2sin +=
8
π−=x ._____=a
( )ϕ++= 2sin1 2ay a=ϕtan 8
π−=x
282
ππϕπ +=+
−∴ k Zkk ∈+= ，
4
3ππϕ .14
3tantan −=
+== ππϕ ka 1−
( )ϕω += xAy sin ( )ϕω += xAy cos
yx, 022 =++ yxyx
20052005
++
+ yx
y
yx
x
11
2
=+
+
y
x
y
x
.2
3
2
1 ω=±−= iy
x
23 1,1 ωωω −=+= 166832005 +×=
( ) ( )20052005
2005
1
1
1 ωω
ω
+
+
+ ( ) ( )2005220052
1
ωω
ω
−
+
− .11
2
=−
+
ω
ω
{ }na nS { }na ._____lim =
∞→ n
n
n S
na
nan = ( )
2
1+= nnSn ( ) .211
2
1
2 limlimlim
2
=
+
=+=
∞→∞→∞→
n
nn
n
S
na
nnn
n
n
例 10、数列 中， , 则
讲解 分类求和，得
，故应填 ．
例11 有以下四个命题：(文科生只要求记结论)
① ②
③凸 n 边形内角和为 ④凸 n 边形对角线的条数是
其中满足“假设 时命题成立，则当 n=k+1 时命题也成立’’.但不满足“当 （ 是
题中给定的 n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当 n=3 时， ，不等式成立；
② 当 n=1 时， ，但假设 n=k 时等式成立，则
；
③ ，但假设 成立，则
④ ，假设 成立，则
故应填②③.
例 13 某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字是不同的奇
数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .
讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有 种方法，偶位数字上排偶数的方法有 ，
从而中奖号码共有 种，于是中奖面为 故应填
例14 的展开式中 的系数是
讲解 由 知，所求系数应为 的 x 项的系数与 项的系数的
和，即有 故应填 1008.
4. 立体几何
例 15 过长方体一个顶点的三条棱长为 3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是
________.
{ }na
( )
−
=
是偶数），（
是奇数，
n
n
a
n
n
n
5
2
5
1
nn aaaS 2212 +⋅⋅⋅++= .________2lim =
∞→
n
n
S
( ) ( )，nnn aaaaaaS 24212312 +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= − ∴
8
1
5
11
5
2
5
11
5
1
2
2
2
2lim =
−
−
+
−
=
∞→
n
n
S 8
1
( )；〉 3122 ≥+ nnn ( )；122642 2 ≥++=+⋅⋅⋅+++ nnnn
( ) ( ) ( )；31 ≥−= nnnf π ( ) ( ) ( ).42
2 ≥−= nnnnf
( )0, kkNkkn ≥∈= 0nn = 0n
13223 +×>
2112 2 ++≠
( ) ( ) ( ) ( ) 21112212642 22 ++++=++++=++⋅⋅⋅+++ kkkkkk
( ) ( )π133 −≠f ( ) ( )π1−= kkf ( ) ( ) ( )[ ] ；ππ 111 −+=+=+ kkfkf
( ) ( )
2
2444
−≠f ( ) ( )
2
2−= kkkf ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
.2
21131
−++≠−+=+ kkkkfkf
3
5P 35
33
5 5×P %,75.0%1001000000
533
5 =××P %.75.0
( )( )72 21 −+ xx 3x .__________
( )( ) ( ) ( )77272 2221 −+−=−+ xxxxx ( )72−x 3x
( ) ( ) ，100822 44
7
66
7 =−+− CC
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径 , 即有
从而 ，故应填
例 16 若四面体各棱的长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一
个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边
之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三
类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , , ，故应
填. 、 、 中的一个即可.
例 17 如右图，E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射
影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）
讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前
后三个方向的射影，也就是在面 ABCD、面 ABB1A1、面 ADD1A1 上的射影.
四边形 BFD1E 在面 ABCD 和面 ABB1A1 上的射影相同，如图○2 所示；
四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1 内，它在面 ADD1A1 上的射影显然是一条线段，如图○3 所示. 故应
填○2 ○3 .
4. 解析几何
例 18 直线 被抛物线 截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由 消去 y，化简得： 设此方程二根为 ，所截线段的中点坐标
为： 故 应填 .
例 19 椭圆 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时，点 P 的坐标是__
讲解 记椭圆的二焦点为 ，有 则知
显然当 ，即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25.故应填 或
例 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 ，在杯内放一个玻
R2 ( ) ,5054342 22222 =++== RR
ππ 504 2 == RS球 .50π
6
11
12
11
12
14
6
11
12
11
12
14
1−= xy xy 42 =
=
−=
xy
xy
4
,1
2 ,0162 =+− xx 21 xx ，
.21
32
00
21
0
=−=
=+=
xy
xxx ， ( )2,3
1259
22
=+ yx
21 FF， ,10221 ==+ aPFPF
.252
2
21
21 =
+≤⋅= PFPFPFPFm
521 == PFPF ( )0,3− ( ).0,3
( )2002
2
≤≤= yxy
○1 ○2 ○3 ○4 A B
D C
E F
A1 B1
C1D1
璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径 r 的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在 y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆
的方程为
由 消去 x，得 （*）；解出 或
要使（*）式有且只有一个实数根 ，只要且只需要 即 再结合半径 ，故应填
填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学
高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要
做好应试的技·能准备.
( ) .222 rryx =−+
( )
=
=−+
，
，
2
2
222
xy
rryx ( ) 0122 =−+ yry 0=y ( ).12 ry −=
0=y ( ) ,012 ≤−r .1≤r 0>r .10 ≤< r
