高考文科数学第一轮复习选修45不等式选讲课时跟踪训练62

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高考文科数学第一轮复习选修45不等式选讲课时跟踪训练62

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课时跟踪训练(六十二)‎ ‎[基础巩固]‎ ‎1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.‎ ‎[解] (1)f(x)= 当x<-1时,f(x)≥1无解;‎ 当-1≤x≤2时,f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;‎ 当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.‎ 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+≤,‎ 且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x≤.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎2.(2017·甘肃兰州模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(a∈R).‎ ‎(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=4时,|x-1|+|x-a|≥5等价为或或解得x≤0或x≥5.‎ 所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}.‎ ‎(2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,所以f(x)min=|a-1|.要使f(x)≥4对x∈R恒成立,则需|a-1|≥4.所以a≤-3或a≥5,即实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥5}.‎ ‎3.(2017·东北三省四市高三二模)已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.‎ ‎(1)证明:2a+b=2;‎ ‎(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.‎ ‎[解] (1)因为-a<,所以f(x)=|x+a|+|2x-b|=显然f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最小值为f=a+,所以a+=1,即2a+b=2.‎ ‎(2)因为a+2b≥tab恒成立,所以≥t恒成立,‎ =+=(2a+b)=≥=.‎ 当且仅当a=b=时,取得最小值,‎ 所以t≤,即实数t的最大值为.‎ ‎4.(2017·湖南五市十校高三联考)已知函数f(x)=|x-a|+|x-3|(a<3).‎ ‎(1)若不等式f(x)≥4的解集为,求a的值;‎ ‎(2)若对∀x∈R,f(x)+|x-3|≥1,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)解法一:由已知得f(x)= 当x3时,2x-a-3≥4,得x≥.‎ 已知f(x)≥4的解集为,则显然a=2.‎ 解法二:由已知易得f(x)=|x-a|+|x-3|的图象关于直线x=对称,‎ 又f(x)≥4的解集为,则+=a+3,即a=2.‎ ‎(2)解法一:不等式f(x)+|x-3|≥1恒成立,即|x-a|+2|x-3|≥1恒成立.‎ 当x≤a时,-3x+a+5≥0恒成立,得-3a+a+5≥0,解得a≤;‎ 当a1,a>,即a的取值范围为.‎ ‎[能力提升]‎ ‎6.(2017·广西桂林市、百色市、崇左市一联)设函数f(x)=|x+1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<2x的解集;‎ ‎(2)若2f(x)+|x-a|>8对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)由f(x)<2x得|x+1|<2x,‎ 则-2x1,∴不等式f(x)<2x的解集为(1,+∞).‎ ‎(2)∵f(x)+|x-a|=|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=|a+1|,‎ 又2f(x)+|x-a|>8=23对任意x∈R恒成立,即f(x)+|x-a|>3对任意x∈R恒成立,‎ ‎∴|a+1|>3,解得a<-4或a>2,‎ ‎∴实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(2,+∞).‎ ‎7.(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试)已知函数f(x)=|x-2|.‎ ‎(1)解不等式:f(x)+f(x+1)≤2;‎ ‎(2)若a<0,求证:f(ax)-af(x)≥f(2a).‎ ‎[解] (1)由题意,得f(x)+f(x+1)=|x-1|+|x-2|.‎ 因此只要解不等式|x-1|+|x-2|≤2.‎ 当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,即≤x≤1;‎ 当12时,原不等式等价于2x-3≤2,即20,‎ 所以|1-4ab|2>4|a-b|2,‎ 故|1-4ab|>2|a-b|.‎ ‎9.(2015·福建卷)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,‎ 当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.‎ 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,‎ 所以f(x)的最小值为a+b+c.‎ 又已知f(x)的最小值为4,‎ 所以a+b+c=4.‎ ‎(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1)≥‎ 2=(a+b+c)2=16,‎ 即a2+b2+c2≥.‎ 当且仅当==,‎ 即a=,b=,c=时等号成立.‎ 故a2+b2+c2的最小值为.‎
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