高考全国2卷数学文科试题及答案详解

高考全国2卷数学文科试题及答案详解

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，，则AB= ‎ ‎ (A) （B） （C） (D) ‎ 考点： 交集及其运算．‎ 分析： 先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．‎ 解答： 解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．‎ 故选： B 点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．‎ ‎（2） ()‎ ‎ （A） （B） （C） (D) ‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算．‎ 分析： 分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．‎ 解答： 解：化简可得====﹣1+2i 故选： B 点评： 本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎（3）函数在处导数存在，若是的极值点，则()‎ ‎ （A）是的充分必要条件 ‎ （B）是的充分条件，但不是的必要条件 ‎ （C）是的必要条件，但不是 的充分条件 ‎ (D) 既不是的充分条件，也不是的必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 分析： 根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ 解答： 函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′‎ ‎（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，‎ 故选： C 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎（4）设向量,满足，，则a·b= ()‎ ‎（A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5‎ 考点： 平面向量数量积的运算．‎ 分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论．‎ 解答： ∵|+|=，|﹣|=，‎ ‎∴分别平方得，+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4••=10﹣6=4，即•=1，‎ 故选： A 点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎（5）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项= ()‎ ‎ （A） （B） （C） (D) ‎ 考点： 等差数列的性质．‎ 分析： 由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．‎ 解答： 由题意可得a42=a2•a8，‎ 即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，‎ ‎∴a1=a4﹣3×2=2，‎ ‎∴Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），‎ 故选： A 点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ （6） 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示‎1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3cm，高为‎6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ 考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 分析： 由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ 解答： 几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，‎ 组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．‎ 底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ （7） 正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为()‎ ‎（A）3 （B） （C）1 （D）‎ 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 分析： 由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．‎ 解答： ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，‎ ‎∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．‎ 三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．‎ ‎（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t均为2，则输出的S= ()‎ ‎ （A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ 考点： 程序框图．菁优网版权所有 分析： 根据条件，依次运行程序，即可得到结论．‎ 解答： 若x=t=2，‎ 则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，‎ 第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，‎ 此时3≤2不成立，输出S=7，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．‎ ‎（9）设x，y满足的约束条件，则的最大值为()‎ ‎ （A）8 （B）7 （C）2 （D）1‎ 考点： 简单线性规划．‎ 分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ 解答： 作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，‎ 平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得， 即A（3，2），‎ 此时z的最大值为z=3+2×2=7，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 ‎ ‎ ‎（10）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交于C于两点，则= ()‎ ‎ （A） （B）6 （C）12 （D）‎ 考点： 抛物线的简单性质．‎ 分析： 求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．‎ 解答： 由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．‎ 则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．‎ 代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则x1+x2=，‎ 所以|AB|=x1++x2+=++=12‎ 故答案为：12．‎ 点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．‎ ‎（11）若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是()‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 考点： 函数单调性的性质．‎ 分析： 由题意可得，当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，故 k﹣1＞0，由此求得k的范围．‎ 解答： 函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴当x＞1时，f′（x）=k﹣≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．‎ ‎ （12）设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是()‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ 考点： 直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 分析： 根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．‎ 解答：由题意画出图形如图：‎ ‎∵点M（x0，1），‎ ‎∴若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，‎ ‎∴圆上的点到MN的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，‎ 图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，‎ ‎∴x0的取值范围是[﹣1，1]．‎ 故选：A 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.‎ 考点： 相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 分析： 所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．‎ 解答： 有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，‎ 故他们选择相同颜色运动服的概率为 =，‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．‎ ‎（14）函数的最大值为_________.‎ 考点： 三角函数的最值．‎ 分析： 展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．‎ 解答： 解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx ‎=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．‎ ‎∴f（x）的最大值为1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．‎ ‎（15）已知函数的图像关于直线对称，，则_______.‎ 考点： 函数奇偶性的性质．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．‎ 解答： 解：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，‎ 所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），‎ 即f（x+4）=f（x），‎ 则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，‎ 故答案为：3‎ 点评： 本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎（16）数列满足，则=_________.‎ 考点： 数列递推式．‎ 分析： 根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．‎ 解答： 由题意得，an+1=，a8=2，‎ 令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；‎ 令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；‎ 令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…‎ 根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，‎ ‎∵8÷3=2…2，故a1=‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．‎ 三、 解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 四边形ABCD的内角与互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.‎ ‎（Ⅰ）求和;‎ ‎（Ⅱ）求四边形ABCD的面积。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题设及余弦定理得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①，②得，故 ‎（Ⅱ）四边形的面积 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四凌锥中，底面为矩形，面，为的中点。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面;‎ ‎（Ⅱ）设置，，三棱锥的体积，求A到平面PBD的距离。‎ 解：‎ ‎ （Ⅰ）设BD与AC的交点为，连接 因为ABCD为矩形，所以为BD的中点，‎ 又因为E为PD的中点，所以EO//PB 平面，平面，‎ 所以平面 ‎（Ⅱ）‎ 由题设知，可得 做交于 由题设知，所以，故，‎ 又 所以到平面的距离为 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。根据这50位市民 甲部门 乙部门 ‎3‎ ‎5 9‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0 4 4 8‎ ‎9 7‎ ‎5‎ ‎1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 ‎ ‎9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0‎ ‎6‎ ‎0 1 1 2 3 4 6 8 8 ‎ ‎9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0‎ ‎7‎ ‎0 0 1 1 3 4 4 9 ‎ ‎6 6 5 5 2 0 0‎ ‎8‎ ‎1 2 3 3 4 5 ‎ ‎6 3 2 2 2 0‎ ‎9‎ ‎0 1 1 4 5 6‎ ‎10‎ ‎0 0 0 ‎ ‎（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；‎ ‎（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；‎ ‎（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.‎ ‎50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门品分的中位数的估计值是67.‎ ‎（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.‎ ‎（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设分别是椭圆：（a>b>0）的左右焦点，M是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为N。‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）根据及题设知 将代入，解得（舍去）‎ 故的离心率为 ‎（Ⅱ）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即 ‎ ①‎ 由得 设，由题意知，则 即 代入的方程，得 ②‎ 将①及代入②得 解得，故 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ），‎ 曲线在点（0，2）处的切线方程为 由题设得，所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 设 由题设知 当时，，单调递增，，所以在有唯一实根。‎ 当时，令，则 ‎ 在单调递减，在单调递增，所以 所以在没有实根 综上在R由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的普通方程为 可得的参数方程为 ‎（为参数，）‎ ‎（Ⅱ）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。‎ 故的直角坐标为，即