与球有关的高考试题

与球有关的高考试题

‎2016年高考数学微专题：与球体有关的问题 一、高考趋势分析：‎ ‎ 立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。‎ ‎ 二、基础知识点拨： ‎ ‎ 1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． ‎ ‎2．正方体的内切球其棱长为球的直径． ‎ ‎3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． ‎ ‎4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ‎ 方法主要是“补体”和“找球心”‎ ‎ 考试核心：性质的应用，构造直角三角形建立三者之间的关系。‎ 三、高考试题精练 ‎1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．‎ ‎2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．2 C. D．3 解析：选C　如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ ‎3．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.‎ 解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ 答案： ‎4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A．9π B．3π C．2π D．12π 解析：选D　该几何体的直观图如图所示，‎ 该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC ‎.由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD对角线AC的长为2，可得a＝2，在△PAC中PC＝ ＝2，球的半径R＝ ，∴S表＝4πR2＝4π×()2＝12π.‎ 四、典型例题精析 类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）‎ ‎1.15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= . （2015年理科）‎ ‎2.15．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 （2014年文科）‎ 类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。‎ ‎3.15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 。（2014年理科）‎ 析：欲求球的表面积，归根结底求球半径，与相关的是重要性质。‎ ‎∵AA1=2, ∴。‎ 现将问题转化到⊙O2的半径之上。‎ 因为△ABC是⊙O2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。‎ 由余弦定理有，‎ 由正弦定理有 ‎∴ ∴。‎ ‎4.14．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 8　　．（2013年理科）‎ ‎5.12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为 C （2014年理科）‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎6.（11）已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于 A （2015年文科）‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）‎ 类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。‎ ‎7.15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .（2015年文科）‎ 析：问题的解决根本——求球半径。‎ ‎ 与相关的重要性质中，可求（∵ ∴）‎ ‎ 问题转化到求上 充分运用题目中未用的条件，，∠OMC=45°，∴‎ 于是求得，∴‎ ‎8.(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 D （2014年理科）‎ ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为C（2015文科）‎ ‎（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25‎ 类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。‎ ‎10.13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm．（2010年理科）‎ ‎11.16．长方体的顶点均在同一个球面上，，，则，两点间的球面距离为 .（2015年文科）‎ ‎12.14．体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ．（2009年文科）‎ ‎13.16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____．（2015年文科）‎ ‎14.15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . ‎ 类型五：平面几何性质在球中的综合应用。‎ ‎15.（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．（2015年理科）‎ 析：由OM=ON知，⊙M与⊙No为等圆，根据球中的重要性质∴‎ 又MH⊥AB得H为AB中点，∴BH=AH=2 ∴‎ ‎∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN 由余弦定理有MN2=OM2+ON2－2OM·ON·cos∠MON ‎ MN2=MH2+NH2－2MH·NH·cos(π－∠MON)‎ 解得cos∠MON=，即∠MON=‎ ‎∴三角形OMN为等边三角形， ∴MN=3.‎ 类型六：性质的简单应用。‎ ‎16.(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于______16π_______.（2009年文科）‎ ‎17.（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 24 。（2011年理科）‎ ‎18.（9）高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 C（2011年理科）‎ ‎（A） （B） (C)1 (D) ‎ 五、模拟试题精练 ‎1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．2 C. D．3 答案：选C　‎ ‎3．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.‎ 答案： ‎4．四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A．9π B．3π C．2π D．12π 答案：选D　.‎ ‎5.如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1－B1EDF的体积为________.‎ 答案　(1)a3‎ ‎6.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A ‎7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C.6 D.7‎ 答案　A　‎ ‎8.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：B