- 2021-05-14 发布 |
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文档介绍
高考上海文理科数学试卷及答案
2 0 0 8 年 上海高考数学试卷(理)、(文)评析 一. 填空题(本大题满分44分) 1.不等式的解集是 . 2.若集合、满足,则实数=_____________. 3.若复数满足(是虚数单位),则=_____.________. 4.若函数的反函数为(),则 . 5.若向量、满足,,且与的夹角为,则=__________. 6.函数的最大值是 2. . 7.在平面直角坐标系中,从六个点:、、、、、 中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 8.设函数是定义在上的奇函数. 若当时,,则满足 的的取值范围是 . 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,,,12,13.7,18.3,20,且 总体的中位数为. 若要使该总体的方差最小,则的取值分别是 . 10.某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界 是长轴长为、短轴长为的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 ,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为,那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 解: 11.方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标. 若方程的各个实根所对应的点()(=)均在直线的同侧,则实数的取值范围是 . 解:方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标,由此可知:方程可变为:,先算:方程, 则或 (文)11.在平面直角坐标系中,点的坐标分别为、、. 如果是△围成的区域(含边界)上的点,那么当取到最大值时,点 的坐标是 解:作图:由图可知点落在BC边时,有, 则 当时,即点坐标为时,值最大。 二. 选择题(本大题满分16分) 12. 组合数恒等于 [答] ( D ) (A) . (B) . (C) . (D) . 13. 给定空间中的直线及平面. 条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直 线与平面垂直”的 [答] ( C ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列是首项为1,公比为的无穷等比数列,且各项的和为,则 的值是 [答] ( B ) (A) 1. (B) 2. (C) . (D) . 15. 如图,在平面直角坐标系中,是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点 、的定圆所围成的区域(含边界),是该 圆的四等分点. 若点、点满足且, 则称优于. 如果中的点满足:不存在中的其它点优 于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧 [答] ( D ) (A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分12分) 如图,在棱长为 2 的正方体中,的中点. 求直线与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示). [解] 过作,交于,连接. , 是直线与平面所成的角. 由题意,得. , . , . 故直线与平面所成角的大小是. 17.(本题满分13分) 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形. 小区的两个出入口设置在点及点处,且小区里有一条平行于的小路. 已知某人从沿走到用了10分钟,从沿走到用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径的长(精确到1米). [解法一] 设该扇形的半径为米. 连接. 由题意,得 =500(米),=300(米),. 在△中,, 即, 解得(米). 答:该扇形的半径的长约为445米. [解法二] 连接,作,交于. 由题意,得=500(米),=300(米),. 在△中, , (米), . 在直角△中,(米),, (米). 答:该扇形的半径的长约为445米. 18.(本题满分15分) 已知双曲线,是上的任意点. (1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点的坐标为,求的最小值. (1)设是双曲线上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是和. 点到两条渐近线的距离分别是和 它们的乘积是. 点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设的坐标为,则 . , 当时,的最小值为, 即的最小值为. (文)已知函数,直线与函数、的图像分别交于两点. (1)当时,求的值; (2)求在 时的最大值. [解] (1) . (2) . ,, 的最大值为. 19.(本题满分16分) 已知函数. (1)若,求的值; (2)若对于恒成立,求实数的取值范围. [解] (1)当时,;当时,. 由条件可知 ,即 , 解得 . ,. (2)当时,, 即 . , . , 故的取值范围是. 20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2 小题满分5分,第3小题满分8分. 设是平面直角坐标系中的点,是经过原点与点的直线.记是直线与抛物线的异于原点的交点. (1)已知. 求点的坐标; (2)已知点在椭圆上,. 求证:点落在双曲线上; (3)已知动点满足,. 若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上,试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由 [解](1)当时, 解方程组 得 即点的坐标为. [证明](2)由方程组 得 即点的坐标为. 是椭圆上的点,即 , . 因此点落在双曲线上. (3)设所在抛物线的方程为 ,. 将代入方程,得 ,即. 当时,,此时点的轨迹落在抛物线上; 当时,,此时点的轨迹落在圆上; 当且时,,此时点的轨迹落在椭圆上; 当时,,此时点的轨迹落在双曲线上. (文) 已知双曲线. (1)求双曲线的渐近线方程; (2)已知点的坐标为. 设是双曲线上的点,是点关于原点的对称点. 记. 求的取值范围; (3)已知点的坐标分别为,为双曲线上在第一象限内的点. 记为经过原点与点的直线,为△截直线所得线段的长. 试将表示为直线的斜率的函数. [解](1)所求渐近线方程为. (2)设的坐标为,则的坐标为. . , 的取值范围是. (3)若为双曲线上第一象限内的点, 则直线的斜率. 由计算可得,当时,; 当时,. 表示为直线的斜率的函数是 21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第 2小题满分7分,第3小题满分8分. 已知以为首项的数列满足: (1)当,时,求数列的通项公式; (2)当,时,试用表示数列前100项的和; (3)当 (是正整数),,正整数时,求证:数列, ,,成等比数列当且仅当. (1)21. [解](1)由题意得 . (2)当时, ,,,,,,…, ,,,… . (3)当时,; ,; ,; ,. ,,,. 综上所述,当时,数列,,,是公比为的等比数列. 当时, , ,, . 由于,,, 故数列,,,不是等比数列. 所以,数列,,,成等比数列当且仅当. (文)已知数列:,,,(是正整数),与数列 :,,,,(是正整数). 记 . (1)若,求的值; (2)求证:当是正整数时,; (3)已知,且存在正整数,使得在,中有4项为100. 求的值,并指出哪4项为100. [解](1) . ,. [证明](2)用数学归纳法证明:当时,. ① 当时,,等式成立. ② 假设时等式成立,即, 那么当时, ,等式也成立. 根据①和②可以断定:当时,. [解](3)(). 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,. 是奇数,,,均为负数, 这些项均不可能取到100. ,解得,, 此时为100. 查看更多