全国二卷理科数学高考真题及答案解析

全国二卷理科数学高考真题及答案解析

‎2016年全国高考理科数学试题全国卷2‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )‎ A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)‎ ‎2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )‎ A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3}‎ ‎3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( )‎ A．–8 B．–6 C．6 D．8‎ ‎4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( )‎ A．– B．– C． D．2‎ ‎5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )‎ A．x=–(k∈Z) B．x=+(k∈Z) C．x=–(k∈Z) D．x=+(k∈Z)‎ ‎8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )‎ A．7 B．12 C．17 D．34‎ ‎9、若cos(–α)=，则sin2α= ( )‎ A． B． C．– D．– ‎10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2‎ ‎)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )‎ A． B． C． D． ‎11、已知F1、F2是双曲线E：–=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，...(xm,ym)，则( )‎ A．0 B．m C．2m D．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___________．‎ ‎14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。‎ ‎(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。‎ ‎(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。‎ 其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。‎ ‎15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．‎ ‎16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ ‎18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ ‎19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=．‎ ‎(1)证明：D'H⊥平面ABCD；‎ ‎(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．‎ ‎20、(本小题满分12分)已知椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．‎ ‎(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．‎ ‎21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=ex的单调性，并证明当x>0时，(x–2)ex+x+2>0； ‎ ‎(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．‎ 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 ‎22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．‎ ‎(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；‎ ‎(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．‎ ‎23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=，求l的斜率．‎ ‎24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．‎ 参考答案 ‎1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–30，∴·=·，整理得(k–1)(4k2–k–4)=0，‎ ‎4k2–k+4=0无实根，∴k=1．‎ 所以△AMN的面积为|AM|2=(·)2=．‎ ‎(2)直线AM的方程为y=k(x+)，‎ 联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2–3t=0。解得x=–或x=–，‎ ‎∴|AM|=|–+|=·，∴|AN|=· ‎∵2|AM|=|AN|，∴2··=·，整理得，t=．‎ ‎∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即>3，整理得<0，解得0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。‎ ‎∴x>0时，ex>f(0)=–1，∴(x–2)ex+x+2>0。‎ ‎(2)g'(x)===，a∈[0,1)。 ‎ 由(1)知，当x>0时，f(x)=ex的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得·et=–a，t∈(0,2]。 ‎ 当x∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增 h(a)===。‎ 记k(t)=，在t∈(0,2]时，k'(t)=>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(,]．‎ ‎22、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。‎ ‎∵DE=DG，CD=BC，∴=。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。‎ ‎∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B，C，G，F四点共圆．‎ ‎(2)∵E为AD中点，AB=1，‎ ‎∴DG=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．‎ ‎23、解：(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，‎ 由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0．‎ ‎(2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知：=，即=，整理得k2=，则k=±．‎ ‎24、解析：(1)当x<–时，f(x)=–x–x–=–2x，若–1时，f(x)=2x，若f(x)<2，0，即a2b2+1>a2+b2，则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，则(ab+1)2>(a+b)2，即|a+b|<|ab+1|，‎ 证毕．‎