2008高考湖北数学文科试题含详细解答全word版080628

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文档介绍

2008高考湖北数学文科试题含详细解答全word版080628

绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数 学(文史类)‎ 本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注间事项:‎ 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效.‎ ‎3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效.‎ ‎4.考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设 A. B. C. D.‎ 解:,,选C ‎2. 的展开式中常数项是 ‎ A.210 B. C. D.-105‎ 解:,令得 ‎ 所以常数项为 ‎3.若集合 A. “”是“”的充分条件但不是必要条件 B. “”是“”的必要条件但不是充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 解:反之不然故选A ‎4.用与球心距离为1的平面去截面面积为,则球的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎ 解:截面面积为截面圆半径为1,又与球心距离为球的半径是,‎ 所以根据球的体积公式知,故D为正确答案. ‎ ‎5.在平面直角坐标系中,满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的 解:在坐标系里画出图象,C为正确答案。也可取点坐标检验判断。‎ ‎6.已知在R上是奇函数,且 ‎ A. B. C. D.‎ 解:由题设 ‎7.将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 ‎ A. B. C. D. ‎ 解: 平移得到图象的解析式为,‎ 对称轴方程,‎ 把带入得,令,‎ ‎8. 函数的定义域为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 解:函数的定义域必须满足条件:‎ ‎9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A.100 B‎.110 C.120 D.180‎ 解:10人中任选3人的组队方案有,没有女生的方案有,‎ 所以符合要求的组队方案数为110种。‎ ‎10.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距,用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:‎ ‎①②③④其中正确式子的序号是 ‎ ‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ 解:由焦点到顶点的距离可知②正确,由椭圆的离心率知③正确,故应选B.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎11.一个公司共有1 000名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的工人数是 .‎ 解:由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足 ‎12.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知则A= .‎ 解:由余弦定理可得,‎ ‎13.方程的实数解的个数为 .‎ 解:画出与的图象有两个交点,故方程的实数解的个数为2个。‎ ‎14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .‎ 解:两个闹钟都不准时响的概率是,所以至少有一准时响的概率是 ‎15.圆的圆心坐标为 , 和圆C关于直线 对称的圆C′的普通方程是 .‎ 解:由题设,圆心坐标;关于直线对称的圆C′圆心为,半径相等,所以方程是 三、解答题:本大题共6分小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满12分)‎ ‎ 已知函数 ‎ (Ⅰ)将函数化简成的形式,并指出的周期;‎ ‎ (Ⅱ)求函数上的最大值和最小值 解:(Ⅰ).‎ ‎ 故的周期为{k∈Z且k≠0}.‎ ‎(Ⅱ)由π≤x≤π,得.因为f(x)=在[]上是减函数,在[]上是增函数.‎ 故当x=时,f(x)有最小值-;而f(π)=-2,f(π)=-<-2,‎ 所以当x=π时,f(x)有最大值-2.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数(m为常数,且m>0)有极大值9.‎ ‎ (Ⅰ)求m的值;‎ ‎ (Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线的切线,求此直线方程.‎ 解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=m,‎ 当x变化时,f’(x)与f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-m)‎ ‎-m ‎(-m,)‎ ‎(,+∞)‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f (x)‎ 极大值 极小值 从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,‎ 即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,‎ 依题意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-.‎ 又f(-1)=6,f(-)=,‎ 所以切线方程为y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+),‎ 即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在直三棱柱中,平面侧面 ‎ (Ⅰ)求证: ‎ ‎ (Ⅱ)若,直线AC与平面所成的角为,二面角 解:(Ⅰ)证明:如右图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,‎ 得AD⊥平面 A1BC.又BC平面A1BC 所以AD⊥BC.‎ 因为三棱柱ABC-A1B‎1C1是直三棱柱,‎ 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.‎ 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,‎ 又AB侧面A1ABB1,‎ 故AB⊥BC.‎ ‎ (Ⅱ)证法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,∠ABA1就是二面角A1-BC-A的颊角,即∠ACD=θ,∠ABA1=j.‎ ‎ 于是在RtΔADC中,sinθ=,在RtΔADA1中,sin∠AA1D=,‎ ‎ ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角,所以θ=∠AA1D.‎ ‎ 又由RtΔA1AB知,∠AA1D+j=∠AA1B+j=,故θ+j=.‎ ‎ 证法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设AB=c(c<a=,则B(0,0,0),A(0,c,0),C(),‎ A1(0,c,a),于是,=(0,c,a),‎ ,=(0,c,a) 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则由 可取n=(0,-a,c),于是 n·=ac>0,与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=,‎ cosj=‎ 所以sinq=cosj=sin(),又0<q,j<,所以q+j=.‎ ‎19.(本不题满分12分)‎ ‎ 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为‎18000cm2,四周空白的宽度为‎10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为‎5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?‎ 解:‎ 解法1:设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab=9000. ①‎ 广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0.‎ 广告的面积S=(a+20)(2b+25)‎ ‎=2ab+40b+‎25a+500=18500+‎25a+40b ‎≥18500+2=18500+‎ 当且仅当‎25a=40b时等号成立,此时b=,代入①式得a=120,从而b=75.‎ 即当a=120,b=75时,S取得最小值24500.‎ 故广告的高为‎140 cm,宽为‎175 cm时,可使广告的面积最小.‎ 解法2:设广告的高为宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20,其中x>20,y>25‎ 两栏面积之和为2(x-20),由此得y=‎ 广告的面积S=xy=x()=x,‎ 整理得S=‎ 因为x-20>0,所以S≥2‎ 当且仅当时等号成立,‎ 此时有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=+25,得y=175,‎ 即当x=140,y=175时,S取得最小值24500,‎ 故当广告的高为‎140 cm,宽为‎175 cm时,可使广告的面积最小.‎ ‎20(本小题满分13分)‎ ‎ 已知双曲线的两个焦点为 ‎ 的曲线C上.‎ ‎ (Ⅰ)求双曲线C的方程;‎ ‎ (Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程 解:(Ⅰ)解法1:依题意,由a2+b2=4,得双曲线方程为(0<a2<4),‎ 将点(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,‎ 故所求双曲线方程为 解法2:依题意得,双曲线的半焦距c=2.‎ ‎2a‎=|PF1|-|PF2|=‎ ‎∴a2=2,b2=c2-a2=2.‎ ‎∴双曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,‎ 得(1-k2)x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,‎ ‎∴‎ ‎∴k∈(-)∪(1,).‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=于是 ‎|EF|=‎ ‎=‎ 而原点O到直线l的距离d=,‎ ‎∴SΔOEF=‎ 若SΔOEF=,即解得k=±,‎ 满足②.故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=和 解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,‎ 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ①‎ ‎∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F,‎ ‎∴‎ ‎∴k∈(-)∪(1,). ②‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ‎|x1-x2|=. ③‎ 当E、F在同一支上时(如图1所示),‎ SΔOEF=|SΔOQF-SΔOQE|=;‎ 当E、F在不同支上时(如图2所示),‎ SΔOEF=SΔOQF+SΔOQE=‎ 综上得SΔOEF=,于是 由|OQ|=2及③式,得SΔOEF=.‎ 若SΔOEF=2,即,解得k=±,满足②.‎ 故满足条件的直线l有两条,方程分别为y=和y=‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知数列,其中为实数,为正整数.‎ ‎ (Ⅰ)证明:当 ‎(Ⅱ)设为数列的前n项和,是否存在实数,使得对任意正整数n,都有 若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.‎ 解: (Ⅰ)证明:假设存在一个实数l,使{an}是等比数列,则有,即 ‎()2=2矛盾.‎ 所以{an}不是等比数列.‎ ‎(Ⅱ)证明:∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又由上式知 故当数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)当由(Ⅱ)得于是 ‎ ‎ ‎ 当时,,从而上式仍成立.‎ ‎ 要使对任意正整数n , 都有 ‎ 即 ‎ 令 ‎ 当n为正奇数时,当n为正偶数时,‎ ‎ ‎ ‎ 于是可得 ‎ 综上所述,存在实数,使得对任意正整数,都有 ‎ 的取值范围为
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