高考数学常考题型的总结必修五

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学常考题型的总结必修五

高考数学常考题型的总结(必修五)‎ 对高三理科来说,必修五是高考的必考内容,它不仅要考查基础知识点,而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中,一定要明白什么是重要,什么是难点,什么是常考知识点。对重难点要了如指掌,能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点,更重要的要对知识点理解的有深度,对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说,只有你多于一桶水的能力,在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来,否则,基本不可能考出相对理想的成绩来。‎ 必修五主要包括三大部分内容:解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢?这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到,但是我们在复习的时候,一定要不留死角,对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解:‎ 解三角形 ‎ 解三角形是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为5-12分。考查的时候,可能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与三角函数,平面向量等知识点进行综合考查,难度一般不是很大,如果出解答题,一般是第17题,属于拿分题。‎ 知识点:正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。‎ 正弦定理:(为的外接圆半径)‎ 余弦定理:,,‎ ‎(变形后),,‎ 三角形的面积的公式:。‎ 知识点分解:‎ ‎(1)两边一角,求另外两角一边,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,特别注意两种三角形的情况。‎ ‎(2)两角一边,求另外一角和两边,肯定是正弦定理。‎ ‎(3)等式两边都有边或通过转化等式两边都有边,用正弦定理。‎ ‎(4)知道三边的关系用余弦定理。‎ ‎(5)求三角形的面积,或和向量结合用向量的余弦公式。‎ ‎(6)正余弦定理与其他知识的综合。‎ 必须具备的知识点:三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。‎ 可能综合的知识点:三角函数以及正余弦定理的模块内部综合;和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。‎ 解三角形常考的题型有:‎ 考点一 正弦定理的应用 例:在中,,则 答案:‎ 知识点:正弦定理和三角同角关系 思路:(方法不唯一)利用正弦定理先求出,然后利用同角三角函数的关系可求出。‎ 考点二 余弦定理的应用 ‎ 例:在ABC中,已知,,,求的值 答案:‎ 知识点:余弦定理 思路:直接利用余弦定理,即可求出的值。‎ 考点三 正、余弦定理的混合应用 例:设的内角所对边的长分别为。若,则则角_____.‎ 答案:‎ 知识点:正余弦定理 思路:(方法不唯一)先通过正弦定理求出三边的关系,然后再用余弦定理求角。‎ 考点四 三角形的面积问题 例:在中,角所对应的边分别为,若,且求的值 答案:‎ 知识点:三角形的面积 思路:先求出,然后由三角形面积公式即可。‎ 考点五 最值问题 例:在中,,则的最大值为 答案:‎ 知识点:正弦定理和三角恒等变换 思路:(方法不唯一)先利用正弦定理,然后利用恒等变换,转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题。‎ 考点六 三角形形状的判断 例:已知中,,判断三角形的形状 答案:等腰三角形或直角三角形 知识点:正弦定理和二倍角公式 思路:先由正弦定理化解,然后利用二倍角公式讨论即可。‎ 考点七 三角形个数的判断 例:在中,角所对应的边分别为,若,且求的值 答案:1或2‎ 知识点:正余弦定理 思路:分类讨论或两种情况。‎ 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例:在中,角所对应的边分别为,若,求的面积的最大值。 ‎ 答案:‎ 知识点:三角形面积公式、余弦定理和基本不等式 思路:先利用三角形面积公式,然后用余弦定理,最后基本不等式求最值。‎ 例:设的内角所对的边长分别为,且,求的最大值。‎ 答案:‎ 知识点:正弦定理、正切差公式和基本不等式 思路:先通过正弦定理,得到,然后正切差公式,最后应用基本不等式。‎ 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例:在中,的面积,求 答案:‎ 知识点:三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路:先利用三角形面积公式,然后平面向量中的余弦公式即可。‎ 例:在中,边所对的角为,向量,且向量与的夹角是。 ‎ 求角的大小 答案:‎ 知识点:向量中的坐标运算和余弦公式 思路:先利用向量的坐标运算和余弦公式转化,然后求解。‎ 考点十 数列在解三角形上的应用 例:设的内角所对的边长分别为,若依次成等比数列,角的取值范围.‎ 答案:‎ 知识点:余弦定理、等比数列和基本不等式 思路:先用等比数列,然后余弦定理,最后用基本不等式求最值。‎ 考点十一 解三角形的实际应用 例:如图,都在同一个与水平面垂直的平面内,为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面处测得点和点的仰角分别为 ‎,,于水面处测得点和点的仰角均为,。试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等,然后求的距离(计算结果精确到,,) ‎ 答案:0.33km 知识点:正弦定理和三角形的相关知识 思路:先通过三角形的相关知识进行转化,然后利用正弦定理就可以求出长度。 ‎ 考点十二 解三角形的综合题型 例:已知分别为三个内角的对边,‎ (1) 求 (2)若,的面积为;求。‎ 答案:(1) (2)‎ 知识点:正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式 思路:(1)先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后,利用三角恒等变换求出。‎ ‎ (2)利用角,再通过余弦定理,就可以求出的值。‎ 数列 ‎ 数列是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为10-17分。考查的时候,可能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与不等式,函数等知识点进行综合考查。以前考题比较难一些,现在多数比较简单,但是常用的方法还是比较经典的。‎ 知识点:数列的递推公式,数列的求通项公式,数列的求和,等差数列和等比数列 知识点分解:‎ ‎(1)递推公式:建立前项和和的关系。‎ ‎(2)等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前项和等问题。‎ ‎(3)等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前项和等问题。‎ ‎(4)数列求通项公式的几种方法。‎ ‎(5)数列求和的几种方法。‎ ‎(6)数列的综合问题 必须具备的知识点:函数、导数、不等式,平面向量、三角函数等相关知识。‎ 可能综合的知识点:数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。‎ 数列的常见题型:‎ 考点一 和的关系 例:数列的前项和为 已知,求的值,以及数列的表达式。‎ 答案:,‎ 知识点:递推公式 思路:已知项数,求具体值;未知项数,求表达式。‎ 考点二 等差数列 ‎1等差数列的公差和通项公式 ‎,(等差数列的通项公式,知三求一;如果已知,那么求的是数列的通项公式)‎ ‎(等差数列通项公式的变形公式)‎ 例:已知等差数列中,,求数列的公差以及数列的通项公式;‎ 答案:,‎ 知识点:等差的公差和通项公式 思路:利用数列的通项公式先求出公差,然后求数列的通项公式。‎ ‎2 等差数列的性质 ‎(都是正整数),,(都是正整数),,是和的等差中项。‎ 例:已知等差数列中,,求以及的值 答案:,‎ 知识点:等差数列的性质 思路:等差数列的性质和等差中项可得到。‎ ‎3 等差数列的求和 ‎(知三求一,如果已知,那么求的是的表达式),‎ ‎(为奇数)或。‎ 例:设等差数列的前项和为,若,则的值 答案:63‎ 知识点:等差数列的求和 思路:(方法不唯一)通过等差数列前项和为,先求出和,然后再利用等差数列前项和,求。‎ ‎4 等差数列求和中的最值问题 类似于二次函数,当时,有最小值;当时,有最大值。‎ 例:设等差数列{}的前n项和为,已知,求中的最大值 答案:49.‎ 知识点:等差数列的和或二次函数的知识 思路:先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最大值。‎ 例:设等差数列{}的前n项和为,已知,求中的最小值 答案:-36‎ 知识点:等差数列的和或二次函数的知识 思路:先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最小值 ‎5 等差数列的证明 ‎(等差数列的定义表达式)‎ 例:设数列的前n项和为,,求证:是等差数列。‎ 答案:首项为1,公差也为1的等差数列 知识点:对数函数的知识和等差数列 思路:先求出,然后利用等差数列的定义表达式,证明等差数列。‎ ‎6已知等差数列{}中,求数列{}前n项和。‎ 答案:或 知识点:解方程和等差数列的和 思路:先利用等差数列的知识求出首项和公差,然后再求前n项和 考点三 等比数列 ‎1 等比数列的公比和通项公式 ‎(等比数列的通项公式,知三求一;如果已知,那么求的是数列的通项公式)‎ ‎(等比数列通项公式的变形公式)‎ 例:已知等比数列中,,求等比数列的公比和数列的通项公式;‎ 答案:,‎ 知识点:等比数列的公比和通项公式 思路:利用等比数列的通项公式即可求出。‎ ‎2等比数列的性质 ‎(都是正整数),,(都是正整数),,是和的等比中项。‎ 例:设等比数列{},已知,求值 答案:‎ 知识点:等比中项 思路:利用等比中项即可。‎ 例:设等比数列{},已知,求值 答案:216‎ 知识点:等比数列的性质 思路:利用等比的性质即可。‎ ‎3等比数列求和 ‎(用错位相减法推导)‎ 例:设等比数列的公比,前项和为,则 答案:15‎ 知识点:等比数列的求和 思路:利用等比数列的求和和通项公式即可。‎ ‎4 等比数列的证明 ‎(等比数列的定义表达式)‎ 例:在数列中,,,设,证明:数列是等比数列。‎ 答案:数列是公比2,首项-2的等比数列 知识点:等比数列的定义 思路:先化解,再利用等比数列的定义来证明。‎ ‎5 等比数列的综合 例:设为数列的前项和,,,其中是常数,若对于任意的,,,成等比数列,求的值。‎ 答案:或 知识点:等比数列的等比中项和递推公式 思路:先通过递推公式化解,然后再利用等比数列的等比中项,即可求出。‎ 考点四 等差和等比数列的综合问题 例:已知实数列是等比数列,其中成等差数列,求数列的通项公式。‎ 答案:‎ 知识点:等比数列的通项公式和等差中项 思路:先利用等比数列的知识,然后再利用等差数列的等差中项,即可求出。‎ 例:等比数列中,已知,若分别为等差数列的第3项和第5项,求数列的通项公式及前项和。‎ 答案:‎ 知识点:等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路:通过等比数列的知识来转化为等差数列,即可。‎ 考点五 求数列的通项公式 ‎1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式(上述已有)‎ ‎2 累加法 形式为:,利用累加法求通项,‎ 例:已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 答案:‎ 知识点:累加法求数列的通项公式 思路:由得则,即可。‎ ‎3 累乘法 形式为:,利用累乘法求数列通项,。‎ 答案:‎ 知识点:累加法求数列的通项公式 思路:由条件知,,即可。‎ ‎4 待定系数法 (1) ‎(其中p,q均为常数,),把原递推公式转化为:,其中,再转化为等比数列求通项公式。‎ (2) ‎(其中均为常数,)。 (或,其中均为常数)等式两边同除以得,,若,再利用上述的方法,转化为等比数列的形式,利用等比数列通项公式;若,将转化为等差数列的形式,再利用等差数列求通项公式。‎ 例:已知数列中,,,求.‎ 答案:‎ 知识点:待定系数法求数列的通项公式 思路:设递推公式可以转化为,然后利用等比数列求通项公式。‎ 例:已知数列中,,,求。‎ 答案:‎ 知识点:待定系数法求数列的通项公式 思路:(方法不唯一)根据,两边除以得:,令,转化成上面例题的形式,然后再利用上面例题的方法求解。‎ ‎5 配凑法(构造法):建立等差数列或等比数列的形式 例:已知数列满足求数列的通项公式;‎ 答案:‎ 知识点:构造成等比数列 思路:(方法不唯一,还可以利用特征根的方法求解)构造等比数列,或利用特征根的方法,求出两根,,然后利用等比数列的知识求解。‎ ‎6 递推法 ‎ ‎,解决既有又有的问题。‎ 例:设数列的前项和为 已知,求数列的通项公式。‎ 答案:‎ 知识点:利用递推公式,再利用等比数列的通项公式 思路:先利用递推公式化解,然后等比数列求通项公式。‎ ‎7 不动点法、换元法,数学归纳法等求通项公式(内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)‎ 考点六 数列求和 ‎1 公式法、等差数列和等比数列求和(略)‎ ‎2 裂项相消法 裂项相消的常见形式:,,‎ ‎。‎ 例:已知数列满足求数列的求和。‎ 答案:‎ 知识点:利用裂项相消求数列的和 思路:利用求和即可。‎ 例:已知数列满足:,求数列的求和 答案:‎ 知识点:分母有理化,利用裂项相消求数列的和 思路:进行分母有理化得,,然后裂项相消求和。‎ ‎3 错位相减法:(课本上推导等比数列求和公式的方法)由等差数列和等比数列构成的新数列,用错位相减。‎ 例:已知数列满足:,求数列的求和 答案:‎ 知识点:错位相减法求和 思路:错位相减法求和。‎ 例:设数列满足,,设,求数列的前项和。‎ 答案:‎ 知识点:错位相减法求和 思路:错位相减法求和。‎ ‎4 分组求和法(将新数列分成已学过的数列,然后求和)‎ 例:设数列的前n项和为,且,求的表达式 答案:‎ 知识点:利用等差数列和等比数列求和 思路:根据数列的特点,等差数列和等比数列的求和公式可以得到。‎ ‎5 相加求和法、数学归纳法求和(内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)‎ 考点七 数列中的不等式问题 例:设数列的前项和为.已知,,,若,,求的取值范围。‎ 答案:‎ 知识点:递推公式,构造法求的通项公式,数列的单调性。‎ 思路:通过递推公式,构造法求的通项公式,再利用数列的单调性求的取值范围。‎ 考点八 数列中的放缩法 例:已知数列,满足,证明 答案:如下 知识点:发缩放证明数列中的不等式 思路:由构造法求的通项公式,然后利用放缩法,转化为等比数列求和,最后证明不等式。‎ 考点九 数列中的不等式问题(最值问题,是正整数)‎ 例:已知等差数列的前项和为,若,则的最小值为 答案:-49‎ 知识点:等差数列的求和,导数 思路:通过等差数列的知识求出,然后再通过导数求出。‎ 不等式 ‎ 不等式是高考的重要知识点,但是它会和其他知识融合在一起考查,有时是一道小题,有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现,分数范围为(5-10分)。现在线性规划,几乎每年必考,虽然不是很难,但是大家一定要掌握好,不等式小题一般不会很难,综合题重点主要是汇入其他知识点进行,对数是取值范围或值域问题。‎ 知识点:不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。‎ 不等关系:‎ ‎1.不等关系与不等式 比差法:。问题的关键是判定差的符号(正,负,零),方法通常是配方或因式分解。‎ ‎2.不等式的性质 基本性质有: ‎ ‎(1)(对称性) (2)(传递性) ( 3) ‎ ‎(4)时,; 时,。‎ 运算性质有:‎ ‎(1) (2) (3)‎ ‎(4) (5) (6).‎ ‎3 基本不等式 ‎(同号,当且仅当时成立等号);‎ ‎(同号,等号成立);(当且仅当时成立等号)。‎ ‎(当且仅当时成立等号)。‎ 必须具备的知识点:函数、导数、三角函数、数列等相关知识。‎ 可能综合的知识点:不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。‎ 不等式的常见题型:‎ 考点一 解一元二次不等式 解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究 ‎(讨论的情况)‎ ‎ ‎ 两不等实根 两相等实根 无实根 ‎(讨论的情况,只需将不等式两边同乘以-1,改变不等式方向加以研究)‎ ‎1 最基本的一元二次不等式(略)‎ ‎2 含参数的一元二次不等式(需要分类讨论)‎ 例:解不等式()‎ 答案:当或时,解集为;当时,解集为;‎ 知识点:解含参数的一元二次不等式 思路:用分类讨论法解一元二次不等式。‎ ‎3 高次不等式(数轴标根法,已不再是高考的重点)‎ ‎4 分式不等式 (1) ‎().‎ (2) ‎(剩下的同上)注意,如果已经确定,即有。‎ ‎5 单绝对值不等式 (1) ‎;(2)‎ ‎6 双绝对值不等式 可分解为:当时,;‚当时,;ƒ当时,。具体解根据实际情况即可。注意:;含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论,或根据实际情况看是哪一类问题具体确定;含参数的双绝对值不等式恒成立问题,会涉及到最值问题,需要根据函数的单调性求取值。‎ 例:已知函数,求不等式的解集。‎ 答案:‎ 知识点:双绝对值不等式 思路:分类讨论解双绝对值不等式。‎ 例:函数,若的解集包含,求的取值范围。‎ 答案:‎ 知识点:双绝对值不等式中含参数的问题 思路:由给出的解集,可去双绝对值,然后确定的取值范围。‎ 例:关于的不等式在上恒成立,则实数的最大值是 答案:‎ 知识点:双绝对值不等式中含参数的问题 思路:(方法不唯一)分类讨论可以解出不等式的取值范围,然后求出的最大值。‎ 考点二 不等式的证明 常用的方法:做差法,分析法,综合法,放缩法,数学归纳法。‎ 柯西不等式:‎ 例:已知,求证 答案:如下 知识点:柯西不等式 思路:由,然后构造柯西不等式。‎ 例:已知,求证。‎ 答案:如下 知识点:绝对值不等式,作差法 思路:作差,讨论的正负。‎ 例:若,求证 答案:如下 知识点:绝对值不等式,不等式的性质 思路:通过解绝对值不等式,和不等式的性质即可。‎ 考点三 不等式组的线性规划 不等式组的线性规划的解题思路是:所取的点是否在约束的范围内。‎ ‎1 最大值和最小值 例:设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为 答案:3,-11‎ 知识点:不等式组的线性规划(最大值和最小值)‎ 思路:三条直线的交点(构成三角形区域)代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值。‎ ‎2 最值范围 例:设满足约束条件:;则的取值范围为 答案:‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:画图,找出区域,求出的交点代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值。‎ ‎3面积问题 例:不等式组表示的平面区域的面积为 答案:1‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:找出三角形区域,然后用三角形面积公式求面积。‎ ‎4目标函数中含参数 例:已知满足以下约束条件,使取得最小值的最优解有无数个,则的值为 答案:1‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:找出可行域,做目标函数的平行线,即可。‎ ‎5 求非线性目标函数的最值 例:已知x、y满足以下约束条件 ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是 答案:13, ‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。‎ ‎6 约束条件中含函数的最值范围 例:已知>0, 满足约束条件, 若的最小值是1,则=‎ 答案:‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。‎ ‎7 比值问题 例:已知变量满足约束条件,则 的取值范围是( )。‎ 答案:‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。‎ ‎8 双边约束条件 例:若变量满足约束条件,则的最小值是。‎ 答案:-6‎ 知识点:不等式组的线性规划 思路:找出可行域,是平行四边形区域,求出四个交点的坐标代入目标函数中,即可。‎ 考点四 基本不等式 ‎1 直接法 例:求函数的最小值 答案:2‎ 知识点:基本不等式 思路:直接用基本不等式。‎ ‎2 构造法 例:已知,求函数的最大值 答案:1‎ 知识点:基本不等式 思路:上述表达式可转化为,,应用基本不等式。‎ 例:求的最小值 答案:5‎ 知识点:基本不等式 思路:上式转化为:,然后用基本不等式。‎ ‎3 换元法 例:求函数的值域。‎ 答案:‎ 知识点:基本不等式 思路:令,则,应用基本不等式(函数的单调性)。‎ ‎4 “1”的活用 例:已知则的最小值是 答案:‎ 知识点:基本不等式 思路:可根据进行转化,然后利用基本不等式。‎ ‎5 的应用 例:若实数满足,则的最大值是 答案:‎ 知识点:基本不等式 思路:上式可转化为:,即可。‎ ‎6 基本不等式的证明 例:设均为正数,且,证明:。‎ 答案:如下 知识点:基本不等式 思路:利用即可。‎ 考点五 不等式的综合问题 例:函数的值域是 答案:‎ 知识点:函数的值域,基本不等式 思路:需要先对函数两边平方,然后构造基本不等式,最后用基本不等式。‎ 例:不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为 答案:‎ 知识点:恒成立问题,解不等式 思路:先求双绝对值的最大值,然后解实数的取值范围。‎ 例:设满足约束条件若目标函数的最大值为12,则的最小值为 答案:‎ 知识点:线性规划,基本不等式 思路:先画可行域,然后确定最大值,最后用基本不等式求最小值。‎ 例:已知函数的图像在点处的切线方程为。‎ (1) 用表示出,;‎ (2) 若在上恒成立,求的取值范围;‎ (3) 证明:。‎ 答案:(2)‎ 知识点:导数,函数,不等式 思路:(2)分类讨论,恒成立问题。(3)在第二问的基础上,令,然后化解就行。‎ ‎ 上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结,题型不是很全,但重要的方法或常考的方法基本上都有了,同学们不仅要理解它,更重要的是灵活应用它。希望同学们在学习过程中,要多总结,多练习,多思考,将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度,只有这样才能取得理解的成绩。‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档