高考理科数学新课标全国1卷 逐题解析

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高考理科数学新课标全国1卷 逐题解析

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设z=+2i,则|z|=‎ A.0 B. C.1 D. 解析:选C z=+2i=-i+2i=i ‎2.已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA =‎ A.{x|-12} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} ‎ 解析:选B A={x|x<-1或x>2} ‎ ‎3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:‎ ‎ ‎ 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析:选A ‎4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=‎ A.-12 B.-10 C.10 D.12‎ 解析:选 ∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d) a1=2 ∴d=-3 a5=-10‎ ‎5.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 解析:选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D ‎6.在ΔABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=‎ A. - B. - C. + D. + 第 6 页 共 6 页 解析:选A 结合图形,=- (+)=- -=- -(-)= - ‎7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 A.2 B.2 C.3 D.2‎ 解析:选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长 ‎8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 解析:选D F(1,0),MN方程为y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则=(0,2),=(3,4)‎ ‎∴·=8‎ ‎9.已知函数f(x)= ,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A.[–1,0) B.[0,+∞) C.[–1,+∞) D.[1,+∞)‎ 解析:选C g(x)=0即f(x)=-x-a,即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点,结合y=f(x)图象可知-a<1‎ ‎10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则 A.p1=p2 B.p1=p3‎ C.p2=p3 D.p1=p2+p3‎ 解析:选A ∵AC=3,AB=4,∴BC=5,∴AC=,AB=2 , BC= ‎∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×()2+×π×22=π ‎∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×()2- ×3×4=π-6;‎ ‎∴两个月牙形(图中阴影部分)的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积 ‎∴p1=p2‎ ‎11.已知双曲线C: - y2 =1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形,则|MN|=‎ A. B.3 C.2 D.4‎ 第 6 页 共 6 页 解析:选B 依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±x,MN的斜率为,方程为y=(x-2),联立方程组解得M(,- ),N(3, ),∴|MN|=3‎ ‎12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 解析:选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时,面积最大 此时正六边形的边长为,其面积为6××()2= 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若x,y满足约束条件,则z=3z+2y的最大值为_____________.‎ 解析:答案为6‎ ‎14.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an+1,则S6=_____________.‎ 解析:a1=-1,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1,an=-2n-1,S6=2a6+1=-64+1=-63‎ ‎15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)‎ 解析:合条件的选法有C63-C43=16‎ ‎16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是_____________.‎ 解析:由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的最小值。‎ ‎∵ f′(x)=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),‎ 令f′(x)=0可解得cosx=或cosx=-1, 可得此时x=,π或;‎ ‎∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=,π或和边界点x=0中取到,‎ 计算可得f()=,f(π)=0,f()=-,f(0)=0, ∴函数的最小值为- 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:60分。‎ ‎17.(12分)‎ 在平面四边形ABCD中,∠ADC=900,∠A=450,AB=2,BD=5.‎ ‎(1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC.‎ 解:(1)在ΔABD中,由正弦定理得=.由题设知,sin∠ADB=.‎ 由题设知,∠ADB <900,所以cos∠ADB =.‎ 第 6 页 共 6 页 ‎(2)由题设及(1)知,cos∠BDC= sin∠ADB=.‎ 在ΔBCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25 所以BC=5.‎ ‎18.(12分)‎ 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把ΔDFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.‎ ‎(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;‎ ‎(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.‎ 解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.‎ 又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.‎ ‎(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.‎ 以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.‎ 由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 可得PH=,EH=.‎ 则H(0,0,0),P(0,0, ),D(-1,- ,0 ), =(1, ,),‎ =(0,0, )为平面ABFD的法向量.‎ 设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=||=.‎ 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.‎ ‎19.(12分)‎ 设椭圆C: + y2 =1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ 解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.‎ 由已知可得,点A的坐标为(1, )或(1,- ).‎ 所以AM的方程为y= - x+或y= x-.‎ ‎(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB =00.‎ 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=+.‎ 由y1=kx1-k, y2=kx2-k得kMA+kMB= 第 6 页 共 6 页 将y=k(x-1)代入 + y2 =1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0 所以,x1+x2=, x1x2=.‎ 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k ==0‎ 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.‎ 综上,∠OMA=∠OMB.‎ ‎20.(12分)‎ 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(00;当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.‎ 所以f(p)的最大值点为p0=0.1.‎ ‎(2)由(1)知,p=0.1.‎ ‎(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=40+25Y,‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.‎ ‎(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)= - x+alnx.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f′(x)=0得,x=或x=.‎ 当x∈(0, )∪(,+∞)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(,)时,f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0, )、(,+∞)单调递减,在(,)单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.‎ 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.‎ 第 6 页 共 6 页 由于= - -1+a= -2+ a=-2+ a,‎ 所以1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞).‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;‎ 若a>0,|ax-1|<1的解集为(0, ),所以≥1,故(0,2].‎ 综上,a的取值范围为(0,2].‎ 第 6 页 共 6 页
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