高考文科数学检测卷含解析

高考文科数学检测卷含解析

黄金卷01 备战2020高考全真模拟卷 数学（文）‎ ‎（本试卷满分150分，考试用时120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题)‎ 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．为虚数单位，复数（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎2．设全集，集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，，则下列关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( )‎ A．1150 B．1380 C．1610 D．1860‎ ‎5．下列曲线中离心率为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．函数的图象大致是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．记，那么（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )‎ A．1 B．2 ‎ C． D．‎ ‎9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为 A．9 B．18 C．20 D．35‎ ‎10．双曲线（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则椭圆的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为 ___________ .‎ ‎14．已知等比数列的前n项和为，满足，，则________；‎ ‎15．函数在处取得最大值，则 ______‎ ‎16．长方体中，底面是边长为4的正方形，高为2，则顶点到截面的距离为__________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．‎ 数学 ‎120‎ ‎118‎ ‎116‎ ‎122‎ ‎124‎ 物理 ‎79‎ ‎79‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎83‎ 附．．‎ 已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；‎ 我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．‎ 已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？‎ ‎18．等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.‎ ‎（1）求公差及数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前20项和.‎ ‎19．如图，四棱锥中，平面，，，‎ ‎，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求四面体的体积.‎ ‎20．曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于A、B两点，为坐标原点，求的面积.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）谈论函数的零点个数.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为R，求的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由复数的乘法运算可得 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由，，∴，∴，故选．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎． ． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数.‎ ‎【详解】‎ 依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】‎ 由得，选B.‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 ‎【详解】‎ 当时，‎ 故函数图像过原点，排除 又，令 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有符合要求 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,从而，‎ ‎，‎ 那么，‎ 故选B．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，‎ ‎，表示到原点，表示圆心 ‎，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为输入的,故,满足进行循环的条件,,满足进行循环的条件,,满足进行循环的条件,,不满足进行循环的条件,故输出的值为,故选B.‎ 考点：1、程序框图；2、循环结构.‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】‎ 由于对称性，我们不妨取顶点，取渐近线为，所以由点到直线的距离公式可得，亦可根据渐近线倾斜角为450得到.‎ ‎【考点定位】 本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ∴，．‎ 又是中点，∴，‎ ‎∴，‎ 即，解得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理、正弦定理，考查向量的线性运算．解题关键是是利用向量线性运算把表示为，平方后易求得．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，不妨设点位于第一象限，根据，得到，根据与轴正方向的夹角为，得到，从而由求出，，得到，，联立，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，‎ 不妨设点位于第一象限，‎ 因为，所以为直角三角形，因此；‎ 又与轴正方向的夹角为，‎ 所以，，即；‎ 所以，解得：，所以；‎ 因此①，‎ 又②，‎ 由①②解得：，因此所求椭圆方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数在时的导数，得切线斜率，从而写出切线方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意，∴，切线方程为，即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义．求函数图象在某点处的切线，只要求出导数，即为该点处的切线斜率，由点斜式得出直线方程．‎ ‎14．【答案】或n ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和q=1两种情况求的值。‎ ‎【详解】‎ 由题当时，，解得(q+2)(q-1)=0，得q=2，此时；得当q=1时，，，满足题意，则此时；综上或n ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列求和，注意公比等于1，不等于1的讨论.‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：，并求出和，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出的表达式，由诱导公式求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：，其中，‎ 依题意可得，即，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得： ,‎ 据此可得 ，设顶点到截面的距离为h，‎ 对三棱锥 的体积进行转换顶点求解：‎ ‎ ，即： ，‎ 解得： .‎ 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．‎ 数学 ‎120‎ ‎118‎ ‎116‎ ‎122‎ ‎124‎ 物理 ‎79‎ ‎79‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎83‎ 附．．‎ 已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；‎ 我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．‎ 已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）89分.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算、，求出回归系数、，写出回归方程；‎ 利用回归方程计算y对应的值，求出相关系数的值；‎ 利用回归方程计算时的值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：计算，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ 所以y关于x的线性回归方程是；‎ 由题意，填表得 y ‎79‎ ‎79‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎83‎ 计算相关系数；‎ 所以接近于1，表示回归效果越好；‎ 第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，‎ 预测他的物理成绩为89分．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．‎ ‎18．等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.‎ ‎（1）求公差及数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前20项和.‎ ‎【答案】（1）=2，（2）272‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列性质得，解不等式得范围，再根据为大于0的整数得的值，最后根据等差数列通项公式得结果；‎ ‎（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的公差为，则由题可知：. ‎ ‎，即. ‎ 解得.‎ 因为为整数，=2 ‎ ‎ ‎ 所以数列的通项公式为 ‎ ‎（2）当时，；当时， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎=272 ‎ 所以数列的前20项和为272.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（I）证明平面；‎ ‎（II）求四面体的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.‎ 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，为的中点，‎ 所以到平面的距离为.‎ 取的中点，连结.由得，.‎ 由得到的距离为，故.‎ 所以四面体的体积.‎ ‎【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积 ‎【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．‎ ‎20．曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于A、B两点，为坐标原点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把已知条件转为曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求出曲线的方程；‎ ‎（2）求出过点且斜率为1的直线方程，与抛物线方程联立，消元，得到一元二次方程，结合韦达定理，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.‎ 则曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离，‎ 曲线的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，‎ 其方程为；‎ ‎（2）过点且斜率为1的直线方程为，‎ 联立，消去，得，‎ 设，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义求方程，考查抛物线与直线的位置关系，以及相交弦有关的面积问题，属于中等题.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）谈论函数的零点个数 ‎【答案】(1) 的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）知当时，，分，，三种情况讨论，由函数的定义域为显然没有零点，当转化为函数的交点问题.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵， ‎ 故， ‎ ‎∵‎ ‎∴时，，故单调递减， ‎ 时，，故单调递增， ‎ 所以，时，的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当时，在处取最小值， ‎ 当时，，在其定义域内无零点 当时，，在其定义域内恰有一个零点 当时，最小值，因为，且在单调递减，故函数在上有一个零点，‎ 因为，，，又在上单调递增，故函数在上有一个零点，故在其定义域内有两个零点； ‎ 当时，在定义域内无零点； ‎ 当时，令，可得，分别画出与，易得它们的图象有唯一交点，即此时在其定义域内恰有一个零点 综上，时，在其定义域内无零点；或时，在其定义域内恰有一个零点；时，在其定义域内有两个零点；‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,(为参数,)（Ⅱ）过坐标原点 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题，得，‎ 则，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得点到坐标原点的距离为，由此的轨迹过坐标原点．‎ 试题解析：（1）由题意有，，‎ 因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）．‎ ‎（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标原点．‎ 考点：坐标系与参数方程．‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为R，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）由绝对值三角不等式可得，从而得或，进而可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，原不等式可化为 ‎ 解得 所以不等式的解集为 ‎ ‎（2）由题意可得, 当时取等号.，或， 即或.‎