普通高考数学山东卷全真模拟卷解析

普通高考数学山东卷全真模拟卷解析

‎ 2020年2月普通高考【山东卷】全真模拟卷（2）‎ 数 学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎4．测试范围：高中全部内容。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，则在复平面对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，所以复数对应的点的坐标为，位于第二象限．故选B．‎ ‎2．已知集合，，则中元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，，‎ 所以，所以中元素的个数为3．故选B．‎ ‎3．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】水费开支占总开支的百分比为．故选A ‎4．函数在区间附近的图象大致形状是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】过点，可排除选项A，D．又，排除C．故选B ‎5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，由，与相似，所以，即，又因为，所以，，所以 ‎，即，，所以双曲线C的渐近线方程为．故选C．‎ ‎6．在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：‎ ‎：若，则此四棱锥的侧面积为；‎ ‎：若分别为的中点，则平面；‎ ‎：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍．‎ 在下列命题中，为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为异面直线与所成的角为，AD平行于BC，故角PBC=，正四棱锥 中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为，故是假命题；‎ 取BC的中点G，分别为的中点故得，故平面EFG//平面PAB，从而得到EF//平面PAB，故是真命题；‎ 设AB=a， AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA＝ａ，AO＝，PO＝‎ O为球心，球的半径为，表面积为 ，又正方形的面积为，故为真．‎ 故为真； 均为假．故选A．‎ ‎7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，在中，可得，‎ 即为，解得，，．‎ 故选B．‎ ‎8．已知抛物线的焦点为是抛物线的准线上一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作轴于，则根据抛物线的定义有．又，故，故．故，故直线的倾斜角为．‎ 故直线的斜率为．直线的方程为，化简得．‎ 故选D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】AB ‎【解析】由题意知，，．‎ 选项A；‎ 选项B，；‎ 选项C，；‎ 选项D，符号不确定．故选AB．‎ ‎10．对于实数、、，下列命题中正确的是 A．若，则； B．若，则 C．若，则 D．若，，则，‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】若，则由得，A错；‎ 若，则，　，B正确；‎ 若，则，∴，∴，C正确；‎ 若，且同号时，则有，因此由得，D正确．‎ 故选BCD．‎ ‎11．下列说法错误的有 A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 C．任意事件A发生的概率满足 D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件 ‎【答案】CD ‎【解析】∵随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，∴A中说法正确；‎ 基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，∴B中说法正确；‎ 必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1．∴任意事件A发生的概率P（A）满足．∴C中说法错误；‎ 若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，但不是不可能事件，∴D中说法错误．‎ 故选CD．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，曲线上任意点与两个定点和点连线的斜率之和等于2，则关于曲线的结论正确的有（ ）‎ A．曲线是轴对称图形 B．曲线上所有的点都在圆外 C．曲线是中心对称图形 D．曲线上所有点的横坐标满足 ‎【答案】BC ‎【解析】设点，得不满足方程，‎ 图像如下图所示： ‎ 曲线对应的函数是奇函数，图像关于原点对称，无对称轴，‎ 选项C正确，选项A不正确；‎ ‎，选项B正确；‎ 当时，则选项D不正确． 故选BC．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．在，，三个数中，则最大的数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ ‎，，最大．‎ ‎14．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，将三棱锥补成长方体，‎ 球为长方体的外接球，边长分别为，，，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则球的表面积为．‎ ‎15．在数列中，，，记是数列的前项和，则=____．‎ ‎【答案】220‎ ‎【解析】当是奇数时，，数列中奇数项构成等差数列，当是偶数时，，‎ ‎．‎ ‎16．如下图中、、、、、六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有种颜色可供选择，则共有_________种不同的染色方案．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要完成给出的图形中、、、、、六个区域进行染色，‎ 染色方法分为两类，第一类是仅用三种颜色染色，‎ 即同色，同色，同色，即从四种颜色中取三种颜色，有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；‎ 第二类是用四种颜色染色，即、、三组中有一组不同色，则有种方案（不同色或不同色或不同色），‎ 先从四种颜色中取两种染同色区域有种染法，剩余两种染在不同色区域有种染法，‎ 共有种染法．‎ 由分类加法原理可得总的染色方法种数为（种）．‎ ‎16．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件：‎ ‎（i）老年人的人数多于中年人的人数;‎ ‎（ii）中年人的人数多于青年人的人数;‎ ‎（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数．‎ ‎①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为___________．‎ ‎②抽取的总人数的最小值为__________．‎ ‎【答案】6 12 ‎ ‎【解析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为 ‎①，则 ，则的最大值为 ‎②由题意可得，得，‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 当时 取最小值．‎ 故答案为:①．②．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（1）若且，求的值；‎ ‎（2）求函数在上的单调递减区间．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎【解析】方案一：选条件①‎ 由题意可知，，‎ ‎，，‎ 又函数图象关于原点对称，，‎ ‎，，，‎ ‎（1），，；‎ ‎（2）由，得，‎ 令，得，令，得，‎ 函数在上的单调递减区间为．‎ 方案二：选条件②‎ ‎，‎ ‎，又，，，‎ ‎（1），，；‎ ‎（2）由，得，‎ 令，得，令，得，‎ 函数在上的单调递减区间为．‎ 方案三：选条件③‎ ‎ ‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎（1），，；‎ ‎（2）由，得，‎ 令，得，令，得．‎ 函数在上的单调递减区间为．‎ ‎18．（12分）已知数列满足，且．‎ ‎(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式．‎ ‎(2)若，求数列的前项和．‎ ‎【解析】(1)因为，两边都加上，得 所以，即，‎ 所以数列是以为公差，首项为的等差数列．‎ 所以，即．‎ ‎(2)因为，所以数列的前项和，①‎ 则，②‎ 由，得，‎ 所以．‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且．‎ ‎（1）求证：平面平面ABC；‎ ‎（2）求二面角D-CE-F的余弦值．‎ ‎【解析】（1）如图取的中点，连接，，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以平面，‎ 平面 所以．‎ 因为，分别为，的中点，所以．‎ 因为，即，‎ 则．‎ 又因为，‎ 所以平面，‎ 又因为平面DAB，‎ 所以平面平面．‎ ‎（2）因为平面，则以为坐标原点，‎ 过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，‎ 建立如下图所示的空间直角坐标系．‎ 因为，‎ 在中，，所以．‎ 在中，，‎ 所以点，，‎ ‎．‎ 设平面的法向量为 ‎．‎ 所以，即，‎ 可取．‎ 设平面的法向量为 ‎．‎ 所以，即，可取，‎ 则 因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．（12分）椭圆的焦点是，，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点．问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）由题意知，，，解得：，，椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）由（1）知，假设存在点，，使线段和线段相互平分，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为：，设，，‎ 联立与椭圆的方程整理得：，，，所以的中点坐标，‎ 由题意知，，而在椭圆上，所以，解得：，所以，‎ 所以存在点使线段和线段相互平分，且的坐标．‎ ‎21．（12分）某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点．运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，，，，，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”．‎ ‎ “采用促销”的销售网点 “不采用促销”的销售网点 ‎ ‎ ‎（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采促销活动有关”；‎ 采用促销 无促销 合计 精英店 非精英店 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价（单位：元）和日销量（单位：件）（）的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合．具体数据如下表，表中的 ‎45．8‎ ‎395．5‎ ‎2413．5‎ ‎4．6‎ ‎21．6‎ ‎①根据上表数据计算，的值；‎ ‎②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大．‎ 附①：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 附②：对应一组数据，‎ 其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．‎ ‎【解析】（1）‎ 采用促销 无促销 合计 精英店 ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 非精英店 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为，‎ 有的把握认为“精英店与促销活动有关”．‎ ‎（2）①由公式可得：，，‎ 所以回归方程为．‎ ‎②若售价为，单件利润为，日销售为，‎ 故日利润，，‎ 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减．‎ 故当售价元时，日利润达到最大为元．‎ ‎22．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）讨论函数的零点个数．‎ ‎【解析】由题得，函数的定义域为．‎ ‎（1）当时，，所以，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 所以当时，有极大值，且极大值为，无极小值．‎ ‎（2）由，得．‎ 当时，恒成立，函数单调递增，‎ 当时，，‎ 又，所以函数有且只有一个零点；‎ 当时，令，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以的极大值为，‎ ‎①当，即得时，‎ 解得，此时函数没有零点；‎ ‎②当，即时，函数有1个零点；‎ ‎③当，即时，‎ ‎．‎ 当时，令，‎ 则在上恒成立，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 故当且时，．‎ 当时，有，所以函数有2个零点．‎ 综上所述：当时，函数没有零点；当或时．函数有1个零点；当时，函数有2个零点．‎