高考直线与圆的方程综合题典型题

高考直线与圆的方程综合题典型题

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题 主讲：曹老师 2012年4月30‎ ‎1、已知，直线：和圆：．‎ ‎（1）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ 解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立．‎ 所以，斜率的取值范围是． ‎ ‎（2）不能．由（1）知的方程为，其中．‎ 圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离． ‎ 由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．‎ ‎2、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。‎ 解析：圆C化成标准方程为 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）‎ 由于CM⊥l，∴kCM×kl= －1 ‎ ‎∴kCM=，‎ 即a+b+1=0，得b= －a－1 ①‎ 直线l的方程为y－b=x－a，‎ 即x－y+b－a=0‎ CM=‎ ‎∵以AB为直径的圆M过原点，∴‎ ‎，‎ ‎∴　　②‎ 把①代入②得　，∴‎ 当此时直线l的方程为x－y－4=0；‎ 当此时直线l的方程为x－y+1=0‎ 故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0‎ 评析：此题用,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的方程比较简单 ‎ 3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围. ‎ 解：∵过点A、B的直线方程为在l：x－y＋1 = 0, ‎ 作OP垂直AB于点P，连结OB.‎ 由图象得：|m|＜OP或|m|＞OB时，线段AB与圆x2＋y2 = m2无交点. ‎ ‎（I）当|m|＜OP时，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，即. ‎ ‎（II）当＞OB时, ‎ ‎,‎ 即 . ‎ ‎∴当和时，‎ 圆x2＋y2 = m2与线段AB无交点.‎ ‎4、．已知动圆与轴相切，且过点.‎ ‎⑴求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围.‎ ‎ 解： ⑴设为轨迹上任一点，则 ‎ （4分）‎ ‎ 化简得： 为求。 （6分）‎ ‎ ⑵设，，‎ ‎ ∵ ∴ （8分）‎ ‎ ∴ 或 为求 （12分）‎ ‎5、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、‎ 两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.‎ 解：由已知圆的方程为，‎ 按平移得到.‎ ‎∵∴.‎ 即. ‎ 又，且，∴.∴. ‎ 设， 的中点为D.‎ 由，则，又.‎ ‎∴到的距离等于. ‎ 即， ∴.‎ ‎∴直线的方程为：或. ‎ ‎6、已知平面直角坐标系中O是坐标原点，，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线被圆所截得的弦长为 ‎（1）求圆的方程及直线的方程；‎ ‎（2）设圆的方程，，过圆上任意一点 作圆的两条切线，切点为，求的最大值.‎ 解：因为，所以为以为斜边的直角三角形，‎ 所以圆：‎ ‎（2）1）斜率不存在时，：被圆截得弦长为，所以：适合 ‎ 2）斜率存在时，设： 即 因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 综上，：或 ‎（3）设，则 ‎．‎ 在中，，由圆的几何性质得 ‎， 所以，‎ 由此可得 则的最大值为.‎ ‎7、已知圆，直线过定点。‎ ‎（1）若与圆相切，求的方程；‎ ‎（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。‎ 解：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。 ……2分 ‎ ②若直线斜率存在，设直线为，即。‎ 由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：，‎ ‎ 解之得 ……5分 所求直线方程是， ……6分 ‎（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为 由得 ……8分 又直线与垂直，由得 ……11分 ‎∴ ‎ ‎……13分 ‎ 为定值。‎ ‎ 故是定值，且为6。 ……15分 ‎8、已知过点,且与:关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；‎ ‎(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.‎ ‎ 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………(3分)‎ 则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)‎ ‎(Ⅱ)设,则,且 ‎==,…………………………(7分)‎ 所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)‎ ‎(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,‎ ‎, 由,得 ………(11分)‎ ‎ 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 ‎ 同理,,‎ 所以=‎ ‎ 所以,直线和一定平行……………………………………(15分)‎ ‎9、N C M Q P O A x y ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ l ml 第17题 已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.‎ ‎（１）求证：当与垂直时，必过圆心；‎ ‎（２）当时，求直线的方程；‎ ‎（３）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.‎ N C M Q P O A x y ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ l ml 第17题 解析：（１）∵与垂直，且，∴，‎ 故直线方程为，即………2分 ‎∵圆心坐标（0，3）满足直线方程，‎ ‎∴当与垂直时，必过圆心………………… …4分 ‎（２）①当直线与轴垂直时, 易知符合题意…………………6分 ‎②当直线与轴不垂直时, ‎ 设直线的方程为，即，‎ ‎∵，∴，………………………………………8分 则由，得, ∴直线：. ‎ 故直线的方程为或………………………………………10分 ‎（３）∵,∴ ……12分 ① 当与轴垂直时，易得，则,又,‎ ‎∴………………………………………………………14分 当的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 则由，得（）,则 ‎∴= ‎ 综上所述，与直线的斜率无关，且.…………………16分 ‎10、已知圆O的方程为且与圆O相切。‎ （1） 求直线的方程；‎ （2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。‎ 解析：（1）∵直线过点，且与圆：相切，‎ 设直线的方程为，即，　…………………………2分 则圆心到直线的距离为，解得，‎ ‎∴直线的方程为，即． …… …………………4分 ‎（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为 解方程组,得同理可得,……………… 10分 ‎∴以为直径的圆的方程为， ‎ 又，∴整理得，……………………… 12分 若圆经过定点，只需令，从而有，解得，‎ ‎∴圆总经过定点坐标为． …………………………………………… 14分 ‎11、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆 于点和，且.‎ ‎(1)求直线的方程；‎ ‎⑵求圆的方程；‎ ‎⑶设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.‎ ‎．解：⑴直线的斜率 ，中点坐标为 ，‎ ‎ ∴直线方程为 （4分）‎ ‎ ⑵设圆心，则由在上得：‎ ‎ ① ‎ 又直径,,‎ 又 ∴ ② （7分）‎ 由①②解得或 ‎∴圆心 或 ‎ ‎∴圆的方程为 或 （9分） ‎ ‎⑶ ，∴ 当△面积为时 ，点到直线的距离为 。 ‎ ‎ 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且 ‎ ‎∴圆上共有两个点使 △的面积为 . （14分）‎ ‎12、在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．‎ ‎（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；‎ x y O A B l2‎ l1‎ l ‎（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．‎ 解析．（Ⅰ）直线设 ‎．‎ ‎ 的倾斜角为，……………………2分 反射光线所在的直线方程为 ‎． 即．……………………4分 已知圆C与 圆心C在过点D且与垂直的直线上， ①…………6分 又圆心C在过点A且与垂直的直线上，　②，由①②得，‎ 圆C的半径r=3．‎ 故所求圆C的方程为． …………………10分 ‎（Ⅱ）设点关于的对称点，‎ 则 …………………12分 得．固定点Q可发现，当共线时，最小，‎ 故的最小值为为． ……………………14分 ‎，得最小值． ………………16分 ‎13、设圆的方程为，直线的方程为．‎ ‎（1）求关于对称的圆的方程；‎ ‎（2）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．‎ 解：（1）圆C1的圆心为C1（－2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b）‎ 则　　解得：‎ ‎∴圆C2的方程为 ‎（2）由消去m得a－2b+1=0‎ 即圆C2的圆心在定直线x－2y+1=0上。‎ 设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则 即 ‎∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：　　解之得：‎ 所以所表示的一系列圆的公切线方程为：‎ ‎14、已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.‎ ‎（1）求实数的取值范围； ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若O为坐标原点，且.‎ 解：（1）‎ ‎……………………2分 由 ‎……………………5分 ‎……………………9分 ‎ ‎……………………11分 ‎……………………12‎ ‎……………………14分 ‎15、如图，在平面直角坐标系中，，，，，设的外接圆圆心为E．‎ ‎（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；‎ ‎（第16题） ‎ A B C D E x y O ‎（2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）直线方程为，圆心，‎ 半径.‎ 由题意得，解得.…………………………………………6分 ‎（2）∵，‎ ‎∴当面积为时，点到直线的距离为，‎ 又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，‎ 此时，⊙E的标准方程为．……………………………………14分 ‎16、已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足．‎ ‎(1) 求实数间满足的等量关系；‎ ‎(2) 求线段长的最小值；‎ ‎(3) 若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．‎ 解：（1）连为切点，，由勾股定理有 又由已知，故.即：.‎ 化简得实数a、b间满足的等量关系为：. （3分） ‎ ‎（2）由，得. ‎ ‎=.‎ 故当时，即线段PQ长的最小值为 （7分）‎ ‎（3）设P 的半径为，P与O有公共点，O的半径为1，‎ 即且.‎ 而，‎ 故当时，此时, ，.‎ 得半径取最小值时P的方程为． （12分）‎ P0‎ l 解法2： P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.‎ r = －1 = －1.‎ 又 l’：x－2y = 0,‎ 解方程组，得.即P0( ,).‎ ‎∴所求圆方程为. （12分）‎ ‎17、已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。‎ （1） 求证：的面积为定值；‎ ‎（２）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。‎ ‎.解 （1），．‎ ‎ 设圆的方程是 ‎ ‎ 令，得；令，得 ‎ ，即：的面积为定值．‎ ‎ （2）垂直平分线段．‎ ‎ ，直线的方程是．‎ ‎ ，解得： ‎ ‎ 当时，圆心的坐标为，， ‎ ‎ 此时到直线的距离，‎ 圆与直线相交于两点．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当时，圆心的坐标为，，‎ 此时到直线的距离 圆与直线不相交，‎ 不符合题意舍去．‎ 圆的方程为．‎ ‎18、已知圆，点，直线.⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；‎ ‎⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足 条件的点的坐标.‎ 解：⑴设所求直线方程为，即，‎ 直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为 ---------5分 ‎⑵方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；‎ 当为圆与轴右交点时，，‎ 依题意，，解得，（舍去），或。 ------------------------------8分 下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。‎ 设，则， ∴，‎ 从而为常数。 ------------------------------15分 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，‎ ‎∴，将代入得，，即对恒成立， ---------------------------8分 ‎∴，解得或（舍去），‎ 所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 ---------------------15分 ‎19、已知圆通过不同的三点，‎ 且圆C在点P处的切线的斜率为1.‎ ‎（1）试求圆的方程；‎ ‎（2）若点A、B是圆C上不同的两点，且满足，‎ ‎①试求直线AB的斜率；‎ ‎②若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在轴上的截距的范围。‎ x 解析.（1）设圆方程为，‎ C Q P O y ‎·‎ 第 18 题 R 则圆心，且PC的斜率为-1……………………2分 所以……………………6分 解得，所以圆方程为……………………8分 ‎（2）①，‎ 所以AB斜率为1…………………12分 ②设直线AB方程为，代入圆C方程得 设，则 原点O在以AB为直径的圆的内部，即……14分 整理得，…………………16‎ ‎20、如图，在矩形中，，以为圆心1为半径的圆与交于（圆弧为圆在矩形内的部分）‎ ‎（Ⅰ）在圆弧上确定点的位置，使过的切线平分矩形ABCD的面积；‎ ‎（Ⅱ）若动圆与满足题（Ⅰ）的切线及边都相切，试确定的位置，使圆为矩形内部面积最大的圆．‎ ‎.解（Ⅰ）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．‎ 设，，，圆弧的方程 切线l的方程：（可以推导：设直线的斜率为，由直线与圆弧相切知：，所以，从而有直线的方程为，化简即得）．‎ 设与交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面积，‎ ‎ ……①‎ 又……② 解①、②得：．‎ ‎（Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l的方程：，‎ 当满足题意的圆面积最大时必与边相切，设圆与直线、分别切于，则（为圆的半径）．‎ ‎，由．‎ 点坐标为．‎ 注意：直线与圆应注意常见问题的处理方法，例如圆的切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思路。‎ ‎21、已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，试求点的坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.‎ 解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或．　………………4分 ‎（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，　　　…………6分 解得，或，‎ 故所求直线的方程为：或．………………………8分 ‎（3）设，的中点，因为是圆的切线 所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，‎ 故其方程为：……………………………10分 化简得：，此式是关于的恒等式，‎ 故解得或 所以经过三点的圆必过定点或.…………………………………14分 ‎22、已知圆：，设点是直线：上的两点，‎ 它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．‎ ‎（1）若，，求直线的方程；‎ ‎（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．‎ 解：（1）设 ‎ ‎ ‎ 解得或（舍去）．‎ ‎ 由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．‎ ‎ 所以直线PA的方程为，即 ‎ 直线PA与圆M相切，，解得或 ‎ 直线PA的方程是或 ‎（2）设 与圆M相切于点A，‎ 经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点．‎ 的坐标是 设 当，即时，‎ 当，即时，‎ 当，即时 则 ‎23、（2009年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，‎ 已知圆C1：和圆C2：.‎ ‎（Ⅰ）若直线l过点A(4, 0)，且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，‎ 它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与 直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.‎ ‎ 解：（Ⅰ）由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在,‎ ‎ 设直线l的方程为, 圆心C1到直线l的距离为d ,‎ ‎ 因为直线l被圆C1截得的弦长为, 所以 ‎ , , ∴ k＝0或 ‎ 所求直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0‎ ‎（Ⅱ）设点P(a, b) 直线l1：；l2：‎ ‎ 因为圆C1、圆C2的半径相等，且分别被直线l1、l2截得的弦长相等，‎ 所以圆心C1到直线l1的距离、圆心C2到直线l2的距离相等.‎ ‎ , ‎ ‎(a＋3)k＋(1－b)＝(5－b)k＋(4－a) 或 (a＋3)k＋(1－b)＝－(5－b)k－(4－a)‎ ‎∵ k的取值有无穷多个 ∴ 或 ‎ ‎ 解得 或 ∴或 ‎24. （2008年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，‎ 设二次函数f (x)＝x2＋2x＋b（x∈R）的图像与两个坐标轴有三个交点，‎ 经过这三点的圆记为C. （Ⅰ）求实数b的取值范围； （Ⅱ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅲ）问圆C是否经过定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.‎ 解一：（Ⅰ）若b＝0，则f (x)＝x2＋2x 与坐标轴只有两个交点（0, 0）和（－2 ,0）, 矛盾！‎ ‎ ∴b≠0 , 二次函数的图象与y轴有一个非原点的交点(0 ,b）,‎ ‎ 故它与x轴必有两个交点，方程x2＋2x＋b＝0有两个不相等的实数根，△＞0，‎ ‎ 4－4b＞0 , ∴b＜1且b≠0 ∴b的取值范围是（－, 0）(0 ,1）.‎ ‎ （Ⅱ）由方程x2＋2x＋b＝0得 ,‎ ‎∴函数的图象与坐标轴的交点为（0 ,b）,(－1－, 0）, (－1＋, 0）, ‎ 设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ ‎ ‎ ‎ ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0‎ ‎（Ⅲ）圆C的方程为 (x2＋y2＋2x－y)＋b (1－y)＝0‎ ‎∵b＜1且b≠0 ∴ ∴∴圆C过定点（0,1）和（－2,1）.‎ 解二：（Ⅰ）令x＝0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）‎ 令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b 令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1‎ 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x －(b＋1)y＋b＝0‎ ‎（Ⅲ）圆C必过定点（0, 1），（－2, 1）‎ 证明如下：将（0, 1）代入圆C的方程，得左边＝ 02＋12＋2×0-(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0‎ 所以圆C必过定点（0, 1）；同理可证圆C必过定点（－2, 1）.‎ ‎25、如图平面上有A(1 , 0)、B(－1 , 0)两点，已知圆C的方程为 ‎.‎ ‎（Ⅰ）在圆C上求一点P1使△ABP1面积最大并求出此面积；‎ ‎（Ⅱ）求使取得最小值时的圆C上的点P的坐标. ‎ ‎ 解：（Ⅰ）∵三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|＝2为定值, ∴在圆上只要找到最高点即可. ‎ 又∵圆心C坐标为(3, 4) ,半径为2 ∴P1横坐标为3, 纵坐标为4＋2＝6 ‎ P1 (3, 6), ‎ ‎（Ⅱ）设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知 ‎==2‎ 要使取得最小值只要使最小即可又P为圆上的点，所以＝ （为半径） ∴ 此时直线 ‎ 由解得 或 （舍去）∴点P的坐标为 ‎ ‎ ‎