高考文科数学试题分类汇编导数

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高考文科数学试题分类汇编导数

‎2012高考文科试题解析分类汇编:导数 ‎1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是 ‎ 【答案】C ‎【解析】:由函数在处取得极小值可知,,则;,则时,时 ‎【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题.‎ ‎ 2.【2012高考浙江文10】设a>0,b>0,e是自然对数的底数 A. 若ea+‎2a=eb+3b,则a>b B. 若ea+‎2a=eb+3b,则a<b C. 若ea‎-2a=eb-3b,则a>b D. 若ea‎-2a=eb-3b,则a<b ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.‎ ‎【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除.‎ ‎3.【2012高考陕西文9】设函数f(x)=+lnx 则 ( )‎ A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为 f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】,令,则.‎ ‎ 当时,;‎ ‎ 当时,.‎ ‎ 即当时,是单调递减的;当时,是单调递增的.‎ ‎ 所以是的极小值点.故选D.‎ ‎4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为 ‎(A)(1,1] (B)(0,1] (C.)[1,+∞) (D)(0,+∞)‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题。‎ ‎【解析】故选B ‎5.【2102高考福建文12】已知f(x)=x³-6x²+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:‎ ‎ ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎【答案】C.‎ 考点:导数。‎ 难度:难。‎ 分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来做。‎ 解答:,‎ ‎ ‎ ‎ 导数和函数图像如下:‎ 由图,‎ ‎,‎ 且,‎ 所以。‎ ‎6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 ‎(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。‎ ‎【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4‎ ‎【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。‎ ‎ 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.‎ ‎【解析】∵,∴切线斜率为4,则切线方程为:.‎ ‎8.【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段,其中、、,函数()的图像与轴围成的图形的面积为 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】根据题意,得到,‎ 从而得到所以围成的面积为,所以围成的图形的面积为 .‎ ‎【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大.‎ ‎9【2102高考北京文18】(本小题共13分)‎ 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。‎ 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;‎ 当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围。‎ ‎【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点,比较重要。‎ 解:(1),.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,.即且.解得 ‎(2)记 当时,,‎ 令,解得:,;‎ 与在上的情况如下:‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎28‎ ‎-4‎ ‎3‎ 由此可知:‎ 当时,函数在区间上的最大值为;‎ 当时,函数在区间上的最大值小于28.‎ 因此,的取值范围是 ‎10.【2012高考江苏18】(16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。‎ 已知是实数,1和是函数的两个极值点.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)设函数的导函数,求的极值点;‎ ‎(3)设,其中,求函数的零点个数.‎ ‎【答案】解:(1)由,得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点,‎ ‎ ∴ ,,解得。‎ ‎ (2)∵ 由(1)得, ,‎ ‎ ∴,解得。‎ ‎ ∵当时,;当时,,‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时,,∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是-2。‎ ‎(3)令,则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况:‎ 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时,∵, ,‎ ‎∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。‎ 由(1)知。‎ ‎① 当时, ,于是是单调增函数,从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时.,于是是单调增函数。‎ 又∵,,的图象不间断,‎ ‎∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。‎ 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。‎ ‎③ 当时,,于是是单调减两数。‎ 又∵, ,的图象不间断,‎ ‎∴在(一1,1 )内有唯一实根。‎ 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足。‎ 现考虑函数的零点:‎ ‎( i )当时,有两个根,满足。‎ 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。‎ ‎( 11 )当时,有三个不同的根,满足。‎ 而有三个不同的根,故有9 个零点。‎ 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质,导数的应用。‎ ‎【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。‎ ‎ (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。‎ ‎11.【2012高考天津文科20】(本小题满分14分)‎ 已知函数,x其中a>0.‎ ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎(II)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;‎ ‎(III)当a=1时,设函数在区间上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。‎ ‎【解析】(Ⅰ) ‎ ‎ 或,‎ ‎ 得:函数的单调递增区间为,单调递减区间为 ‎(Ⅱ) 函数在内单调递增,在内单调递减 ‎ 原命题(lfxlby)‎ ‎(III)当时,‎ 在上单调递增,在上单调递减 当 ‎ ‎ 当 ‎ ‎ 得:函数在区间上的最小值为 ‎12.【2012高考广东文21】(本小题满分14分)‎ 设,集合,,.‎ ‎(1)求集合(用区间表示)‎ ‎(2)求函数在内的极值点.‎ ‎【解析】(1)令,‎ ‎。‎ ‎① 当时,,‎ 方程的两个根分别为,,‎ 所以的解集为。‎ 因为,所以。‎ ‎② 当时,,则恒成立,所以,‎ 综上所述,当时,;‎ 当时,。‎ ‎(2),‎ ‎ 令,得或。‎ ‎① 当时,由(1)知,‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以随的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↗‎ 所以的极大值点为,没有极小值点。‎ ‎② 当时,由(1)知,‎ 所以随的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的极大值点为,极小值点为。‎ 综上所述,当时,有一个极大值点,没有极小值点;‎ 当时,有一个极大值点,一个极小值点。‎ ‎13.【2102高考福建文22】(本小题满分14分)‎ 已知函数且在上的最大值为,‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明。‎ 考点:导数,函数与方程。‎ 难度:难。‎ 分析:本题考查的知识点为导数的计算,利用函数与方程的思想解决根个数的问题。‎ 解答:‎ ‎(I)在上恒成立,且能取到等号 ‎ 在上恒成立,且能取到等号 ‎ ‎ ‎ 在上单调递增 ‎ (lfxlby)‎ ‎(II)‎ ‎ ①当时,在上单调递增 ‎ 在上有唯一零点 ‎ ②当时,当上单调递减 ‎ 存在唯一使 ‎ ‎ ‎ 得:在上单调递增,上单调递减 ‎ ‎ ‎ 得:时,,‎ 时,,在上有唯一零点 ‎ 由①②得:函数在内有两个零点。‎ ‎14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)‎ 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与 的大小,并说明理由。‎ 命题立意:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 ‎[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对 则抛物线在点A处的切线方程为:‎ ‎ ………………4分 (2) 由(1)知f(n)=,则 即知,对于所有的n成立,‎ 特别地,当n=1时,得到a≥3‎ 当a=3,n≥1时,‎ 当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.‎ 所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 (3) 由(1)知f(k)=‎ 下面证明:‎ 首先证明00,即得 由00时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值 ‎【答案】‎ ‎17.【2012高考重庆文17】(本小题满分13分)已知函数在处取得极值为 ‎(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值. ‎ ‎ 【解析】(Ⅰ)因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ,化简得解得 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,‎ 令 ,得当时,故在上为增函数;‎ 当 时, 故在 上为减函数 当 时 ,故在 上为增函数。‎ 由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知 得此时 ‎,因此 上的最小值为 ‎18.【2012高考湖北文22】(本小题满分14分)‎ 设函数,n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值 ‎(3)证明:f(x)< .‎ 解:(Ⅰ)因为,由点在上,可得,即. ‎ 因为,所以. ‎ 又因为切线的斜率为,所以,即. 故,.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,.‎ 令,解得,即在上有唯一零点. ‎ 在上,,故单调递增;‎ 而在上,,单调递减.‎ 故在上的最大值为. ‎ ‎(Ⅲ)令,则.‎ 在上,,故单调递减;‎ 而在上,单调递增.‎ 故在上的最小值为. 所以,‎ 即. ‎ 令,得,即,‎ 所以,即.‎ 由(Ⅱ)知,,故所证不等式成立. ‎ ‎【解析】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.‎ 考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.‎ ‎19.【2012高考安徽文17】(本小题满分12分)‎ 设定义在(0,+)上的函数 ‎(Ⅰ)求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若曲线在点处的切线方程为,求的值。‎ ‎【解析】(I)(方法一),‎ 当且仅当时,的最小值为。‎ ‎(II)由题意得:, ①‎ ‎, ②‎ 由①②得:。‎ ‎20.【2012高考江西文21】(本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.‎ ‎(1)求a的取值范围;‎ ‎(2)设g(x)= f(-x)- f′(x),求g(x)在上的最大值和最小值。‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎ 在上恒成立(*)‎ ‎ (*)‎ ‎(2)‎ ‎①当时,在上单调递增 ‎ 得:‎ ‎ ②当时,‎ ‎ 得:在上的最小值是中的最小值 ‎ 当时,‎ ‎ 当时,‎ ‎ 求最大值:当时,‎ ‎ 当时,‎ ‎ 得:当时,, 当时,‎ ‎ 时,,时,‎ ‎21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)‎ 设,证明:‎ ‎ (Ⅰ)当x﹥1时, ﹤ ( )‎ ‎ (Ⅱ)当时,‎ ‎【命题意图】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大。‎ ‎【解析】(Ⅰ)(法1)记=,‎ 则当>1时,=,‎ 又∵,∴<0,即<; ……4分 ‎(法2)由均值不等式,当>1时,,∴, ①‎ 令,则,,∴,即, ②‎ 由①②得,当>1时,<. ……4分 ‎(Ⅱ)(法1)记,由(Ⅰ)得,‎ ‎==<=,‎ 令=,则当时,=‎ ‎∴在(1,3)内单调递减,又,∴<0,‎ ‎∴当1<<3时,. ……12分 ‎(证法2)记=,则当当1<<3时,‎ ‎=<‎ ‎=<‎ ‎=<0. ……10分 ‎∴在(1,3)内单调递减,又,∴<0,‎ ‎∴当1<<3时,. ……12分 ‎22.【2012高考浙江文21】(本题满分15分)已知a∈R,函数 ‎(1)求f(x)的单调区间 ‎(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ >0.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)由题意得,‎ 当时,恒成立,此时的单调递增区间为.‎ 当时,,此时函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由于,当时,.‎ 当时,.‎ 设,则.‎ 则有 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ 所以.‎ 当时,.‎ 故.‎ ‎23.【2012高考全国文21】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设有两个极值点,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值。‎ ‎ 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念,求解参数值的运用。‎ 解:(1)依题意可得 当即时,恒成立,故,所以函数在上单调递增;‎ 当即时,‎ 有两个相异实根且 故由或,此时单调递增 由,此时此时单调递增递减 综上可知 当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在单调递增,在单调递减。‎ ‎(2)由题设知,为方程的两个根,故有 因此 同理 因此直线的方程为 设与轴的交点为,得 而 由题设知,点在曲线的上,故,解得或或 所以所求的值为或或。‎ ‎【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间。第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值。‎ ‎24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)‎ 已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求k的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.‎ ‎ 【答案】(I),‎ 由已知,,∴.‎ ‎(II)由(I)知,.‎ 设,则,即在上是减函数,‎ 由知,当时,从而,‎ 当时,从而.‎ 综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(III)由(II)可知,当时,≤0<1+,故只需证明在时成立.‎ 当时,>1,且,∴.‎ 设,,则,‎ 当时,,当时,,‎ 所以当时,取得最大值.‎ 所以.‎ 综上,对任意,.‎ ‎25.【2012高考陕西文21】 (本小题满分14分 设函数 ‎(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设n为偶数,,,求b+‎3c的最小值和最大值;‎ ‎(3)设,若对任意,有,求的取值范围;‎ ‎【解析】(Ⅰ)当 ‎ .‎ ‎ 又当,‎ ‎ .‎ ‎ (Ⅱ)解法一:由题意,知即 ‎ ‎ 由图像,知在点取到最小值-6,在点取到最大值0.‎ ‎ ∴的最小值是-6,最大值是0.‎ ‎ 解法二:由题意,知,即; ①‎ ‎ ,即. ②‎ ‎ ①×2+②,得,‎ ‎ 当时,;当,.‎ ‎ ∴的最小值是-6,最大值是0.‎ ‎ 解法三:由题意,知 ‎ 解得,.‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵,,∴.‎ ‎ 当时,;当,.‎ ‎ ∴的最小值是-6,最大值是0.‎ ‎ (2)当时,.‎ ‎ 对任意上的最大值 ‎ 与最小值之差,据此分类讨论如下:‎ ‎ (ⅰ),.‎ ‎ (ⅱ),‎ ‎ .‎ ‎ (ⅲ),‎ ‎ .‎ ‎ 综上可知,.‎ ‎ 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并并证明如下:‎ ‎ 用,当,‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大。‎
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