高考数学复习平面向量易错题选及解析

高考数学复习平面向量易错题选及解析

高考数学复习平面向量易错题选及解析 一、选择题：‎ ‎1．在中,,则的值为 ( )‎ A 20 B C D ‎ 错误分析:错误认为,从而出错.‎ 答案: B 略解: 由题意可知,‎ 故=.‎ ‎2．关于非零向量和，有下列四个命题：‎ ‎ （1）“”的充要条件是“和的方向相同”；‎ ‎ （2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；‎ ‎ （3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；‎ ‎ （4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；‎ 其中真命题的个数是 （ ）‎ A 1 B 2 C 3 D 4‎ 错误分析:对不等式的认识不清.‎ 答案: B.‎ ‎3．已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P线段AB上且 =t (0≤t≤1)则· 的最大值为 （ ）‎ ‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosa最大时，· 即为最大。‎ ‎4．若向量 =(cosa,sina) ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）‎ ‎ A． 与的夹角等于a-b B．∥ ‎ C．(+)^(-) D． ⊥‎ 正确答案：C 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。‎ ‎5．已知向量 =(2cosj，2sinj)，jÎ()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )‎ ‎ A．-j B．+j C．j- D．j 正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，p]。‎ ‎6．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则DABC是（ ）‎ ‎ A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形 C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形 正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。‎ ‎7．已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}， N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR }，则MÇN=（ ）‎ A ｛（1，2）｝ B C D ‎ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。‎ ‎8．已知，，若，则△ABC是直角三角形的概率是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ 分析：由及知，若垂直，则；若与垂直，则，所以△ABC是直角三角形的概率是.‎ ‎9．设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|·a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 正确答案：D。‎ 错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。‎ ‎10．已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b= 。‎ 正确答案：。±15。‎ 错误原因：容易忽视平行向量的概念。a、b的夹角为0°、180°。‎ ‎11．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 ‎,则P的轨迹一定通过△ABC的( ) ‎ ‎(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B。‎ 错误原因：对理解不够。不清楚 与∠BAC的角平分线有关。‎ ‎12．如果，那么 （ ） A． B． C． D．在方向上的投影相等 正确答案：D。‎ 错误原因：对向量数量积的性质理解不够。‎ ‎13．向量＝（3，4）按向量a=(1,2)平移后为 （ ）‎ A、（4，6） B、（2，2） C、（3，4） D、（3，8）‎ 正确答案： C 错因：向量平移不改变。‎ ‎14．已知向量则向量的夹角范围是（ ）‎ ‎ A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2] ‎ 正确答案：A 错因：不注意数形结合在解题中的应用。‎ ‎15．将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① 的坐标可以是（-3，0） ②的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③的坐标可以是（0，6） ④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ 正确答案：D 错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。‎ ‎16．过△ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为( )‎ A 4 B 3 C 2 D 1‎ 正确答案：A 错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。‎ ‎17．设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 答案：A 点评：易误选C，错因：忽视与反向的情况。‎ ‎18．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）‎ ‎① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；‎ ‎③ ； ④ (+)//(－)‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 答案：C 点评：①②④正确，易错选D。‎ ‎19．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为（ ）。‎ A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5） ‎ ‎ C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）‎ 正解：B 设，则由 ①‎ 而又由得 ②‎ 由①②联立得。‎ 误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。‎ ‎20．设向量，则是的（ ）条件。‎ A、充要 B、必要不充分 ‎ ‎ C、充分不必要 D、既不充分也不必要 正解：C 若则，若，有可能或为0，故选C。‎ 误解：，此式是否成立，未考虑，选A。‎ ‎21．在OAB中，，若=-5，则=（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 正解：D。‎ ‎∵∴（LV为与的夹角）‎ ‎∴∴∴‎ 误解：C。将面积公式记错，误记为 ‎22．在中，，，有，则的形状是 （D）‎ A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 错解：C 错因：忽视中与的夹角是的补角 正解：D ‎23．设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （A）‎ A、 B、（2，+ C、（— D、（-‎ 错解：C 错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况 正解：A ‎24．已知A（3，7），B（5，2），向量平移后所得向量是 。‎ ‎ A、（2，-5）， B、（3，-3）， C、（1，-7） D、以上都不是 ‎ 答案：A ‎ 错解：B ‎ 错因：将向量平移当作点平移。‎ ‎25．已知中， 。‎ ‎ A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 ‎ 答案：C ‎ 错解：A或D 错因：对向量夹角定义理解不清 ‎26．正三角形ABC的边长为1，设，那么的值是 （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 正确答案：(B)‎ 错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。‎ ‎27．已知，且，则 （ ）‎ A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反 正确答案：(D)‎ 错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考可正可负，易选成B。‎ ‎28．已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程 （ ）‎ A、至少有一根 B、至多有一根 C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根 正确答案：(B)‎ 错误原因：找不到解题思路。‎ ‎29．设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④若不平行 其中正确命题的个数是 ‎ ‎ （ ）‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 正确答案：(B)‎ 错误原因：本题所述问题不能全部搞清。‎ 二填空题：‎ ‎1．若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.‎ ‎ 错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.‎ ‎ 正确解法: ，的夹角为钝角, ‎ ‎ 解得或 (1)‎ ‎ 又由共线且反向可得 (2)‎ ‎ 由(1),(2)得的范围是 答案: .‎ ‎2．有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 秒．正确答案：2‎ ‎1、设平面向量若的夹角是钝角，则的范围是 。‎ ‎ 答案：‎ ‎ 错解：‎ ‎ 错因：“”与“的夹角为钝角”不是充要条件。‎ ‎3．是任意向量，给出：，方向相反， 都是单位向量，其中 是共线的充分不必要条件。‎ ‎ 答案： ‎ 错解： ‎ 错因：忽略方向的任意性，从而漏选。‎ ‎4．若上的投影为 。‎ 正确答案：‎ 错误原因：投影的概念不清楚。‎ ‎5．已知o为坐标原点，集合,且 。‎ 正确答案：46‎ 错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。‎ 三、解答题：‎ ‎1．已知向量,且求 ‎ (1) 及;‎ ‎ (2)若的最小值是,求实数的值.‎ ‎ 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;‎ ‎ (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.‎ ‎ 答案: (1)易求, = ;‎ ‎(2) ==‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ 从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;‎ ‎ 当时, ;‎ ‎ 当时,解得,不满足;‎ ‎ 综合可得: 实数的值为.‎ ‎2．在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.‎ 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.‎ 答案: (1)若即 ‎ 故,从而解得;‎ ‎ (2)若即,也就是,而故,解得;‎ ‎ (3)若即,也就是而,故,解得 ‎ 综合上面讨论可知,或或 ‎3．已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且·=-1，‎ ‎(1)求向量；‎ ‎(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C为DABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围。‎ 解：(1)设=(x,y)‎ ‎ 则由<,>=得：cos<,>== ①‎ ‎ 由·=-1得x+y=-1 ②‎ 联立①②两式得或 ‎ ∴=(0,-1)或(-1,0)‎ ‎(2) ∵<,>=‎ ‎ 得·=0‎ 若=(1,0)则·=-1¹0‎ 故¹(-1,0) ∴=(0,-1)‎ ‎ ∵2B=A+C，A+B+C=p ‎ ÞB= ∴C=‎ ‎ +=(cosA,2cos2)‎ ‎ =(cosA,cosC)‎ ‎ ∴|+|===‎ ‎=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∵00‎ ‎ ∴当m>0时，2mcos2q>0，即f()>f()‎ ‎ 当m<0时，2mcos2q<0，即f()为锐角，求实数x的取值范围.‎ ‎ 解：要满足<>为锐角 ‎ 只须>0且（）‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ =‎ ‎ 即 x (mx-1) >0‎ ‎ 1°当 m > 0时 ‎ x<0 或 ‎ 2°m<0时 ‎ x ( -mx+1) <0 ‎ ‎ ‎ ‎ 3°m=0时 只要x<0‎ ‎ 综上所述：x > 0时，‎ ‎ x = 0时，‎ ‎ x < 0时，‎ ‎7．已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，‎ ‎（1）用k表示a·b;‎ ‎（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。‎ 解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得 ‎|ka+b|2=(|a－kb|)2‎ k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)‎ ‎∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2‎ a·b =‎ ‎∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，‎ ‎∴a2=1, b2=1,‎ ‎∴a·b ==‎ ‎（2）∵k2+1≥2k，即≥=‎ ‎∴a·b的最小值为，‎ 又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1‎ ‎∴=1×1×cos。‎ ‎∴=60°,此时a与b的夹角为60°。‎ 错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。‎ ‎8．（一中）已知向量，，．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，且，求的值．‎ 解（Ⅰ）,‎ ‎. ‎ ‎, ,‎ 即 . . ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 例1、若二次函数满足，且，求函数解析式。‎ 例2、已知开口向下二次函数满足条件：，‎ 试比较、、的大小。‎ 例3、已知二次函数同时满足下列条件：‎ ‎⑴；⑵的最大值为；‎ ‎⑶的两根立方和等于；求函数的解析式。‎ 例4、已知二次函数的最小值为，又当时二次函数有最大值，‎ 且，，，‎ ‎⑴求的值；⑵求的解析式。‎ 例5、已知 函数和的图像有相同的对称轴，‎ 求 函数（）的值域。‎ 例6、求函数在区间上的最大值与最小值。‎ 例1、设（），，‎ 依题意，，得到，有，解得，‎ 又得到，则。‎ 例2、依题意，由可知函数对称轴为，又开口向下，‎ 则函数在区间上单调递减，而，‎ 则有。‎ 例3、依题意，设且，由得，‎ 有，，则，‎ 解得符合题意，所以。‎ 例4、⑴依题意有且，得到，解得或，而，所以。‎ ‎⑵依题意及，可知且，则 ‎，即，而的最小值为（已由保证），则，求得，因此。‎ 例5、易知函数的对称轴是、函数的对称轴是，则，求得，此时（），‎ 而，且由得到，不难求得函数 的最小值，最大值，‎ 故值域为所求。‎ 例6、依题意（），函数开口向上，但对称轴变化， ⑴当时，，‎ ‎；⑵当时，函数在区间上单调递增，，；⑶当时，函数在区间上单调递减，，；‎ 综上所述，；。1、为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点．证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点 解：由题可得.设，直线的方程为， ‎ 令，则，即；直线的方程为， ‎ 令，则，即；‎ 证法一：设点在以线段为直径的圆上，则， 即， ‎ ‎， 而，即，‎ ‎，或. ‎ 所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或. ‎ ‎9、一动圆与圆外切，与圆内切.‎ ‎(I)求动圆圆心M的轨迹方程．(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点，使直线与的斜率？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ 解：（1）设动圆圆心为，半径为．‎ 由题意，得，‎ ‎, 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上 且，． 动圆圆心M的轨迹方程为．‎ ‎(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为和 ‎ 设是椭圆上的点，由得 ‎ 即，这是实轴在轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.‎ 即圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率. ‎ ‎10、已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程 （Ⅱ）若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.‎ 解:（1）、设点的坐标为,则点的坐标为.‎ ‎ ∵, ∴. 当时,得,化简得. ‎ 当时, 、、三点共线，不符合题意，故. ∴曲线的方程为. ‎ ‎(2)∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.‎ ‎ 设直线的方程为, ‎