2020-2021学年高考数学（理）考点：导数的概念及运算

2020-2021学年高考数学（理）考点：导数的概念及运算

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：导数的概念及运算 ‎1．导数的概念 ‎(1)一般地，函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎(2)如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.‎ ‎2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f (x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0)‎ f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 ‎(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎5．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ 概念方法微思考 ‎1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f (x)的形状有何变化？‎ 提示　|f′(x)|越大，曲线f (x)的形状越来越陡峭．‎ ‎2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？‎ 提示　不一定．‎ ‎1．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，‎ ‎（1），‎ 又（1），‎ 函数的图象在点，（1）处的切线方程为，‎ 即．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于半径，‎ 四个选项中，只有，满足题意；‎ 对于选项：与联立，可得，此时无解；‎ 对于选项：与联立，可得，此时解得；‎ 直线与曲线和圆都相切，方程为，‎ 故选．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅱ）曲线在点处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，‎ ‎，‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ 故选．‎ ‎4．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线在点处的切线方程为，则　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】的导数为，‎ 由在点处的切线方程为，‎ 可得，解得，‎ 又切点为，可得，即，‎ 故选．‎ ‎5．（2018•全国）若函数图象上点，（1）处的切线平行于直线，则　　‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的导数为，‎ 可得点，（1）处的切线斜率为，‎ 由点，（1）处的切线平行于直线，‎ 可得，‎ 解得，‎ 故选．‎ ‎6．（2018•新课标Ⅰ）设函数．若为奇函数，则曲线在点 处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数，若为奇函数，，‎ ‎．‎ 所以：‎ 可得，所以函数，可得，‎ 曲线在点处的切线的斜率为：1，‎ 则曲线在点处的切线方程为：．‎ 故选．‎ ‎7．（2016•山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，‎ 则函数的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为，‎ 当时，，满足条件；‎ 当时，恒成立，不满足条件；‎ 当时，恒成立，不满足条件；‎ 当时，恒成立，不满足条件；‎ 故选．‎ ‎8．（2016•四川）设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，，，，‎ 当时，，当时，，‎ 的斜率，的斜率，‎ 与垂直，且，‎ ‎，即．‎ 直线，．‎ 取分别得到，，‎ ‎．‎ 联立两直线方程可得交点的横坐标为，‎ ‎．‎ 函数在上为减函数，且，‎ ‎，则，‎ ‎．‎ 的面积的取值范围是．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数，，‎ 若（1），，则，‎ 故答案为：1．‎ ‎10．（2019•全国）若函数，，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由，得，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故答案为：3．‎ ‎11．（2018•天津）已知函数，为的导函数，则（1）的值为__________．‎ ‎【答案】e ‎【解析】函数，‎ 则；‎ ‎（1）．‎ 故答案为：．‎ ‎12．（2016•天津）已知函数，为的导函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：3．‎ ‎13．（2020•上海）已知函数，是的反函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，‎ 把与互换，可得的反函数为．‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2020•新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的导数为，‎ 设切点为，可得，‎ 解得，即有切点，‎ 则切线的方程为，即，‎ 故答案为：．‎ ‎15．（2019•天津）曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可知：‎ ‎，‎ ‎．‎ 曲线在点处的切线方程：，‎ 整理，得：．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，为自然对数的底数），则点的坐标是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，由，得，‎ ‎，则该曲线在点处的切线方程为，‎ 切线经过点，，‎ 即，则．‎ 点坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎17．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由，得，‎ 设斜率为的直线与曲线切于，，‎ 由，解得．‎ 曲线上，点到直线的距离最小，‎ 最小值为．‎ 故答案为：4．‎ ‎18．（2019•新课标Ⅰ）曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 在点处的切线斜率，‎ 切线方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎19．（2018•新课标Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 当时，‎ 曲线在点处的切线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎20．（2018•新课标Ⅲ）曲线在点处的切线的斜率为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线，可得，‎ 曲线在点处的切线的斜率为，‎ 可得：，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎21．（2018•新课标Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 曲线在点处的切线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎22．（2017•全国）若曲线的切线与直线平行，则的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点为，‎ 可得，‎ 的导数为，‎ 由切线与直线平行，可得 ‎，解得，‎ 即有切点为，‎ 可得切线的方程为，‎ 即为．‎ 故答案为：．‎ ‎23．（2017•天津）已知，设函数的图象在点，（1）处的切线为，则在轴上的截距为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数，可得，切线的斜率为：（1），‎ 切点坐标，切线方程为：，‎ 在轴上的截距为：．‎ 故答案为：1．‎ ‎24．（2017•新课标Ⅰ）曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线，可得，‎ 切线的斜率为：．‎ 切线方程为：，即：．‎ 故答案为：．‎ ‎25．（2016•新课标Ⅲ）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为偶函数，可得，‎ 当时，，即有 时，，，‎ 可得（1），（1），‎ 则曲线在点处的切线方程为，‎ 即为．‎ 故答案为：．‎ ‎26．（2016•新课标Ⅲ）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知为偶函数，当时，，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎（1）．‎ 曲线在点处的切线方程是．‎ 即．‎ 故答案为：．‎ ‎27．（2016•新课标Ⅱ）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与和的切点分别为，、，；‎ 由导数的几何意义可得，得 再由切点也在各自的曲线上，可得 联立上述式子解得；‎ 从而得出．故答案为：．‎ ‎28．（2018•江苏）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．‎ ‎（1）证明：函数与不存在“点”；‎ ‎（2）若函数与存在“点”，求实数的值；‎ ‎（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．‎ ‎【解析】（1）证明：，，‎ 则由定义得，得方程无解，则与不存在“点”；‎ ‎（2），，，‎ 由得，得，‎ ‎，得；‎ ‎（3），，，‎ 由，假设，得，得，‎ 由，得，得，‎ 令，，‎ 设，，‎ 则，（1），得（1），‎ 又的图象在上不间断，‎ 则在上有零点，‎ 则在上有零点，‎ 则存在，使与在区间内存在“”点．‎ ‎29．（2016•新课标Ⅱ）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．‎ ‎【解析】当时，．‎ ‎（1），即点为，‎ 函数的导数，‎ 则（1），‎ 即函数的切线斜率（1），‎ 则曲线在处的切线方程为；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 在上单调递增，‎ ‎（1）．‎ ‎①，（1），‎ 在上单调递增，‎ ‎（1），满足题意；‎ ‎②，存在，，函数在上单调递减，在，上单调递增，‎ 由（1），可得存在，，不合题意．‎ 综上所述，．‎ 另解：若当时，，‎ 可得，‎ 即为，‎ 由的导数为，‎ 由的导数为，‎ 函数在递增，可得，‎ 则函数在递增，‎ 则，‎ 可得恒成立，‎ 即有．‎ ‎30．（2020•北京）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）的导数，‎ 令切点为，可得切线的斜率为，‎ ‎，，‎ 切线的方程为；‎ ‎（Ⅱ）曲线在点，处的切线的斜率为，‎ 切线方程为，‎ 令，可得，令，可得，‎ ‎，‎ 由，可知为偶函数，‎ 不妨设，则，‎ ‎，‎ 由，得，‎ 当时，，递增；当时，，递减，‎ 则在和处取得极小值，且为最小值32，‎ 所以的最小值为32．‎ ‎31．（2020•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ ‎，即；‎ ‎（2）证明：设为的一个零点，根据题意，，且，‎ 则，且，‎ 令，‎ ‎，‎ 当，，时，，当，时，‎ 可知在，，上单调递减，在，上单调递增．‎ 又，（1），，，‎ ‎．‎ 设 为的零点，则必有，‎ 即，‎ ‎，得，‎ 即．‎ 所有零点的绝对值都不大于1．‎ ‎32．（2016•北京）设函数．‎ ‎（1）求曲线在点，处的切线方程；‎ ‎（2）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎【解析】（1）函数的导数为，‎ 可得在点，处的切线斜率为，‎ 切点为，可得切线的方程为；‎ ‎（2）设，即有，‎ 由，可得，‎ 由的导数，‎ 当或时，，递增；‎ 当时，，递减．‎ 即有在处取得极大值，且为0；‎ 在处取得极小值，且为．‎ 由函数有三个不同零点，可得，‎ 解得，‎ 则的取值范围是；‎ ‎（3）证明：若有三个不同零点，令，‎ 可得的图象与轴有三个不同的交点．‎ 即有有3个单调区间，‎ 即为导数的图象与轴有两个交点，‎ 可得△，即，即为；‎ 若，即有导数的图象与轴有两个交点，‎ 当，时，满足，‎ 即有，图象与轴交于，，则的零点为2个．‎ 故是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ 强化训练 ‎1．（2019•西湖区校级模拟）已知某函数的导数为y′，则这个函数可能是（　　）‎ A．y＝ln B．y＝ln C．y＝ln（1﹣x） D．y＝ln ‎【答案】A ‎【解析】对选项求导．‎ A、（ln）′（）′，符合；‎ 对于B，∵，∴，不符合；‎ 对于C，，不符合；‎ 对于D，∵y＝﹣ln（x﹣1）∴，不符合；‎ 故选A．‎ ‎2．（2020•重庆模拟）函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（　　）‎ A．10 B．9 C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，‎ 又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，‎ 所以f′（1）＝2a+b＝2，即．‎ 则．‎ 当且仅当，即时“＝”成立．‎ 所以的最小值是9．‎ 故选B．‎ ‎3．（2019•西湖区校级模拟）函数f（x）＝cosx（sinx+1）的导数是（　　）‎ A．cos2x+sinx B．cos2x﹣sinx C．cos2x+cosx D．cos2x﹣cosx ‎【答案】B ‎【解析】f′（x）＝﹣sinx（sinx+1）+cosx•cosx＝cos2x﹣sin2x﹣sinx＝cos2x﹣sinx．‎ 故选B．‎ ‎4．（2019•西湖区校级模拟）函数f（x）＝cosx+sinx，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】f′（x）＝cosx﹣sinx，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎5．（2019•西湖区校级模拟）下列运算正确的是（　　）‎ A．（3x）′＝3xlnx ‎ B． ‎ C． ‎ D．（log2x）′‎ ‎【答案】D ‎【解析】（3x）′＝3xln3，，，．‎ 故选D．‎ ‎6．（2019•新疆模拟）已知f（x）＝x3﹣x2f'（﹣1）﹣1，则f'（﹣1）＝（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】f（x）＝x3﹣x2f'（﹣1）﹣1，‎ 则f'（x）＝3x2﹣2xf'（﹣1），‎ 则f'（﹣1）＝3+2f'（﹣1），‎ 解得f'（﹣1）＝﹣3‎ 故选A．‎ ‎7．（2019•怀化三模）已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）＝x2，②f（x）＝e﹣x，③f（x）＝lnx，④f ‎（x）＝tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次分析所给的函数：‎ ‎①、若f（x）＝x2；则f′（x）＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；‎ ‎②、若f（x）＝e﹣x；则f′（x）＝﹣e﹣x，即e﹣x＝﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；‎ ‎③、f（x）＝lnx，则f′（x），若lnx，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；‎ ‎④、f（x）＝tanx，则f′（x）＝（）′，即sinxcosx＝1，变形可sin2x＝2，无解，④不符合要求；‎ 故选B．‎ ‎8．（2020•滨州三模）函数y＝lnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线方程为（　　）‎ A．x+ey﹣1+e＝0 B．x﹣ey+1﹣e＝0 C．x+ey＝0 D．x﹣ey＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】y＝lnx的导数为y′，‎ 可得函数y＝lnx的图象在点x＝e处的切线斜率为k，‎ 且切点为（e，1），‎ 则切线的方程为y﹣1（x﹣e），‎ 化为x﹣ey＝0．‎ 故选D．‎ ‎9．（2020•镜湖区校级模拟）若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx+2b的切线，则实数b＝（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．e ‎【答案】B ‎【解析】曲线y＝ex的导数为y′＝ex，‎ 可得在x＝0处的切线斜率为k＝1，切点为（0，1），‎ 则切线的方程为y＝x+1，‎ 设直线y＝x+1与y＝lnx+2b相切的切点为（m，2b+lnm），‎ 由y＝lnx+2b的导数为y′，可得切线的斜率为，‎ 则1，2b+lnm＝m+1，‎ 解得m＝1，b＝1，‎ 故选B．‎ ‎10．（2020•香坊区校级一模）过直线y＝x上一点P可以作曲线f（x）＝x﹣lnx两条切线，则点P横坐标t的取值范围为（　　）‎ A．t＜1 B．t＜0 C．0＜t＜1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设切点为（m，m﹣lnm），m＞0，‎ 由f（x）＝x﹣lnx的导数为f′（x）＝1，‎ 可得切线的斜率为1，‎ 又P（t，t），可得1，‎ 化为t＝m﹣mlnm，‎ 设g（x）＝x﹣xlnx，可得g′（x）＝1﹣（1+lnx）＝﹣lnx，‎ 当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增．‎ 可得g（x）在x＝1处取得最大值1，‎ g（x）的图象如右图，‎ 由题意可得当0＜t＜1时，方程t＝m﹣mlnm有两解，‎ 故选C．‎ ‎11．（2020•南岗区校级四模）曲线f（x）＝f′（1）ex﹣（e﹣1）x在点（0，f（0））处的切线的斜率为（　　）‎ A．2﹣e B． C．1 D．4﹣2e ‎【答案】A ‎【解析】f（x）＝f′（1）ex﹣（e﹣1）x的导数为f′（x）＝f′（1）ex﹣（e﹣1），‎ 可得f′（1）＝f′（1）e﹣（e﹣1），解得f′（1）＝1，‎ 所以f（x）＝ex﹣（e﹣1）x，‎ f′（x）＝ex﹣（e﹣1），‎ 则在点（0，f（0））处的切线的斜率为k＝f′（0）＝e0﹣（e﹣1）＝2﹣e，‎ 故选A．‎ ‎12．（2020•汉阳区校级模拟）已知函数f（x）＝sinx在x＝0处的切线与y＝aex相切，则a的值为（　　）‎ A．1 B．e C． D．e2‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，‎ 可得函数f（x）＝sinx在x＝0处的切线斜率为k＝1，‎ 由切点（0，0），可得切线的方程为y＝x，‎ 又切线与y＝aex相切，设此时的切点为（m，aem），‎ y＝aex的导数为y′＝aex，‎ 可得aem＝m＝1，‎ 解得a，‎ 故选C．‎ ‎13．（2020•来宾模拟）设函数f（x）＝alnx+bx2（a＞0，b＞0），若函数f（x）的图象在x＝1处的切线与直线x+y﹣2e＝0垂直，则的最小值为（　　）‎ A．1 B． C．3﹣2 D．3+2‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数f（x）＝alnx+bx2的导数为f′（x）2bx，‎ 可得函数f（x）的图象在x＝1处的切线斜率为a+2b，‎ 由切线与直线x+y﹣2e＝0垂直，可得a+2b＝1，（a＞0，b＞0），‎ 则（a+2b）（）＝1+23+23+2，‎ 当且仅当即ab1时，取得等号，‎ 则的最小值为3+2，‎ 故选D．‎ ‎14．（2020•鼓楼区校级模拟）已知曲线在x＝x1处的切线为l1，曲线y＝lnx在x＝x2处的切线为l2，且l1⊥l2，则x2﹣x1的取值范围是（　　）‎ A． B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，0） D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，‎ 则，‎ 由y＝lnx，得y′，‎ 则，‎ ‎∵l1⊥l2，∴，即．‎ ‎∵x2＞0，∴x1＞1，‎ 又，令h（x），x＞1．‎ 则h′（x）．‎ 当x∈（1，+∞）时，y＝2﹣x﹣ex为减函数，故2﹣x﹣ex＜2﹣1﹣e＜0．‎ ‎∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，‎ 故h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）＜h（1）＝﹣1．‎ 又当x＞1时，，‎ ‎∴h（x）的取值范围为（﹣∞，﹣1）．‎ 即x2﹣x1的取值范围是（﹣∞，﹣1）．‎ 故选B．‎ ‎15．（2020•吉林模拟）已知函数在（0，+∞）上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为﹣1，则下列结论正确个数是（　　）‎ ‎①实数a＝1；‎ ‎②直线l的斜率为1时，l是曲线y＝f（x）的切线；‎ ‎③曲线y＝f（x）与直线l有且仅有一个交点．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为f（x）＝2x的导数为f′（x）＝2，‎ 当0＜x，f′（x）＜0，f（x）递减；x时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（）为最小值，且为3，‎ 即23，解得a＝1，故①正确；‎ 设切点A为（m，2m），又因为f′（x）＝2，所以21，解得m，‎ 由切线方程y＝x﹣1可得切点为（，1），代入f（x）＝2x不成立，‎ 所以直线l不是曲线y＝f（x）的切线，故②错误；‎ 又设直线l：y＝kx﹣1，则曲线y＝f（x）与直线l的交点个数等价为方程2xkx﹣1的根的个数．‎ 由2xkx﹣1可得k＝2，‎ 令t，可得k＝t3+t+2，t∈R，t≠0，‎ 设h（t）＝t3+t+2，t∈R，h′（t）＝3t2+1＞0，所以h（t）在R上递增，且h（t）∈R，‎ 而方程k＝t3+t+2，t∈R，t≠0，‎ 所以当k＝h（0）＝2时，k＝t3+t+2无实数根；当k≠2时，k＝t3+t+2有且只有一个根．‎ 故k＝2时，曲线y＝f（x）与直线l没有交点；而当k≠2时，曲线y＝f（x）与直线l有且只有一个交点．故③错误．‎ 故选B．‎ ‎16．（2020•来宾模拟）曲线y＝x3+x+3上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】y＝x3+x+3的导数为y′＝3x2+1，‎ 可得曲线y＝x3+x+3上任意一点处的切线的斜率k≥1，‎ 设倾斜角为θ，可得tanθ≥1，‎ 可得锐角θ满足θ，‎ 故选A．‎ ‎17．（2020•榆林四模）若函数f（x）3ax的图象在x＝1处的切线与直线x+4y＝0垂直，则a＝（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】f（x）3ax的导数为f′（x）3a，‎ 可得f（x）的图象在x＝1处的切线斜率为﹣1﹣3a，‎ 由切线与直线x+4y＝0垂直，可得﹣1﹣3a＝4，‎ 解得a．‎ 故选D．‎ ‎18．（2020•碑林区校级模拟）已知函数f（x）＝x2﹣2m，g（x）＝3lnx﹣x，若y＝f（x）与y＝g（x）在公共点处的切线相同，则m＝（　　）‎ A．﹣3 B．1 C．2 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】设两曲线y＝f（x）与y＝g（x）的公共点（a，b）（a＞0），‎ f（x）＝x2﹣2m，其导数f′（x）＝2x，则切线的斜率k＝f′（a）＝2a，‎ g（x）＝3lnx﹣x，其导数g′（x），则切线的斜率k＝g′（a），‎ 则有2a，解可得a＝1或（舍），‎ 则b＝3ln1﹣1＝﹣1，‎ 则公共点为（1，﹣1），则有﹣1＝1﹣2m，解得m＝1．‎ 故选B．‎ ‎19．（2020•河南模拟）曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为（　　）‎ A．3x+2y﹣1＝0 B．3x+2y+1＝0 C．6x+4y﹣5＝0 D．12x+8y﹣7＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】的导数为y′＝x，‎ 设切点为（m，n），m＞0，‎ 可得切线的斜率为m，‎ 解得m（﹣2舍去），‎ 可得切点为（，），‎ 则切线的方程为y（x），‎ 化为12x+8y﹣7＝0．‎ 故选D．‎ ‎20．（2020•福州三模）曲线y＝（1﹣x）ex在x＝1处的切线方程为（　　）‎ A．ex﹣y﹣e＝0 B．ex+y﹣e＝0 C．x+ey﹣1＝0 D．x﹣ey﹣1＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知：y|x＝1＝0，y′＝ex（1﹣x﹣1）＝﹣xex．‎ 所以k＝﹣e，故切线为y＝﹣e（x﹣1），即ex+y﹣e＝0．‎ 故选B．‎ ‎21．（2020•桃城区校级模拟）设曲线在点处的切线与直线2x+ay+1＝0垂直，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣2 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，‎ 所以曲线在点处的切线的斜率k1＝﹣1，‎ 又直线2x+ay+1＝0的斜率，‎ 由k1k2＝﹣1，解得a＝﹣2，‎ 故选A．‎ ‎22．（2020•让胡路区校级三模）曲线在点（1，2）处的切线方程为（　　）‎ A．y＝x+1 B．y＝2x C．y＝3x﹣1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，‎ 所以f'（1）＝1，所以切线方程为y﹣2＝x﹣1，‎ 即y＝x+1．‎ 故选A．‎ ‎23．（2020•临汾模拟）已知曲线f（x）＝lnx+ax+b在x＝1处的切线是x轴，若方程f（x）＝m（m∈R）有两个不等实根x1，x2，则x1+x2的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，1） C．（2，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知，切点为（1，0），切线斜率为0，而．‎ ‎∴，解得a＝﹣1，b＝1．‎ ‎∴f（x）＝lnx﹣x+1（x＞0）．‎ ‎∵，易知f′（1）＝0，‎ 且当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，‎ 故若方程f（x）＝m（m∈R）有两个不等实根x1＜x2，‎ 则必有0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1．‎ ‎∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）﹣f（2﹣x1）＝f（x1）﹣f（2﹣x1），‎ 令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝lnx﹣x﹣1﹣[ln（2﹣x）﹣（2﹣x）﹣1]‎ ‎＝lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，x∈（0，1），‎ ‎∵（0＜x＜1），‎ ‎∴g（x）在（0，1）上单调递增，‎ 而g（1）＝0，故g（x）＜0在（0，1）上恒成立，‎ ‎∴f（x2）﹣f（2﹣x1）＜0恒成立，即f（x2）＜f（2﹣x1）恒成立 而此时x2，2﹣x1∈（1，+∞），且f（x）在（1，+∞）上是减函数，‎ ‎∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．‎ 故选C．‎ ‎24．（2020•河南模拟）设点P是函数f（x）＝2ex﹣f′（0）x+f′（1）图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数f（x）＝2ex﹣f′（0）x+f′（1）的导数为f′（x）＝2ex﹣f′（0），‎ 令x＝0，可得f′（0）＝2e0﹣f′（0），解得f′（0）＝1，‎ 则f（x）＝2ex﹣x+f′（1），f′（x）＝2ex﹣1，‎ 设P（m，n），可得k＝2em﹣1＞﹣1，‎ 则tanα＞﹣1，即﹣1＜tanα＜0或tanα≥0，‎ 由0≤α或α＜π，‎ 可得倾斜角α满足：α＜π或0≤α，‎ 故选B．‎ ‎25．（2020•黑龙江二模）若曲线y＝lnx在x＝1处的切线也是y＝ex+b的切线，则b＝（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．﹣e ‎【答案】B ‎【解析】由y＝lnx得，故y′|x＝1＝1，切点坐标为A（1，0），‎ 故切线方程为y＝x﹣1．‎ 设y＝ex+b的切点为B（m，em+b），∵y′＝ex，‎ ‎∴em＝1，所以m＝0，将m＝0代入切线方程得B（0，﹣1），‎ 将B（0，﹣1）代入y＝em+b得：﹣1＝e0+b，得b＝﹣2．‎ 故选B．‎ ‎26．（2020•河南模拟）过原点引y＝ex+t的切线，若切线斜率为，则t＝（　　）‎ A．﹣e B． C．2e D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设切点坐标为（x0，y0），‎ 则，‎ 又．‎ 故选D．‎ ‎27．（2020•福建模拟）函数f（x）＝x在x＝1处的切线方程为2x﹣y+b＝0，则a+b＝（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数f（x）＝x的导数为f′（x）＝1，‎ 可得函数f（x）＝x在x＝1处的切线的斜率为k＝1﹣a，‎ 由切线方程为2x﹣y+b＝0，可得1﹣a＝2，即a＝﹣1，‎ 则f（x）＝x，可得切点为（1，0），‎ 可得2﹣0+b＝0，即b＝﹣2，‎ 则a+b＝﹣3，‎ 故选A．‎ ‎28．（2020•河南模拟）已知：过点M（m，0）可作函数f（x）＝x2﹣2x+t图象的两条切线l1，l2，且l1⊥l2，则t＝（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点为（n，n2﹣2n+t），∵f′（x）＝2x﹣2，故切线斜率为2n﹣2．‎ 所以切线方程：y﹣（n2﹣2n+t）＝（2n﹣2）（x﹣n），‎ 将（m，0）代入整理得：n2﹣2mn+2m﹣t＝0，‎ 设l1，l2的切点横坐标分别为n1，n2，则：n1+n2＝2m，n1n2＝2m﹣t．‎ 因为l1⊥l2，所以f′（n1）f′（n2）＝（2n1﹣2）（2n2﹣2）＝4n1n2﹣4（n1+n2）+4＝﹣1①．‎ 结合韦达定理得4×（2m﹣t）﹣4×2m+4＝﹣1，解得．‎ 故选B．‎ ‎29．（2020•益阳模拟）已知函数f（x）＝x2lnx+1﹣f'（1）x，则函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）‎ A． B． C．3e D．3e ‎【答案】A ‎【解析】函数f（x）＝x2lnx+1﹣f'（1）x的导数为f′（x）＝2xlnx+x﹣f′（1），‎ 令x＝1，则f′（1）＝0+1﹣f′（1），可得f′（1），‎ 则函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为，‎ 故选A．‎ ‎30．（2020•三模拟）函数f（x）＝3sinx+4cosx的图象在点T（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由f（x）＝3sinx+4cosx，得f'（x）＝3cosx﹣4sinx，‎ ‎∴f'（0）＝3，又f（0）＝4，‎ ‎∴切线l的方程为3x﹣y+4＝0，‎ 取x＝0，解得切线l在y轴上的截距b＝4，‎ 取y＝0，解得切线l在x轴上的截距，‎ ‎∴直线l与坐标轴围成的三角形面积|a||b|．‎ 故选D．‎ ‎31．（2020•陕西模拟）曲线f（x）＝f′（1）ex﹣x2+2在点（0，f（0））处的切线的斜率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】f（x）＝f′（1）ex﹣x2+2，‎ 可得f′（x）＝f′（1）ex﹣2x，‎ 可令x＝1，可得f′（1）＝f′（1）e﹣2，‎ 解得f′（1），‎ 则f′（x）ex﹣2x，‎ 可得曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为f′（0），‎ 故选B．‎ ‎32．（2020•赤峰模拟）设函数f（x）＝ex﹣x，直线y＝ax+b是曲线y＝f（x）的切线，则a+b的最大值是（　　）‎ A．1 B．1 C．e﹣1 D．e2﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得f′（x）＝ex﹣1，设切点（t，f（t）），则f（t）＝etx，f′（t）＝et﹣1；‎ 则切线方程为：y﹣（et﹣t）＝（et﹣1）（x﹣t），‎ 即y＝（et﹣1）x+et（1﹣t），又因为y＝ax+b，‎ 所以a＝et﹣1，b＝et（1﹣t），‎ 则a+b＝﹣1+2et﹣tet，‎ 令g（t）＝﹣1+2et﹣tet，则g′（t）＝（1﹣t）et，‎ 则有t＞1，g′（t）＜0；t＜1，g′（t）＞0，‎ 所以t＝1时，g（x）取最大值，‎ 所以a+b的最大值为g（1）＝﹣1+2e﹣e＝e﹣1．‎ 故选C．‎ ‎33．（2020•四川模拟）曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由x＞0，f（x）x3+2lnx的导数，‎ 当且仅当x＝1时等号成立，‎ 可得曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为3．‎ 故选A．‎ ‎34．（2018•南开区二模）函数y＝xcosx在x处的导数值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】y′＝x′cosx+x（cosx）′＝cosx﹣xsinx 所以y＝xcosx在处的导数值是 故答案为．‎ ‎35．（2020•沙坪坝区校级模拟）函数，则__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎36．（2020•香坊区校级二模）已知函数，则 __________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由已知，‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为：1．‎ ‎37．（2020•河南模拟）已知函数f（x）＝2ex﹣f′（0）sinx，则f'（0）＝__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】f′（x）＝2ex﹣f′（0）cosx，‎ ‎∴f′（0）＝2﹣f′（0），解得f′（0）＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎38．（2020•荔湾区校级模拟）设函数f（x）的导数为f'（x），且满足f（x）＝f′（1）x3﹣2x，则f（1）＝__________．‎ ‎【答案】ln2﹣2‎ ‎【解析】根据题意，f（x）＝f′（1）x3﹣2x，则f′（x）＝3f′（1）x2﹣2xln2，‎ 当x＝1时，有f′（1）＝3f′（1）﹣2ln2，‎ 解可得f′（1）＝ln2，‎ 则f（x）＝ln2×x3﹣2x，故f（1）＝ln2﹣2；‎ 故答案为：ln2﹣2．‎ ‎39．（2020•遂宁模拟）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝3xf′（2）+lnx，则f（1）的值等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，f（x）＝3xf′（2）+lnx，其导数f′（x）＝3f′（2），‎ 令x＝2可得：f′（2）＝3f′（2），‎ 解可得f′（2），‎ 故f（x）x+lnx，则f（1），‎ 故答案为：．‎ ‎40．（2020•邯山区校级模拟）已知函数f（x）＝xsinx+2x﹣1，则f'（π）＝__________．‎ ‎【答案】2﹣π ‎【解析】∵f′（x）＝sinx+xcosx+2；‎ ‎∴f′（π）＝0﹣π+2＝2﹣π．‎ 故答案为：2﹣π．‎ ‎41．（2020•遂宁模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝3xf'（2）+lnx，则f'（1）的值等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，f（x）＝3xf'（2）+lnx，‎ 则其导数f′（x）＝3f'（2），‎ 当x＝2时，有f′（2）＝3f'（2），解可得f′（2），‎ 则f′（x），‎ 则f′（1）1，‎ 故答案为：．‎ ‎42．（2020•乐山模拟）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝　2　；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝__________．‎ ‎【答案】2，﹣2‎ ‎【解析】（1）由图象可知f（0）＝4，f（4）＝2，‎ 即f（f（0））＝2‎ ‎（2）∵f（0）＝4，f（4）＝2，f（2）＝4，‎ ‎∴由函数的图象可知，‎ ‎，‎ 当0≤x≤2时，f'（x）＝﹣2‎ ‎∴f'（1）＝﹣2‎ 故答案为：2，﹣2．‎ ‎43．（2020•汉中二模）已知函数f（x）x3x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．‎ ‎（1）若存在x＜0，使得f′（x）＝﹣9，求a的最大值；‎ ‎（2）当a＞0时，求函数f（x）的极值．‎ ‎【解析】f（x）x3x2+bx+a，f′（x）＝x2﹣（a+1）x+b 由f′（0）＝0得b＝0，f′（x）＝x（x﹣a﹣1）．‎ ‎（1）存在x＜0，使得f′（x）＝x（x﹣a﹣1）＝﹣9，‎ ‎﹣a﹣1＝﹣x（﹣x）6，‎ ‎∴a≤﹣7，‎ 当且仅当x＝﹣3时，a＝﹣7．所以a的最大值为﹣7．‎ ‎（2）当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ f（x）的极大值f（0）＝a＞0，‎ f（x）的极小值f（a+1）＝a（a+1）3．‎ ‎44．（2018•浙江模拟）已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的导函数；‎ ‎（2）求f（x）的定义域及值域．‎ ‎【解析】（1）对f（x）求导得：‎ ‎ ‎ ‎（2）因为|x|≥|x|≥﹣x，‎ 所以x0对一切x∈R恒成立，故f（x）的定义域为R．‎ 令f′（x）＝0，即0，解得x（舍去），或x，‎ 当x时，，f′（x）＜0，‎ 当x时，，f′（x）＞0‎ 所以当x时，f（x）取最大值f（），‎ 又x0，所以f（x）＞0，‎ 故f（x）的值域为（0，]．‎ ‎45．（2020•唐山二模）已知函数f（x）＝axlnx，g（x）＝x2﹣b，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）相交于P（1，0），且在点P处有相同的切线．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）比较f（x）与g（x）的大小关系．‎ ‎【解析】（1）由g（1）＝0，得b＝1．‎ f′（x）＝a（lnx+1），g′（x）＝2x．‎ 依题意可得f′（1）＝g′（1）＝2，‎ 所以a＝2，b＝1．‎ ‎（2）．‎ 令，则，‎ 所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）＝0，‎ 因此0＜x＜1时，h（x）＞h（1）＝0；‎ x＝1时，h（x）＝h（1）＝0；x＞1时，h（x）＜h（1）＝0．‎ 故0＜x＜1时，f（x）＞g（x）；‎ x＝1时，f（x）＝g（x）；‎ x＞1时，f（x）＜g（x）．‎