中考数学复习最短路径问题专项训练题

中考数学复习最短路径问题专项训练题

中考数学复习最短路径问题专项训练题 一、两条线段和最短 ‎1、如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－)，且在x轴上截得的线段AB的长为6．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：‎ ‎①点P的坐标；‎ ‎②△PAC的周长和面积；‎ y x B A O C ‎2、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．‎ 己知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．‎ ‎（1）当m=0时，求该函数的零点；‎ ‎（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x﹣10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．‎ ‎　‎ 二、三条线段和最短 ‎3、如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；‎ O y x A B C ‎（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．‎ 三、线段的平移 ‎4、如图，已知点A（－4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax 2上．‎ ‎（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出点Q的坐标；‎ ‎（2）平移抛物线y＝ax 2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（－2，0）和点D（－4，0）是x轴上的两个定点．‎ ‎① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式；‎ ‎② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．‎ y O A ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎4‎ x B C D ‎5、（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F；‎ ‎（1）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：=.‎ ‎（2）在（1）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值．‎ 练习：1．（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；‎ ‎②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）‎ ‎　‎ ‎2．如图（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；‎ ‎（3）如图（3），过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•宝安区二模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y=ax2+bx+c ‎（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•黄冈二模）如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．‎ ‎（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．‎