全国二卷理科数学高考真题及详解全word版

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全国二卷理科数学高考真题及详解全word版

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 ‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 设集合,,若,则 A. B. . C. D.‎ ‎3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ‎ A.1盏 B.3盏 ‎ C.5盏 D.9盏 ‎ ‎4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5.设满足约束条件 则的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 A.12种 B.18种 C. 24种 D.36种 ‎ 理科数学试题 第1页(共4页)‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 ‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎ 8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的 A.2 ‎ B.3 ‎ C.4 ‎ D.5‎ ‎9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为,则的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎10.已知直三棱柱中,, , , 则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎11.若是函数的极值点,则的极小值为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知是边长为的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 次,表示抽到二等品件数,则 .‎ ‎14.函数的最大值是 .‎ ‎15.等差数列的前项和为,,,则 .‎ ‎16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .‎ 理科数学试题 第2页(共4页)‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,的面积为,求.‎ ‎18.(12分)‎ ‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率;‎ ‎(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关;‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确 到0.01).‎ ‎ ‎ 附:‎ ‎ .‎ 理科数学试题 第3页(共4页)‎ ‎19.(12分)‎ ‎ 如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于地面,,,是的中点.‎ ‎(1)证明:直线;‎ ‎ (2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ ‎ 设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.‎ ‎ (1)求点的轨迹方程;‎ ‎ (2)设点在直线上,且. 证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.(12分)‎ ‎ 已知函数,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎ (2)证明:存在唯一的极大值点,且.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为.‎ ‎(1) 为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点 的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎ (2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值. ‎ ‎23.[选修:不等式选讲](10分)‎ ‎ 已知.证明:‎ ‎(1);‎ ‎ (2).‎ 理科数学试题 第4页(共4页)‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D ‎7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 ‎ 13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17.(1)由得,即,‎ ‎ ,得,则有.‎ ‎ (2)由(1)可知,则,得,‎ ‎ 又,则.‎ ‎18.(1)旧养殖法箱产量低于50kg的频率为 ‎,‎ ‎ 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为 ‎,‎ 而两种箱产量相互独立,则.‎ ‎(2)由频率分布直方图可得列联表 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎ ‎ 则,‎ 所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)新养殖法箱产量低于50kg的面积为,‎ ‎ 产量低于55kg的面积为,‎ ‎ 所以新养殖法箱产量的中位数估计值为(kg).‎ ‎19.(1)取中点,连结.因为为中点,则.而由题可知,则,即四边形为平行四边形,所以.又,故.‎ ‎(2)因为,则以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示.‎ ‎ 取,设则得,,则,,可得点,所以.‎ 取底面的法向量为,则,解得,则.因为,设面的法向量为,由得,取得,‎ 则.故二面角的余弦值为.‎ ‎20.(1)设,则,将点代入中得,所以点的轨迹方程为.‎ ‎(2)由题可知,设,则,‎ ‎ .由得,由(1)有,则有,所以,即过点 ‎ 且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.(1)的定义域为,则等价于.‎ ‎ 设,则.由题可知,则由解得,所以为上的增函数,为上的减函数.则有 ‎ ,解得.‎ ‎(2)由(1)可知,则. ‎ 设,则.由解得,所以为 上的增函数,为上的减函数.又因为,则在上存在唯一零点使得,即,且为,上的增函数,为上的减函数,则极大值为.‎ ‎ 而,所以.‎ 综上,. ‎ ‎22.(1)设极坐标为,极坐标为.则,‎ ‎ .由得的极坐标方程为.所以 的直角坐标方程为.‎ ‎(2)设极标为,由题可知,则有 ‎ .‎ ‎ 即当时,面积的最大值为.‎ ‎23.(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 所以,解得.‎
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