高考数学理基础知识总复习名师讲义平面向量的数量积高考

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高考数学理基础知识总复习名师讲义平面向量的数量积高考

第三节 平面向量的数量积 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 知识梳理 一、平面向量的数量积的定义 ‎1.向量a,b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a,b的夹角.‎ 当且仅当两个非零向量a,b同方向时,θ=0°,当且仅当a,b反方向时,θ=180°,同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的.‎ ‎2.a与b垂直:如果a,b的夹角为90°,则称a与b垂直,记作a⊥b.‎ ‎3.a与b的数量积:两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,则cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=cos θ,规定0·a=0,非零向量a与b当且仅当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.‎ ‎4.b在a方向上的投影:|OP|=cos θ∈R(注意是射影).‎ ‎5.a·b的几何意义:a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.‎ 二、平面向量数量积的性质 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有:‎ ‎1.e·a=a·e=cos θ.‎ ‎2.a⊥b⇔a·b=0.‎ ‎3.当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=-,特别地,a·a=a2=2,即|a|=.‎ ‎4.cos θ=.‎ ‎5.≤.‎ 三、平面向量数量积的运算律 ‎1.交换律成立:a·b=b·a.‎ ‎2.对实数的结合律成立:·b=λ=a·.‎ ‎3.分配律成立:·c=a·c±b·c=c·.‎ 四、平面向量数量积的坐标表示 ‎1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎2.若a=(x,y),则|a|2=a·a=x2+y2,=.‎ ‎3.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=.‎ ‎4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.‎ ‎5.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.‎ ‎6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ = .‎ 基础自测 ‎1.(2013·辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为(  )‎ A.    B. C. D. 解析:=-=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),∴与同方向的单位向量为=.故选A.‎ 答案:A ‎2.(2013·佛山一模)已知a=(1,2),b=(0,1),c=(k,-2),若(a+2b)⊥c,则k=(  )‎ A.2 B.-2 ‎ C.8 D.-8‎ 解析:∵a=(1,2),b=(0,1),∴a+2b=(1,4),‎ 又因为(a+2b)⊥c,所以(a+2b)·c=k-8=0,‎ 解得k=8,故选C.‎ 答案:C ‎3.在△ABC中,已知·=4,·=-12,则||=________.‎ 解析:∵·=4,∴bccos A==4,得b2+c2-a2=8,‎ 同理a2+c2-b2=24,两式相加得c2=16,∴c=4.‎ 答案:4‎ ‎4.已知平面向量α,β,=1,=2,α⊥(α-2β),则的值是________.‎ 答案: ‎1.(2013·陕西卷)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a·b=|a|·|b|·cos θ.‎ 若|a·b|=|a|·|b|⇒cos θ=±1,则向量a与b的夹角为0或π,即a∥b为真;‎ 相反,若a∥b,则向量a与b的夹角为0或π,‎ 即|a·b|=|a|·|b|.‎ 答案:C ‎2.(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.‎ 解析:由⊥知·=0,‎ 即·=(λ+)·(-)‎ ‎=(λ-1)·-λ2+2=(λ-1)×3×2×-λ×9+4=0,解得λ=.‎ 答案: ‎1.已知两个非零向量a与b,定义|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为a与b的夹角.若a=(-3,4),b=(0,2),则|a×b|的值为(  )‎ A.-8 B.-6 C.8 D.6‎ 解析:由已知可得|a|=5,|b|=2,则cos θ===.∴sin θ=.∴|a×b|=|a||b|sin θ=5×2×=6.故选D.‎ 答案:D ‎2.(2013·韶关二模)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a-b);则cos〈a,b〉的值是________.‎ 解析:由题意可得a·(a-b)=a2-a·b=0,‎ 即1-1×2×cos〈a,b〉=0,‎ 解得cos〈a,b〉=.‎ 答案:
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