2020年高考真题——数学（江苏卷） Word版含解析

2020年高考真题——数学（江苏卷） Word版含解析

绝密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.‎ ‎4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.‎ 参考公式：‎ 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.已知集合，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集即可计算.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．‎ - 24 -‎ ‎2.已知是虚数单位，则复数的实部是_____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.‎ ‎【详解】∵复数 ‎∴‎ ‎∴复数的实部为3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数的公式进行求解即可．‎ ‎【详解】∵数据的平均数为4‎ ‎∴，即.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．‎ ‎4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．‎ ‎【详解】根据题意可得基本事件数总为个.‎ 点数和为5的基本事件有，，，共4个.‎ ‎∴出现向上的点数和为5的概率为.‎ - 24 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的性质，判断出，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于，所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即 - 24 -‎ ‎，所以，所以双曲线的离心率为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再根据奇函数求 ‎【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8.已知 =，则的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为‎2 cm，高为‎2 cm，内孔半轻为‎0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.‎ ‎【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.‎ ‎【详解】‎ 当时 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎11.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 - 24 -‎ ‎，则d+q的值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.‎ 等差数列的前项和公式为，‎ 等比数列的前项和公式为，‎ 依题意，即，‎ 通过对比系数可知，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.‎ ‎12.已知，则的最小值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】∵‎ - 24 -‎ ‎∴且 ‎∴，当且仅当，即时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎13.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】∵三点共线，‎ ‎∴可设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ - 24 -‎ 若且，则三点共线，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵,,，‎ ‎∴，‎ 设，，则，.‎ ‎∴根据余弦定理可得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴的长度为.‎ 当时， ，重合，此时的长度为，‎ 当时，，重合，此时，不合题意，舍去.‎ 故答案为：0或.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.‎ ‎【详解】‎ 设圆心到直线距离为，则 - 24 -‎ 所以 令（负值舍去）‎ 当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB⊥AC，B‎1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B‎1C的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面AB‎1C1；‎ ‎（2）求证：平面AB‎1C⊥平面ABB1．‎ ‎【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明，来证得平面.‎ ‎（2）通过证明平面，来证得平面平面.‎ ‎【详解】（1）由于分别是的中点，所以.‎ 由于平面,平面，所以平面.‎ ‎（2）由于平面，平面，所以.‎ - 24 -‎ 由于，所以平面,‎ 由于平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.‎ ‎16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. ‎ ‎（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】（1）由余弦定理得，所以.‎ - 24 -‎ 由正弦定理得.‎ ‎（2）由于，，所以.‎ 由于，所以，所以 所以 ‎.‎ 由于，所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.‎ ‎17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为‎40米.‎ - 24 -‎ ‎（1）求桥AB的长度；‎ ‎（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为‎80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?‎ ‎【答案】（1）‎120米（2）米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；‎ ‎（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得 米 ‎（2）设总造价为万元，，设，‎ ‎(0舍去)‎ 当时，；当时，，因此当时，取最小值，‎ 答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.‎ ‎【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F‎1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．‎ - 24 -‎ ‎（1）求△AF‎1F2的周长；‎ ‎（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；‎ ‎（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．‎ ‎【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆定义可得，从而可求出的周长；‎ ‎（2）设，根据点在椭圆上，且在第一象限，，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；‎ ‎（3）设出设，点到直线的距离为，由点到直线的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.‎ ‎【详解】（1）∵椭圆的方程为 ‎∴,‎ 由椭圆定义可得：.‎ ‎∴的周长为 ‎（2）设，根据题意可得.‎ ‎∵点在椭圆上，且在第一象限，‎ ‎∴‎ ‎∵准线方程为 ‎∴‎ - 24 -‎ ‎∴，当且仅当时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎（3）设，点到直线的距离为.‎ ‎∵，‎ ‎∴直线的方程为 ‎∵点到直线的距离为，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴①‎ ‎∵②‎ ‎∴联立①②解得，.‎ ‎∴或.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.‎ ‎19.已知关于x的函数与在区间D上恒有．‎ ‎（1）若，求h(x)的表达式；‎ ‎（2）若，求k的取值范围；‎ - 24 -‎ ‎（3）若求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得与的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式.‎ ‎（2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围.‎ ‎（3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）由题设有对任意的恒成立.‎ 令，则，所以.‎ 因此即对任意的恒成立，‎ 所以，因此.‎ 故.‎ ‎（2）令，.‎ 又.‎ 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.‎ 当时，，符合题意.‎ 当时， 在上递减，在上递增，则，‎ 即，符合题意.‎ 综上所述，.‎ 由 - 24 -‎ 当，即时，在为增函数，‎ 因为，‎ 故存在，使，不符合题意.‎ 当，即时，，符合题意.‎ 当，即时，则需，解得.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎（3）因为对任意恒成立，‎ 对任意恒成立，‎ 等价于对任意恒成立.‎ 故对任意恒成立 令，‎ 当，，‎ 此时，‎ 当，，‎ 但对任意的恒成立. ‎ 等价于对任意的恒成立.‎ 的两根为，‎ 则，‎ 所以.‎ 令，则.‎ 构造函数，，‎ 所以时，，递减，.‎ - 24 -‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎ ‎20.已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列．‎ ‎（1）若等差数列是“λ–‎1”‎数列，求λ的值；‎ ‎（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；‎ ‎（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–‎3”‎数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，‎ ‎【答案】（1）1‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果；‎ ‎（2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得；‎ ‎（3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎（3）假设存在三个不同的数列为数列.‎ 或 或 ‎∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且 或有两个不等的正根.‎ 可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.‎ ‎① 当时，，即，此时，，满足题意.‎ ‎② 当时，，即，此时 - 24 -‎ ‎，，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.‎ 综上，‎ ‎【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数的值；‎ ‎（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.‎ ‎【详解】（1）∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点 ‎∴‎ ‎∴，解得 ‎（2）设，则 - 24 -‎ ‎∴，解得 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．‎ ‎（1）求，的值 ‎（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.‎ ‎【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，‎ ‎，‎ 因为点为直线上，故其直角坐标方程为，‎ 又对应的圆的直角坐标方程为：，‎ 由解得或， ‎ - 24 -‎ 对应的点为，故对应的极径为或.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 当时；‎ 当时，舍；即所求交点坐标为当 ‎【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ C．[选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎23.设，解不等式．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 ‎【详解】或或 或或 所以解集为 ‎【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．‎ - 24 -‎ ‎（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；‎ ‎（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；‎ ‎（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.‎ 详解】‎ ‎（1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 - 24 -‎ 从而直线与所成角的余弦值为 ‎（2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 ‎【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．‎ ‎（1）求p1·q1和p2·q2；‎ ‎（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；‎ ‎（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 因此，‎ 从而，‎ 即.‎ 又的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.‎ ‎ ‎ - 24 -‎