全国统一高考数学试卷理科全国卷ⅰ含详细答案

全国统一高考数学试卷理科全国卷ⅰ含详细答案

‎2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（　　）‎ A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R ‎2．（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（　　）‎ A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）‎ C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）‎ ‎3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（　　）‎ A． B．﹣4 C．4 D．‎ ‎4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎5．（5分）函数的单调增区间为（　　）‎ A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z C． D．‎ ‎6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）‎ A．16π B．20π C．24π D．32π ‎8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎9．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（　　）‎ A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0‎ ‎10．（5分）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（　　）‎ A．120 B．105 C．90 D．75‎ ‎11．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（　　）‎ A． B． C． D．20cm2‎ ‎12．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（　　）‎ A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于　　°．‎ ‎14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为　　．‎ ‎15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 　　种（用数字作答）．‎ ‎16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．‎ ‎18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．‎ ‎（Ⅰ）证明AC⊥NB；‎ ‎（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）的最小值．‎ ‎21．（14分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．‎ ‎22．（12分）设数列{an}的前n项的和，n=1，2，3，…‎ ‎（Ⅰ）求首项a1与通项an；‎ ‎（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．‎ ‎　‎ ‎2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（　　）‎ A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R ‎【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．‎ ‎【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（　　）‎ A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）‎ C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）‎ ‎【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．‎ 根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．‎ ‎【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，‎ 所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，‎ ‎∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），‎ 选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（　　）‎ A． B．﹣4 C．4 D．‎ ‎【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．‎ ‎【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，‎ ‎∴m＜0，且双曲线方程为，‎ ‎∴m=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0‎ ‎【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，‎ ‎∴1+m3=0，m=﹣1，‎ 选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（　　）‎ A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z C． D．‎ ‎【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．‎ ‎【解答】解：函数的单调增区间满足，‎ ‎∴单调增区间为，‎ 故选C ‎　‎ ‎6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．‎ ‎【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，‎ 由c=2a，则b=a，‎ ‎=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）‎ A．16π B．20π C．24π D．32π ‎【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．‎ ‎【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，‎ 正四棱柱的对角线长即球的直径为2，‎ ‎∴球的半径为，球的表面积是24π，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．‎ ‎【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），‎ 该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，‎ 分析可得，当m=时，取得最小值为，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（　　）‎ A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0‎ ‎【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．‎ ‎【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，‎ 向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，‎ 且|i|=2|i|，‎ ‎∴1+2+3=0，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（　　）‎ A．120 B．105 C．90 D．75‎ ‎【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．‎ ‎【解答】解：{an}是公差为正数的等差数列，‎ ‎∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，‎ ‎∴a2=5，‎ ‎∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，‎ ‎∴d=3，a12=a2+10d=35‎ ‎∴a11+a12+a13=105‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（　　）‎ A． B． C． D．20cm2‎ ‎【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，‎ 令p=，则p=10．由海伦公式S=‎ 知S=≤=＜20＜3‎ 由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，‎ ‎∴S＜20＜3．‎ 排除C，D．‎ 由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}‎ ‎．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（　　）‎ A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 ‎【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；‎ 解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．‎ ‎【解答】解：‎ 解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；‎ 若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；‎ 若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；‎ 若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；‎ 若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；‎ 若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；‎ 若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；‎ 总计有49种，选B．‎ 解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，‎ 从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；‎ 从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；‎ 从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；‎ 从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；‎ 总计为10+20+15+4=49种方法．选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于　60　°．‎ ‎【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．‎ ‎【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，‎ 所以正四棱锥的高为3，‎ 则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，‎ ‎∴二面角等于60°，‎ 故答案为60°‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为　11　．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．‎ ‎【解答】解：，在坐标系中画出图象，‎ 三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），‎ 在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．‎ 故填：11．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 　2400　种（用数字作答）．‎ ‎【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，‎ 其余5人再进行排列，有A55=120种排法，‎ ‎∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．‎ 故答案为：2400‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=　　．‎ ‎【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值 ‎【解答】解：，‎ 则f（x）+f′（x）=‎ ‎，为奇函数，‎ 令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，‎ g（0）=0⇒2sin（φ）=0，‎ ‎∵0＜φ＜π，‎ ‎∴φ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．‎ ‎【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值 ‎【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，‎ 所以有cos=sin．‎ cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin ‎=﹣2（sin﹣）2+‎ 当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为 故最大值为 ‎　‎ ‎18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．‎ ‎（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．‎ ‎【解答】解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，‎ Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，‎ 依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，‎ P（B1）=2××=，所求概率为：‎ P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）‎ ‎=×+×+×=‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．‎ P（ξ=0）=（）3=，‎ P（ξ=1）=C31××（）2=，‎ P（ξ=2）=C32×（）2×=，‎ P（ξ=3）=（）3=‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴数学期望Eξ=3×=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2‎ 是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．‎ ‎（Ⅰ）证明AC⊥NB；‎ ‎（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；‎ ‎（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．‎ 由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，‎ 可知AN=NB且AN⊥NB．‎ 又AN为AC在平面ABN内的射影．‎ ‎∴AC⊥NB ‎（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，‎ 由中垂线的性质可得AN=BN，‎ ‎∴Rt△CAN≌Rt△CNB，‎ ‎∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，‎ 因此△ABC为正三角形．‎ ‎∵Rt△ANB≌Rt△CNB，‎ ‎∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，‎ 连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．‎ 在Rt△NHB中，cos∠NBH===．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；‎ ‎（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，‎ 所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣‎ 设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：‎ y=﹣（x﹣x0）+y0．‎ 设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．‎ 由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：‎ ‎+=1（x＞1，y＞2）‎ ‎（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，‎ ‎∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．‎ 且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．‎ 故||的最小值为3．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．‎ ‎（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，‎ 所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．‎ ‎（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．‎ ‎（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，‎ 解得x1=，x2=．‎ 当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎ （1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↑‎ ‎↓‎ ‎↑‎ ‎↑‎ f（x）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（，）为减函数．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1．‎ ‎（ⅱ）当a＞2时，取x0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x0）＜f（0）=1‎ ‎（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax≥1，得f（x）=e﹣ax≥＞1．‎ 综上当且仅当a∈（﹣∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{an}的前n项的和，n=1，2，3，…‎ ‎（Ⅰ）求首项a1与通项an；‎ ‎（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．‎ ‎【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an，可先求出Sn﹣1，然后有an=Sn﹣Sn﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；‎ 对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将an=4n﹣2n代入Sn=an﹣×2n+1+，n=1，2，3，得Sn=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）‎ 然后再利用求和公式进行求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由Sn=an﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+‎ 所以a1=2．‎ 再由①有Sn﹣1=an﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，‎ 将①和②相减得：an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣an﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，‎ 整理得：an+2n=4（an﹣1+2n﹣1），n=2，3，‎ 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：an+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，‎ 因而an=4n﹣2n，n=1，2，3，‎ ‎（Ⅱ）将an=4n﹣2n代入①得Sn=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）‎ ‎=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）‎ Tn==×=×（﹣）‎ 所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣‎ ‎）‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；liuerq；zlzhan；rxl；zhwsd；danbo7801；qiss；涨停；wodeqing；minqi5；yhx01248；吕静；wdnah；sllwyn；zhiyuan（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年2月5日