江苏高考数学理科附加题考前指导复习含答案

江苏高考数学理科附加题考前指导复习含答案

‎2014届江苏高考数学理科附加题考前指导复习 一、附加题的两点共识 ‎1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．‎ ‎2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：‎ ‎ （1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．‎ ‎ （2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．‎ ‎ （3）准确定位，合理取舍．‎ 二、各模块归类分析及应对策略 专题 内容说明（核心）‎ 矩阵与变换 矩阵的运算；矩阵与变换；逆矩阵；特征值与特征向量．‎ 参数方程与坐标系 极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化；圆、椭圆的参数方程应用．‎ 排列组合 两个计数原理、排列组合 概率及概率分布 互斥事件、独立事件、独立重复试验，概率分布及期望、方差 二项式定理 二项式展开，系数与二项式系数 空间向量与立体几何 空间向量的坐标运算，三种角的计算 圆锥曲线与方程 轨迹方程；抛物线的标准方程及几何性质；直线与抛物线 数学归纳法 数学归纳法原理及简单应用 三、六年高考考查内容 ‎2008年 ‎2009年 ‎2010年 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 矩阵与 变换 曲线与变换 逆矩阵 矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法 矩阵与矩阵、矩阵与列向量的乘法 矩阵的运算，矩阵的特征值 矩阵的运算，求逆矩阵。‎ 坐标系与参数方程 椭圆的参数方程 的应用 参数方程化普通 方程 极坐标方程化直角坐标方程 参数方程化普通 方程 直线和圆的极坐标方程 参数方程化为普通方程 ‎22题 向量的夹角 直线与抛物线 概率 二面角的计算 概率分布、数学期望 用空间向量求角 ‎23题 组合恒等式证明 概率与不等式 数学归纳法 组合计数 集合概念和运算，计数原理 集合概念和运算，计数原理 四、专题讲练 ‎（一）矩阵与变换 考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．‎ 例1（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．‎ ‎（2011年江苏高考）已知矩阵A＝，向量b＝，求向量a，使得A2a＝b．‎ 考点二：二阶矩阵与平面变换 例2如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b的值．‎ 考点三： 逆矩阵 例3（2009年江苏高考）求矩阵A＝的逆矩阵．‎ 说明：方法一，根据A A－1＝E，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．‎ 应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．‎ 已知矩阵A＝，B＝，求满足AX＝B的二阶矩阵X.‎ 考点四：特征值与特征向量 例4已知矩阵A＝，向量a＝．‎ ‎（1）求A的特征值l1、l2和特征向量a1、a2；（2）计算A5a的值．‎ ‎ 以下内容最好能记忆：‎ ‎1．旋转变换矩阵．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．‎ ‎2．二阶矩阵M＝的逆矩阵为M－1＝＝．其中是矩阵M主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到．‎ ‎3．矩阵特征多项式f(l)＝．‎ ‎（二）坐标系与参数方程 考点1：极坐标化为与直角坐标 例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．‎ 应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式不能出现类似于ρcosθ＝y的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．‎ ‎2．应了解点的极坐标的形式和意义．‎ 例2：在极坐标系中，O为极点，已知两点M、N的极坐标分别为(4，π)，(，π)．求△OMN的面积．‎ ‎3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．‎ 例3：(2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 考点2：参数方程转化普通方程 例4（2009年高考题）已知曲线C的参数方程为(t为参数，t＞0)．求曲线C的普通方程．‎ 应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化．‎ 考点3：参数方程的应用 例5（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)求直线l的倾斜角；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.‎ ‎（三）概率 基本题型：附加题概率考查两个方面问题：‎ ‎（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率；‎ ‎（2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算．‎ 基本策略:‎ ‎1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；‎ 例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．‎ ‎（1）记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ ‎（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．‎ ‎2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语．‎ 例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A，B，C三个岗位服务，且A岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是．‎ ‎（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人；‎ ‎（2）求A岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；‎ ‎（3）设随机变量ζ为在B岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．‎ ‎3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．‎ 例3盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用x表示取出的3张卡片上的最大数字，求：‎ ‎（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；‎ ‎（2）随机变量x的概率分布和数学期望；‎ ‎（3）计分不小于20分的概率．‎ 说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张‎2”‎及“取得一张1一张2一张‎3”‎是等可能的基本事件．‎ ‎ 解答（2）中P（x＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为‎2”‎仅含两个基本事件：“取得两张1和一张‎2”‎和“取得两张2和一张‎1”‎．‎ ‎4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用Pi＝1检验计算是否正确的习惯．‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ P ‎（四）空间向量与立体几何 考点1：空间向量的坐标运算 例1（2008年江苏高考）如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1的对角线BD1上，记＝λ，当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．‎ 考点2：空间向量的应用 ‎1．判别线面位置关系；‎ ‎2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．‎ 例2（2011年江苏高考）如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1－DN－M的大小为q．‎ ‎（1）当q＝90°时，求AM的长；‎ ‎（2）当cosq＝时，求CM的长．‎ 例3在棱长为2的正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B‎1C1D1中，D1P⊥平面PCE.‎ ‎(1)试求：线段D1P的长；‎ ‎(2)直线DE与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．‎ ‎（五）圆锥曲线与方程 考点1：曲线方程．‎ 考点2：直线与抛物线．‎ 例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A ‎(2，2)，其焦点F在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线方程；‎ ‎（3）设过点M(m，0)(m＞0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f (m)，求f (m)关于m的表达式．‎ 例2：在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线x2＝4y上有两个动点A，B，且满足＝λ， 过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.‎ ‎(1)求：·的值；‎ ‎(2)证明：·为定值．‎ ‎（六）数学归纳法 例1：已知△ABC的三边长为有理数．‎ ‎(1)求证：cosA是有理数；‎ ‎(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．‎ 例2．如图，，，…，（）是曲线：（）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．‎ ‎（1）写出，，；‎ ‎（2）求出点（）的横坐标关于的表达式．‎ 例3：已知数列 （1） 求； （2）试用数学归纳法证明．‎ 说明数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题。通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力。也是考查推理与证明的一个重要内容。要求能够了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用。‎ ‎（七）二项式定理 例1：已知an＝(1＋)n(n∈N*)．‎ ‎(1)若an＝a＋b(a，b∈Z)，求证：a是奇数；‎ ‎(2)求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an＝＋.‎ 例2：设是定义在上的函数，且 ‎（1）若，求；（2）若求。‎ 说明：1.利用通项公式可求展开式中某些特定项(如常数项、有理项、二项式系数最大项等)，解决这些问题通常采用待定系数法，运用通项公式写出待定式，再根据待定项的要求写出n、r满足的条件，求出n和r，再确定所需的项；‎ ‎2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段；‎ ‎3.利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，使得二项展开式的每一项都成为除数的倍数.对于余数问题，要注意余数的取值范围.‎ ‎4．理解、记忆、推导：；；‎ 五、热身冲刺 ‎1.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数,t∈R).试在曲线C上求一点M,使它到直线l的距离最大.‎ ‎2.矩阵与变换已知,点A在变换T:作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到点、B.若点B的坐标为(-3,4),求点A的坐标.‎ ‎3．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.‎ ‎(1)求概率P(ξ＝0)；‎ ‎(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点满足，．（1）当变化时，求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点的直线交曲线于A,B两点,求证：直线TA,TF,TB的斜率依次成等差数列．‎ ‎5．（1）求证：时，为正整数；‎ ‎（2）设，求证：‎ ‎6．设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ 参考答案 理科附加题 ‎（一）矩阵与变换 例1答案：2或－2．答案：a＝．‎ 例2答案：2．‎ 说明：也可以通过特殊点的变换得到a，b的方程组．‎ 例3答案：A－1＝ ．‎ 例4答案：（1）l1＝2，a1＝；l1＝3，a2＝；（2）．‎ 说明：（2）中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性．‎ ‎（二）坐标系与参数方程 例1答案：a＝2，或a＝－8．‎ 例2答案：＋．‎ 例3∵圆心为直线ρsin（θ-）=-与极轴的交点， ∴在ρsin（θ-）=-中令θ=0，得ρ=1 圆C的圆心坐标为（1，0） ∴圆C 经过点P（，）， ∴圆C的半径为PC=1 圆的极坐标方程为ρ=2cosθ。‎ 例4答案：3x2－y＋6＝0．‎ 例5答案：2．‎ ‎（1）倾斜角为60°（2），∴|AB|= ．‎ ‎（三）概率 例1 [解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ 例2答案：（1）2；（2）；‎ ‎（3）‎ ζ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(ζ)＝．‎ 例3答案：（1）；‎ ‎（2）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(x)＝．‎ ‎（3）．‎ ‎（四）空间向量与立体几何 ‎1．建立合适坐标系（右手系）2．求平面的法向量是重要的基本功 例1答案：（，1）．例2答案：（1）；（2）．‎ 例3解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)．‎ 设P(x，y,2)，则＝(x，y,0)，＝(x－2，y－1,2)，＝(－2,1,0)．‎ 因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP.‎ D1P⊥EC.所以·＝0，·＝0，‎ 故解得(舍去)或 即P，所以＝，所以D1P＝＝.‎ ‎(2)由(1)知，＝(2,1,0)，＝，⊥平面PEC，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则sinθ＝|cosα|＝＝＝.‎ 所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为.‎ ‎（五）圆锥曲线与方程 例1本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ 例2解：(1)设A，B，‎ ‎∵焦点F(0,1)，∴＝，＝.‎ ‎∵＝λ，∴消λ，得x1＋x2＝0.‎ 化简整理得(x1－x2)＝0.∵x1≠x2，∴x1x2＝－4.∴y1y2＝·＝1.‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝－3.‎ ‎(2)证明：抛物线方程为y＝x2，∴y′＝x.∴过抛物线A，B两点的切线方程分别为 y＝x1(x－x1)＋和y＝x2(x－x2)＋，即y＝x1x－和y＝x2x－.‎ 联立解出两切线交点M的坐标为.‎ ‎∴·＝·＝－＝0(定值).‎ ‎（六）数学归纳法 例1[证明](1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知 cosA＝是有理数．‎ ‎(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．‎ ‎①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，‎ 从而有sinA·sinA＝1－cos‎2A也是有理数．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．‎ 当n＝k＋1时，由 cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，‎ sin A·sin(k＋1)A＝sinA·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)‎ ‎＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，‎ 由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．‎ 即当n＝k＋1时，结论成立．‎ 综合①②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．‎ 证明：(1)由二项式定理，得an＝C＋C＋C()2＋C()3＋…＋C()n，‎ 所以a＝C＋C()2＋C()4＋…＝1＋‎2C＋‎22C＋…，‎ 因为‎2C＋‎22C＋…为偶数，所以a是奇数．‎ ‎(2)由(1)设an＝(1＋)n＝a＋b(a，b∈Z)，则(1－)n＝a－b，‎ 所以a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)n(1－)n＝(1－2)n.‎ 当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b＝＋＝＋，‎ 当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b＝＋＝＋，‎ 综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an＝＋.‎ 五、热身冲刺 ‎3．[解](1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ 所以共有‎8C对相交棱．因此P(ξ＝0)＝＝＝.‎ ‎(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ 故P(ξ＝)＝＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.‎ 所以随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P(ξ)‎ 则其数学期望E(ξ)＝1×＋×＝.‎ ‎4．解：（Ⅰ）设点的坐标为，‎ 由，得点是线段的中点，则，，‎ 又，‎ 由，得，―――――――――――①‎ 由，得∴t=y ――――②‎ 由①②消去，得即为所求点的轨迹的方程 ‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线的斜率依次为，并记，，‎ 则 设直线方程为 ‎，得，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴成等差数列 ‎ ‎6．解：（1）当n=4时，符合条件的集合为：，∴=4。‎ ‎ ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。‎ 由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。‎ 于是是否属于，由是否属于确定。‎ 设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。‎ 当为偶数〔或奇数）时，中奇数的个数是（）。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】集合的概念和运算，计数原理。‎ ‎【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。‎ ‎（2）由题设，根据计数原理进行求解。‎