高考物理一轮复习曲线运动和万有引力
曲线运动 万有引力与航天
曲线运动 质点在平面内的运动
基础知识归纳
1.曲线运动
(1)曲线运动中的速度方向
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，在某点(或某一时刻)的速度方向是曲线上该点的 切线 方向.
(2)曲线运动的性质
由于曲线运动的速度方向不断变化，所以曲线运动一定是 变速 运动，一定存在加速度.
(3)物体做曲线运动的条件
物体所受合外力(或加速度)的方向与它的速度方向 不在同一直线 上.
①如果这个合外力的大小和方向都是恒定的，即所受的合外力为恒力，物体就做 匀变速曲线 运动，如平抛运动.
②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度方向垂直，物体就做 匀速圆周 运动.
③做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，即合外力总是指向曲线的内侧.根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向.
说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将 增大 ，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将 减小 .
2.运动的合成与分解
(1)合运动与分运动的特征
①等时性：合运动和分运动是 同时 发生的，所用时间相等.
②等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果 相同 .
③独立性：一个物体同时参与几个分运动，各个分运动 独立 进行，互不影响.
(2)已知分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，遵循 平行四边形 定则.
①两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正方向相同的取正值，相反的取负值，合运动为各分运动的代数和.
②不在同一直线上，按照平行四边形定则合成(如图所示).
③两个分运动垂直时，
x合＝，v合＝，a合＝
(3)已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解.
重点难点突破
一、怎样确定物体的运动轨迹
1.同一直线上的两个分运动(不含速率相等，方向相反的情形)的合成，其合运动一定是直线运动.
2.不在同一直线上的两分运动的合成.
(1)若两分运动为匀速运动，其合运动一定是匀速运动.
(2)若两分运动为初速度为零的匀变速直线运动，其合运动一定是初速度为零的匀变速直线运动.
(3)若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动(如平抛运动).
(4)若两分运动均为初速度不为零的匀加(减)速直线运动，其合运动不一定是匀加(减)速直线运动，如图甲、图乙所示.图甲情形为匀变速曲线运动；图乙情形为匀变速直线运动(匀减速情形图未画出)，此时有.
二、船过河问题的分析与求解方法
1.处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中船的运动)，船的实际运动是这两种运动的合运动.
2.对船过河的分析与讨论.
设河宽为d，船在静水中速度为v船，水的流速为v水.
(1)船过河的最短时间
如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意夹角θ，这时船速在垂直河岸方向的速度分量为v1＝v船sin θ，则过河时间为t＝，可以看出，d、v船一定时，t随sin θ增大而减小.当θ＝90°时，即船头与河岸垂直时，过河时间最短tmin＝，到达对岸时船沿水流方向的位移x＝v水tmin＝d.
(2)船过河的最短位移
①v船>v水
如上图所示，设船头斜指向上游，与河岸夹角为θ.当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位移最短，且最短位移为河宽d.此时有v船cos θ＝v水，即θ＝arccos.
②v船
l，所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间.
所以t＝s＝0.2 s
【思维提升】正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条件与平抛运动的规律.
描述圆周运动的物理量 匀速圆周运动
基础知识归纳
1.描述圆周运动的物理量
(1)线速度：是描述质点绕圆周 运动快慢 的物理量，某点线速度的方向即为该点 切线 方向，其大小的定义式为.
(2)角速度：是描述质点绕圆心 运动快慢 的物理量，其定义式为ω＝，国际单位为 rad/s .
(3)周期和频率：周期和频率都是描述圆周 运动快慢 的物理量，用周期和频率计算线速度的公式为，用周期和频率计算角速度的公式为.
(4)向心加速度：是描述质点线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度的方向指向圆心，其大小的定义式为或 a＝rω2 .
(5)向心力：向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其效果只改变线速度的 方向 ，而不改变线速度的 大小 ，其大小可表示为 或 F＝mω2r ，方向时刻与运动的方向 垂直 ，它是根据效果命名的力.
说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力.如果物体做匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力.
2.匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都 相等 .在相同的时间内物体与圆心的连线转过的角度都 相等 .
(2)特点：在匀速圆周运动中，线速度的大小 不变 ，线速度的方向时刻 改变 .所以匀速圆周运动是一种 变速 运动.做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的 合外力 提供的.
3.离心运动
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然 消失 或 力不足以 提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动.
(2)特点：
①当＝mrω2的情况，即物体所受合外力等于所需向心力时，物体做圆周运动.
②当mrω2的情况，即物体所受合外力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势.
重点难点突破
一、描述匀速圆周运动的物理量之间的关系
共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.
二、关于离心运动的问题
物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲线.半径不变时物体做圆周运动所需的向心力是与角速度的平方(或线速度的平方)成正比的.若物体的角速度增加了，而向心力没有相应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变，而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心.若物体所受的向心力突然消失，将沿着切线方向远离圆心而去.
三、圆周运动中向心力的来源分析
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是某些力的合力，或某力的分力.它是按力的作用效果来命名的.分析物体做圆周运动的动力学问题，应首先明确向心力的来源.需要指出的是：物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和).
典例精析
1.圆周运动各量之间的关系
【例1】小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度.他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度.经过骑行，他得到如下的数据：在时间t内踏脚板转动的圈数为N，那么踏脚板转动的角速度ω＝ ；要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有 ；自行车骑行速度的计算公式v＝ .
【解析】根据角速度的定义式得ω＝；要求自行车的骑行速度，还要知道自行车后轮的半径R，牙盘的半径r1、飞轮的半径r2、自行车后轮的半径R；由v1＝ωr1＝v2＝ω2r2，又ω2＝ω后，而v＝ω后R，以上各式联立解得v＝
【答案】；牙盘的齿轮数m、飞轮的齿轮数n、自行车后轮的半径R(牙盘的半径
r1、飞轮的半径r2、自行车后轮的半径R)；Rω或2πR（2πR或Rω)
【思维提升】在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系.同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比.
【拓展1】如图所示，O1为皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径.已知r2＝1.5r1，r3＝2r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是 3∶3∶4 ，角速度之比是 3∶2∶2 ，向心加速度之比是 9∶6∶8 ，周期之比是 2∶3∶3 .
【解析】由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故vA＝vB
又由于v＝ωr，则
由于B、C两轮固定在一起
所以ωB＝ωC
由v＝ωr知
所以有ωA∶ωB∶ωC＝3∶2∶2
vA∶vB∶vC＝3∶3∶4
由于vA＝vB，依a＝得
由于ωB＝ωC，依a＝ω2r得
aA∶aB∶aC＝9∶6∶8
再由T＝知TA∶TB∶TC＝∶∶＝2∶3∶3
2.离心运动问题
【例2】物体做离心运动时，运动轨迹( )
A.一定是直线 B.一定是曲线
C.可能是直线，也可能是曲线 D.可能是圆
【解析】一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的向心力突然消失时，物体将沿切线方向做直线运动，当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所需要的向心力小，物体做圆周运动的轨道半径会越来越大，物体的运动轨迹是曲线.
【答案】C
【思维提升】理解离心运动的特点是解决本题的前提.
【拓展2】质量为M＝1 000 kg的汽车，在半径为R＝25 m的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的0.4倍.为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安全行驶的速度范围.(取g＝10 m/s2)
【解析】汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有kMg≥M，代入数据可求得v≤10 m/s
易错门诊
3.圆周运动的向心力问题
【例3】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.
【错解】当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力Fm′指向圆心，则
Fm′＝mr ①
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即
Fm′＝μFN＝μmg ②
由①②式解得ωm＝
要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足0<ω<
【错因】A物随盘一起做匀速圆周运动的向心力是绳的拉力和A物所受的摩擦力的合力提供，而拉力的大小始终等于B物的重力.
【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F＋Fm′＝mr ①
由于B静止，故
F＝mg ②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即
Fm′＝μFN＝μmg ③
由①②③式解得ω1＝
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为
F－Fm′＝mr ④
由②③④式解得ω2＝要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足
≤ω≤
【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.
匀速圆周运动动力学问题及实例分析
基础知识归纳
1.圆周运动的动力学问题
做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，即F合＝F向，或F合＝＝ mω2r ＝.
2.竖直平面内的圆周运动中的临界问题
(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg＝m，这时的速度是做圆周运动的最小速度vmin＝.
(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 v≥0 .
①当v＝0时，杆对小球的支持力等于小球的重力；
②当0时，杆对小球提供 拉 力.
重点难点突破
一、圆周运动的动力学问题
解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解.
二、圆周运动的临界问题
圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题.
1.在竖直面内做圆周运动的物体
竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v临＝.绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.
竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v临＝0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.
2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题.
典例精析
1.圆周运动的动力学问题
【例1】质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时( )
A.向心加速度为 B.向心力为m(g＋)
C.对球壳的压力为 D.受到的摩擦力为μm(g＋)
【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位置的向心力，由牛顿第二定律有FN－mg＝，物体的向心加速度为，向心力为，物体对球壳的压力为m(g＋)，在沿速度方向，物体受滑动摩擦力，有F＝μFN＝μm(g＋)，综上所述，选项A、D正确.
【答案】AD
【思维提升】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力提供向心力，即F合＝F向，或
F合＝m＝mω2r＝m.这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律.
【拓展1】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.
弯道半径r(m)
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h(m)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值.
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)
【解析】(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C＝660×50×10－3 m＝33 m2，因此h•r＝33(或h＝)
当r＝440 m时，有h＝m＝0.075 m＝75 mm
(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图所示.
由牛顿第二定律得mgtan α＝m ①
因为α很小，有tan α＝sin α＝ ②
由①②可得v＝
代入数据解得v＝15 m/s＝54 km/h
2.圆周运动的临界问题
【例2】过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0 m、R2＝1.4 m.一个质量为m＝1.0 kg的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A点以v0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字.试求：
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；
(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离.
【解析】(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1，根据动能定理
－μmgL1－2mgR1＝ ①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
F＋mg＝m ②
由①②式解得F＝10.0 N ③
(2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v1，由题意知mg＝m ④
－μmg(L1＋L)－2mgR2＝ ⑤
由④⑤式解得L＝12.5 m ⑥
(3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
Ⅰ.轨道半径较小时，小球恰好能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
mg＝m ⑦
－μmg(L1＋2L)－2mgR3＝ ⑧
由⑥⑦⑧式解得R3＝0.4 m
Ⅱ.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理有
－μmg(L1＋2L)－2mgR3＝0－
解得R3＝1.0 m
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
(R2＋R3)2＝L2＋(R3－R2)2
解得R3＝27.9 m
综合Ⅰ、Ⅱ，要使球不脱离轨道，则第三个圆轨道半径需满足0，细杆为拉力，如果v<，细杆为推力，B对，D错.
【例3】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长l＝2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g＝10 m/s2)？
【解析】设两细绳都被拉直时，A、B绳的拉力分别为TA、TB，小球的质量为m，A绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，B绳与竖直方向的夹角为α＝45°，经受力分析，由牛顿第二定律得：
当B绳中恰无拉力时
FAsin θ＝mωlsin θ ①
FAcos θ＝mg ②
由①②式解得ω1＝rad/s
当A绳中恰无拉力时，FBsin α＝mωlBsin θ ③
FBcos α＝mg ④
由③④式解得ω2＝rad/s
所以，两绳始终有张力，角速度的范围是
rad/s<ω< rad/s
【思维提升】此类问题中，往往是两根绳子恰无拉力时为角速度出现极大值和极小值的临界条件，抓住临界条件、分析小球在临界位置的受力情况是解决此类问题的关键.
【拓展3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球(可视为质点)，小球以速率v
绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况.
【解析】(1)临界条件：小球刚好对锥面没有压力时的速率为v0，小球受重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则有F向＝mgtan 30° ＝m，解得v0＝
(2)当vv0时，小球离开锥面飘起来，设绳与轴线夹角为φ，则FTsins φ＝m
速度越大，绳与轴线夹角φ越大.
易错门诊
【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A球的质量为m1，B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是 .
【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有
N1＝m1 ①
B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有
N2＝m2 ②
因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有
m2g2R＋ ③
N1＝N2
由①②③式解得v0＝
【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N1＝N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功——受力分析不过关.
【正解】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示.A球在圆管最低点必受向上的弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1＝N2
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有
N1－m1g＝m1 ①
同理B球在最高点有m2g＋N2＝m2 ②
B球由最高点到最低点机械能守恒
2m2gR＋ ③
又N1＝N2
由①②③式解得v0＝
【思维提升】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题.找出其中的联系就能很好地解决问题.
万有引力定律及其应用
基础知识归纳
1.开普勒三定律
(1)第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上.
(2)第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
(3)第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.
在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动.
2.万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的 质量的乘积 成正比，跟他们之间的 距离的二次方 成反比.
(2)公式：F＝，其中G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，叫 引力常量 .
(3)适用条件：仅仅适用于 质点 或可以看做 质点 的物体.相距较远(相对于物体自身的尺寸)的物体和质量均匀分布的球体可以看做 质点 ，此时，式中的r指两 质点 间的距离或球心间的距离.
3.万有引力定律的应用
(1)由G得v＝，所以R越大，v越小；
(2)由G＝mω2R得ω＝，所以R越大，ω越小；
(3)由G＝mR得T＝，所以R越大，T越大；
(4)模型总结：
①当卫星稳定运行时，轨道半径R越大，v越 小 ；ω越 小 ；T越 大 ；万有引力越 小 ；向心加速度越 小 .
②同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度的大小均相等.
③这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用.
重点难点突破
一、万有引力与重力
1.重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力.通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力.引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看做是物体受到的地球引力与地面支持力的合力)如图所示.但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下(即指向地心).
2.天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的万有引力，所以有mg＝G，g＝
同样可以推得在天体表面上方h处重力加速度mg′＝G，g′＝
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因素影响，随纬度的增大而增大，随高度的增大而减小.
二、估算天体的质量和密度
把卫星(或行星)绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星(或行星)的引力作为它绕中心天体的向心力.根据G＝man＝m得M＝.因此，只需测出卫星(或行星)的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M.又由ρ＝，可以求出中心天体的密度.
典例精析
1.万有引力与重力
【例1】如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向：当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况下有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO
方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.
(1)设球形空腔体积为V，球心深度为d(远小于地球半径)，＝x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常；
(2)若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.
【解析】(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值.因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
G＝mΔg ①
来计算，式中m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，
M＝ρV ②
而r是球形空腔中心O到Q点的距离
r＝ ③
Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影.
Δg′＝Δg ④
联立①②③④式得
Δg′＝ ⑤
(2)由⑤式得，重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为(Δg′)max＝ ⑥
(Δg′)min＝ ⑦
由题设有
(Δg′)max＝kδ，(Δg′)min＝δ ⑧
联立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d＝ ⑨
V＝ ⑩
【思维提升】此题是万有引力定律实际应用的典型实例，求解的关键是综合题中所给信息，充分理解题意，采用补全法求重力加速度反常量值，并结合几何关系等求解空腔深度和体积.
【拓展1】火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( B )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
【解析】考查万有引力定律.星球表面重力等于万有引力，即G＝mg，故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝0.4，故B正确.
2.天体的质量与密度的计算
【例2】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5 min.已知月球半径是1 740 km，根据这些数据计算月球的平均密度.(G＝6.67×
10－11 N•m2/kg2)
【解析】根据牛顿第二定律有G
从上式中消去飞行器质量m后可解得
M＝＝ kg＝7.2×1022 kg
根据密度公式有
ρ＝＝＝ kg/m3＝3.26×103 kg/m3
【思维提升】要计算月球的平均密度，首先应求出月球的质量M.飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的.
【拓展2】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( D )
A.1.8×103 kg/m3 B.5.6×103 kg/m3 C.1.1×104 kg/m3 D.2.9×104 kg/m3
【解析】由ρ＝知该行星的密度是地球密度的5.32倍.对近地卫星有，再结合ρ＝，V＝πR3可解得地球的密度ρ＝＝5.6×103 kg/m3，故行星的密度ρ′＝5.32×ρ＝2.96×104 kg/m3，D正确.
易错门诊
3.万有引力定律的应用
【例3】从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB＝4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比.
【错解】卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为
F向＝mg＝m
设A、B两颗卫星的质量分别为mA、mB，则
mAg＝mA ①
mBg＝mB ②
由①②式解得，所以＝＝2
又T＝，所以＝·＝4×＝2
【错因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关.根据万有引力定律知
mAgA＝G ③
mBgB＝G ④
由③④式解得＝＝
所以gA＝gB
可见，在“错解”中把A、B两卫星的重力加速度gA、gB当做相同的g来处理是不对的.
【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
A：FA向＝G＝mA ⑤
B：FB向＝G＝mB ⑥
由⑤⑥式解得＝，所以＝＝
根据TA＝，TB＝可知＝·＝·＝8∶1
【思维提升】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量.但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的.
人造卫星 宇宙航行
基础知识归纳
1.三种宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)v1＝ 7.9 km/s，人造卫星的最小发射速度，人造卫星的 最大 环绕速度；
(2)第二宇宙速度(脱离速度)v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的 最小 发射速度；
(3)第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
2.天体运动模型——人造地球卫星
(1)处理方法：将卫星的运动视做 匀速 圆周运动.
(2)动力学特征：由 万有引力 提供向心力，且轨道平面的圆心必与地球的地心重合.
(3)基本规律：Gr＝ma
(4)重力加速度与向心加速度(不含随地球表面自转的向心加速度)的关系：
①因G≈F万＝F向，故g＝＝a向
②ar＝gr＝g(R为地球半径，r为轨道半径，g为地球表面的重力加速度)
(5)两种特殊卫星
①近地卫星：沿半径约为 地球半径 的轨道运行的地球卫星，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇宙速度.
②同步卫星：运行时相对地面静止，T＝24 h.同步卫星只有一条运行轨道，它一定位于赤道 正上方 ，且距离地面高度h≈3.6×104 km，运行时的速率v≈3.1 km/s.
(6)卫星系统中的超重和失重
①卫星进入轨道前的加速过程，卫星内的物体处于 超重 状态.
②卫星进入圆形轨道正常运行时，卫星内的物体处于 完全失重 状态.
③在回收卫星的过程中，卫星内的物体处于 失重 状态.
重点难点突破
一、同步卫星问题
同步卫星是指运行周期与地球自转周期相等的地球卫星.这里所说的“静止”是相对地球静止.同步卫星只能处于赤道平面上.如图所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分力Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动.这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步.因此同步卫星的周期等于地球自转的周期，是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的.
二、能量问题及变轨道问题
只在万有引力作用下卫星绕中心天体转动，机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能.离中心星体近时速度大，离中心星体远时速度小.
如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星变轨问题.
发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动.
三、星球的自转问题
根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同.放在地面上的物体随地球自转的向心加速度是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供.而环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供.对应的计算方法也不同.
典例精析
1.同步卫星问题
【例1】已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量M＝6.0×1024 kg，地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，第一宇宙速度v1＝7.9×103 km/s.若发射一颗地球同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
【解析】设同步卫星的质量为m，离地高度为h，速度为v，周期为T(等于地球自转周期).
解法一：G(R＋h)
解得h＝－R＝3.56×107 m
v＝＝3.1×103 km/s
解法二：若认为同步卫星在地面上的重力等于地球的万有引力，有mg＝G
G (R＋h)
联立方程解得h＝－R＝3.56×107 m
解法三：根据第一宇宙速度v1，有G＝
G(R＋h)
解得h＝－R＝3.56×107 m
【思维提升】根据万有引力提供向心力列式求解，是解决此类问题的基本思路.在本题中又可以用地面重力加速度、第一宇宙速度这些已知量做相应替换.
【拓展1】我国发射的“神舟”五号载人宇宙飞船的周期约为90 min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断正确的是( AD )
A.飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力
B.飞船的动能小于同步卫星的动能
C.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
D.发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量
【解析】同步卫星的运转周期为24 h，飞船的周期约为90 min.由F向＝M1
T＝ (设地球质量为M2)
那么T2＝
G、M都一定，那么T就和R有关，T相对大的，R相对大，那么同步卫星的R大.由
F向＝
那么R越大F向越小.
根据万有引力定律G＝得
v＝，Ek＝mv2＝
可见轨道半径小的，线速度大，动能大.
2.卫星运行规律的应用
【例2】2003年10月15日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过21小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回.已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆.椭圆的一个焦点是地球的球心，如图所示.飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A点沿箭头方向运行到B点的过程中，以下说法正确的是( )
①飞船的速度逐渐增大 ②飞船的速度逐渐减小
③飞船的机械能EA＝EB ④飞船的机械能EAF3 B.a1＝a2＝g>a3 C.v1＝v2＝v>v3 D.ω1＝ω3<ω2
【解析】放在地面上的物体随地球自转的向心加速度是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供.而环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供.对应的计算方法也不同.
设地球自转的角速度为ω，R为地球的半径，物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比
角速度ω1＝ω＝ω3
线速度v1＝Rωω3
因为v∝，所以v2>v3
因为F＝G，所以F2>F3
因为a＝，所以a2>a3
易错门诊
【例4】右图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
【错解】AC
【错因】没有清楚第三宇宙速度的含义.
【正解】第三宇宙速度是指卫星脱离太阳的吸引，进入太空的最小速度；在绕月轨道上，由万有引力定律和牛顿运动定律得，卫星受到月球的万有引力与它到月球球心的距离的平方成反比，卫星质量m会约掉，所以卫星的周期与卫星的质量无关；在绕月轨道上，卫星的加速度指向月球球心，由牛顿第二定律知月球对卫星的吸引力大于地球对卫星的吸引力.故只选C.
【答案】C
【思维提升】卫星绕地球表面或月球表面，做匀速圆周运动的轨道半径近似为地球、月球半径，且都是万有引力提供向心力.
实验：探究平抛运动的规律
基础知识归纳
1.实验目的
(1)用实验方法描出平抛物体的运动轨迹.
(2)从实验轨迹求平抛物体的初速度.
2.实验原理
平抛物体的运动可以看做是两个分运动的合运动：一是水平方向的 匀速直线运动 ，另一个是竖直方向的 自由落体运动 .令小球做平抛运动，利用描迹法描出小球的运动轨迹，即小球做平抛运动的曲线，建立坐标系，测出曲线上的某一点的坐标x和y，根据重力
加速度g的数值，利用公式y＝gt2，求出小球的 飞行时间t ，再利用公式 x＝vt ，求出小球的水平分速度，即为小球做平抛运动的初速度.
3.实验器材
斜槽，竖直固定在铁架台上的木板，白纸，图钉，小球，有孔的卡片，刻度尺，重垂线.
4.实验步骤
(1)安装、调整斜槽：用图钉把白纸钉在竖直板上，在木板的左上角固定斜槽，可用平衡法调整斜槽，即将小球轻放在斜槽平直部分的末端处，能使小球在平直轨道上的任意位置静止，就表明水平已调好.
(2)调整木板：用悬挂在槽口的重垂线把木板调整到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直面平行.然后把重垂线方向记录到钉在木板的白纸上，固定木板，使在重复实验的过程中，木板与斜槽的相对位置保持不变.
(3)确定坐标原点O：把小球放在槽口处，用铅笔记下球在槽口时球心在白纸上的水平投影点O，O点即为坐标原点.
(4)描绘运动轨迹：在木板的平面上用手按住卡片，使卡片上有孔的一面保持水平，调整卡片的位置，使从槽上滚下的小球正好穿过卡片的孔，而不擦碰孔的边缘，然后用铅笔在卡片缺口上点个黑点，这就在白纸上记下了小球穿过孔时球心所对应的位置.保证小球每次从槽上开始滚下的位置都相同，用同样的方法，可找出小球平抛轨迹上的一系列位置.取下白纸用平滑的曲线把这些位置连接起来即得小球做平抛运动的轨迹.
(5)计算初速度：以O点为原点画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴，并在曲线上选取A、B、C、D、E、F六个不同的点，用刻度尺和三角板测出它们的坐标x和y，用公式x＝v0t和y＝gt2计算出小球的初速度v0，最后计算出v0的平均值.
重点难点突破
一、“研究平抛运动”实验中应注意的事项
1.实验中必须保持通过斜槽末端点的切线水平，木板必须处在竖直面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，并使小球的运动靠近图板但不接触.
2.小球必须每次从斜槽上同一位置滚下，即在斜槽上固定一个挡板(不要用手放).
3.坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，小球的球心在木板上的水平投影点，即端点上r(小球半径)处.
4.要在斜轨上适当的高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨道由图板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差.
5.要在平抛轨道上选取距O点远些的点来计算球的初速度，这样可以使结果的误差较小.
二、“研究平抛运动”实验中的误差分析
1.安装斜槽时，其末端切线不平而产生误差.
2.建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点，实际上应以球的球心在木板上的水平投影点为坐标原点.
3.数据测量时，测量不准确而产生误差.
4.确定小球位置不准确而产生误差.
典例精析
1.实验步骤操作的规范性
【例1】下面是利用教材中的装置做“研究平抛物体的运动”的实验步骤，在这些实验步骤中有错误或不足，需要修改的是 ，将这些实验步骤按正确的顺序排列为 .
A.从斜槽上某一点释放小球，它离开槽后在空中做平抛运动.在小球运动轨迹的某处用带孔的卡片迎接小球，使小球恰好从孔中央通过而不碰到孔的边缘，然后在白纸上记下孔中央的位置；
B.以斜槽末端作为平抛运动的起点O，在白纸上标出O点的位置；
C.取下白纸，在纸上画出与竖直线Oy垂直的水平线Ox；
D.用光滑曲线把记录小球通过的位置的若干点连接起来，就得到了平抛运动的轨迹.由于确定各点位置时有误差，所画的曲线可不通过个别偏差大的点，但必须保证曲线光滑，不能有小范围的凸起和凹陷.
E.从斜槽上不同点释放小球，用步骤A的方法确定平抛轨迹上的其他点；
F.在曲线上取几个点(不必是步骤A、E中确定的点)，测出它们的坐标x、y，分别求出小球的初速度，最后算出平均值作为实验测出的平抛运动的初速度；
G.靠目测在纸上画出过O点向下的竖直线Oy；
H.将白纸用图钉钉在竖直的木板上，在木板上的左上角固定斜槽.
【解析】B中O点应是球心的位置而不应以斜槽末端为平抛起点；E中应让小球每次从斜槽上同一点释放；G中Oy不能靠目测，应由重垂线确定Oy轴；H中还应检验斜槽末端的切线是否水平.
【答案】B、E、G、H；H、G、B、A、E、C、D、F
【思维提升】理解实验中的步骤及应注意的地方是解本题的关键.
【拓展1】在做“研究平抛物体的运动”的实验中，让小球依次沿同一轨道运动，通过描点画出小球做平抛运动的轨迹，为了能够准确地描绘出运动的轨迹，下面列出了一些操作要求，你认为正确的选项有( ABCD )
A.通过调节，使斜槽的末端的切线保持水平
B.每次释放小球的位置必须相同
C.每次必须由静止释放小球
D.小球运动时不应与木板上的坐标纸相接触
E.记录小球位置用的凹槽每次必须严格地等距离下降
F.将球位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
2.实验数据的处理
【例2】在“研究平抛物体的运动”的实验中，
某同学记录了运动轨迹上三点A、B、C，如图所示，以A为坐标原点，建立坐标系，各点坐标值已在图中标出，求：
(1)小球平抛初速度大小；
(2)小球做平抛运动的初始位置坐标.
【解析】平抛运动中，在水平方向上，相同时间通过的水平分位移相等，竖直方向上，从抛出时刻开始算起，连续相等时间间隔的位移比为y1∶y2∶y3∶…＝1∶3∶5∶….连续相等时间间隔的位移差为一常数即Δy＝gT 2.利用平抛物体两分运动的这些特点，就可以求解已知平抛物体运动轨迹而确定初速度及抛出点坐标.
(1)由A、B、C三点横坐标知，小球从A点运动到B点和从B点运动到C点时间相等，设该时间为T，小球在竖直方向做自由落体运动，由Δy＝gT 2得
T＝s＝0.10 s
v0＝ m/s＝1.0 m/s
(2)由匀变速直线运动规律：一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度.物体经B点时的竖直分速度vBy＝m/s＝2.0 m/s
设从抛出点运动到B点所用时间为t，则
t＝s＝0.20 s
从抛出点运动到A点所用时间为
t1＝t－T＝(0.20－0.10) s＝0.10 s
在t1时间内小球的水平位移为
xA＝v0t1＝1.0×0.10 m＝0.10 m＝10 cm
竖直位移
yA＝＝×10×(0.10)2 m＝0.050 m＝5 cm
抛出点坐标为(－10 cm，－5 cm)
【答案】(1)1.0 m/s；(2)(－10 cm，－5 cm)
【思维提升】灵活运用运动学推论及平抛运动的特点是解本题的捷径.
【拓展2】某同学设计了一个研究平抛运动的实验装置，如图所示在水平桌面上放置一个斜面，让钢球从斜面上由静止滚下，钢球滚过桌边后便做平抛运动.在钢球抛出后经过的地方放置一块水平木板，木板由支架固定成水平，木板所在高度可通过竖直标尺读出，木板可以上下自由调节.在木板上固定一张白纸.该同学在完成装置后进行了如下步骤的实验：
A.实验前在白纸上画一条直线，并在线上标出a、b、c三点，且ab＝bc，如图.量出ab长度L＝20.00 cm
B.让钢球从斜面上的某一位置由静止滚下，调节木板高度，使得钢球正好击中a点，记下此时木板与桌面的高度差h1＝h
C.让钢球从斜面上的同一位置由静止滚下，调节木板高度，使得钢球正好击中b点，记下此时木板与桌面的高度差h2＝h＋10.00 cm
D.让钢球从斜面上的同一位置由静止滚下，调节木板高度，使得钢球正好击中c点，记下此时木板与桌面的高度差h3＝h＋30.00 cm
则该同学由上述测量结果即可粗测出钢球的平抛初速度大小v0＝ 2.0 m/s，钢球击中b点时其竖直分速度大小为vby＝ 1.5 m/s.(已知重力加速度为g＝10 m/s2，空气阻力不计).
3.实验原理分析
【例3】如图所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由同一点出发的小球.AA′为A球在光滑水平面上以速度v运动的轨迹；BB′为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹；CC′为C球自由下落的运动轨迹.通过分析上述三条轨迹可得出结论： .
【解析】仔细观察照片可以发现，B、C两球在任一曝光瞬间的位置总在同一水平线上，说明平抛运动物体B在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相同；而A、B两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上，说明平抛运动物体B在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同.所以，做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动.
【思维提升】本例题提供了探究平抛运动的特点的另一方法，简明且较准确，但需要一定的设备，如有条件，不妨一试.
【拓展3】如图所示，在研究平抛运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端(末端水平)时撞开接触开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两个小球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后( C )
A.水平方向的分运动是匀速直线运动
B.水平方向的分运动是匀加速直线运动
C.竖直方向的分运动是自由落体运动
D.竖直方向的分运动是匀速直线运动
【解析】A球平抛的同时B球自由下落，且两球在同一高度上，又两球总是同时落地，这只能说明A球在抛出后竖直方向的分运动是自由落体运动，但并不能说明A球的水平分运动是匀速直线运动.
单元综合提升
知识网络构建
经典方法指导
本章内容可理解为牛顿运动定律在曲线运动中的应用.复习过程中要注意以下几种方法.
1.在研究复杂的曲线运动时，要有将运动合成与分解的意识.除了将复杂的曲线运动分解成相互垂直的直线分运动外，还可以将分运动合成为物体发生的实际运动.同时，还应深刻体会运动的独立性原理，理解分运动与合运动的等时性、等效性及满足平行四边形定则的特点.
2.平抛运动与类平抛运动的处理方法
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，其中，运动时间与合速度与水平方向的夹角是联系合运动与分运动的桥梁，当涉及位移时，
要扣住时间，涉及速度时应扣住角度.
3.处理匀速圆周运动的运动学问题的方法
除了熟记描述物理量间的公式关系外，还应注意：两个重要的结论：即不打滑的皮带传动时，两轮上与皮带接触的各点线速度大小相等；同一转轮上的各点的角速度大小相同；利用t＝可计算匀速圆周运动的运动时间；圆周追及问题可通过巧换参考系进行计算.
4.处理圆周运动的动力学问题的方法
匀速圆周运动满足物体的合外力等于向心力的动力学特征，关系式F合＝m＝mω2r＝mr是处理匀速圆周运动的动力学问题的关键规律，其中，分析向心力的来源和大小与确定圆周半径是难点，应引起重视.
变速圆周运动只在特殊位置才满足物体的合外力等于向心力的关系，如竖直平面内的圆周运动问题，只有最高点与最低点才满足此关系.同时，竖直平面内的圆周运动最高点存在速度的临界值，对轻绳模型：小球能到达最高点的最小速度vmin＝.对轻杆模型：小球能到达最高点的条件是v≥0.
5.解答天体运动问题的思路与方法
中学阶段研究的天体运动大都将天体的正常运动视为匀速圆周运动，解决这类问题的轨迹规律是：G＝mω2r=＝ma，同时还有下列内容值得高度重视：一个模型(天体运动的模型)、两个加速度相等(重力加速度与向心加速度)、三个力相等(万有引力、向心力、重力)、四个问题(卫星系统内的完全失重、同步卫星与近地卫星、轨道变换、卫星回收).
高考真题赏析
【例1】如图所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离s＝100 m，子弹射出的水平速度v＝200 m/s，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，取重力加速度g为10 m/s2，求：
(1)从子弹由枪口射出开始计时，经多长时间子弹击中目标靶？
(2)目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h为多少？
【考点】平抛运动的特点.
【解析】(1)子弹做平抛运动，它在水平方向的分运动是匀速直线运动，设子弹经t时间击中目标靶，则
t＝
代入数据得t＝0.5 s
(2)目标靶做自由落体运动，则h＝gt2
代入数据得h＝1.25 m
【思维提升】抓住平抛运动在水平方向和竖直方向互不影响的特点，此题就迎刃而解了.
【例2】某校物理兴趣小组决定进行遥控赛车比赛.比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进行半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟.已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计.图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，s＝1.50 m.问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)
【考点】机械能守恒与抛体运动及圆周运动的综合运用.
【解析】设赛车越过濠沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律有s＝v1t
h＝gt2
解得v1＝s＝3 m/s
设赛车恰好能越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿运动定律及机械能守恒定律得mg＝m
mv＝mv＋mg•2R
解得v3＝＝4 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4 m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能原理有
Pt－fL＝mv由此可得
t≈2.53 s
【思维提升】灵活选取适当的公式，分步解答，将本题分解为几个步骤，解题就变得简单了.
高考真题选编
1.在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力.下列描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的图象，可能正确的是( B )
【解析】跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变且方向竖直向下，还受到空气阻力，其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小.在水平方向上，运动员受到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动.在竖直方向上运动员在重力与空气阻力的共同作用下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动.由以上分析结合v-t图象的性质可知只有B选项正确.
2.船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( C )
【解析】为使船行驶到正对岸，v1、v2的合速度应指向正对岸，所以C正确.
3.滑雪运动员以20 m/s的速度从一平台水平飞出，落地点与飞出点的高度差为3.2 m.不计空气阻力，g取10 m/s2.运动员飞过的水平距离为s，所用时间为t，则下列结果正确的是( B )
A.s＝16 m，t＝0.5 s B.s＝16 m，t＝0.8 s
C.s＝20 m，t＝0.5 s D.s＝20 m，t＝0.8 s
【解析】平抛运动在竖直方向是自由落体运动h＝gt2，t＝＝0.8 s，水平方向是匀速直线运动s＝v0t＝16 m
4.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为( B )
A.0.2 B.2 C.20 D.200
【解析】设太阳到地球的距离为R，地球到月球的距离为r，太阳、地球和月球质量分别为ms、me和m.由万有引力定律可知太阳对月球的万有引力F1＝(太阳到月球距离近似等于太阳到地球距离)，地球对月球的万有引力F2＝.两式联立得.若地球和月球的公转均看做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得，对地球：，
Te为地球公转周期365天，对月球：G，Tm为月球公转周期27天.联立得，故有≈2
5. 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法正确的是( D )
A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的加速度一定比乙的大
【解析】万有引力提供碎片做圆周运动的向心力，可得v＝，T＝2π，故A、B均错.根据加速度公式a＝可知甲的加速度较大，所以D正确.因甲、乙碎片质量未知，不能确定甲、乙向心力的大小关系，所以C错误.
6.一颗恒星的寿命取决于它的质量，其关系如图所示.根据图中信息可以判断( C )
①质量大的恒星寿命较短
②质量小的恒星寿命较短
③太阳的寿命约为10亿年
④太阳的寿命约为100亿年
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【解析】由图象信息可知，质量大的恒量寿命较短.横坐标为1时对应的时间为10×10亿年，故选C.
7.2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟.下列判断正确的是( BC )
A.飞船变轨前后的机械能相等
B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
【解析】飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确.飞船在圆轨道上时万有引力提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确.飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据T＝可知，飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度，C正确.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也只有万有引力提供加速度，所以相等，D不正确.
