北京高考数学文史类解析几何专项练习

北京高考数学文史类解析几何专项练习

‎2011年北京高考数学（文史类） 解析几何专项练习 ‎ 密云二中 杨昊松 第一部分 北京各城区模拟 ‎1.（10年海淀文科，14）‎ 已知圆C经过点，且圆心在直线上，且，又直线与圆Ｃ相交于、两点.‎ ‎（I）求圆Ｃ的方程；‎ ‎（II）若，求实数的值；‎ ‎（III）过点作直线与垂直，且直线与圆Ｃ交于两点,求四边形面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2．（11年西城文科，14）‎ 已知椭圆 ()的一个焦点坐标为,且长轴长是短轴长的倍.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设为坐标原点,椭圆与直线相交于两个不同的点,线段的中点为,若直线的斜率为,求△的面积.‎ ‎3．（11年东城文科，14）‎ 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，若以为直径的圆过原点，求直线方程．‎ 附3．（11年东城理科，13）‎ ‎ 设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上。‎ ‎ （I）求椭圆的方程；‎ ‎ （II）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于A的点 M，证明：为锐角三角形。‎ 第二部分 北京卷三年高考 ‎4．（08年，14）已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．‎ ‎5．（09年，13）‎ 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值. ‎ ‎6．（11年，14）‎ 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；‎ ‎（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值。‎ 第三部分 各地高考精选 ‎7．（10年，天津卷，14）‎ 已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程：‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)‎ 在线段的垂直平分线上，且=4。求的值 ‎8．（10年课表卷，14）‎ 设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。‎ ‎（Ⅰ）求 ‎（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。‎ ‎9.（10年山东卷，14）‎ 如图，已知椭圆（a>b>0）过点（1，），离心率为 ，左右焦点分别为F1,F2.点P为直线L：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D。‎ O为坐标原点。‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设直线PF1、PF2斜率分别为k1、k2.‎ ‎ (ⅰ）  证明：1/k1-3/k3=2;‎ ‎ （ⅱ )问直线上是否存在一点，使直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA, kOB, kOC, kOD满足kOA+k OB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，说明理由。‎ 答案：‎ ‎1．解：(I)设圆心半径为. 因为圆经过点 ‎ 所以，解得 ， …………………2分 ‎ 所以圆的方程是 . …………………4分 ‎ (II)方法一：‎ 因为, …………………6分 ‎ 所以, , …………………7分 所以圆心到直线的距离, …………………8分 ‎ 又，所以. …………………9分 ‎ 方法二：设,‎ 因为，代入消元得. …………………6分 由题意得： …………………7分 因为=， ‎ ‎ 又,‎ 所以, =, …………………8分 化简得: ，‎ 所以 即. …………………9分 ‎(III)方法一：‎ 设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为. ‎ 因为直线都经过点，且，‎ 根据勾股定理，有, …………………10分 又根据垂径定理和勾股定理得到，,‎ ‎ ………………11分 而，即 ‎…………13分 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. ………………14分 方法二：设四边形的面积为.‎ 当直线的斜率时，则的斜率不存在，‎ 此时. …………………10分 当直线的斜率时，‎ 设则 ，代入消元得 所以 同理得到.‎ ‎ ………………11分 ‎ ………………12分 因为，‎ 所以 , ………………13分 当且仅当时，等号成立,所以的最大值为. ………………14分 ‎2．解:(Ⅰ)由已知, . ‎ 故曲线在处切线的斜率为 ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎①当时,由于,故, ‎ 所以,的单调递增区间为 ‎ ‎②当时,由,得. ‎ 在区间上,,在区间上, ‎ 所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. ‎ ‎(Ⅲ)由已知,转化为 ‎ ‎ ‎ 由(Ⅱ)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意. ‎ ‎(或者举出反例:存在,故不符合题意.) ‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减, ‎ 故的极大值即为最大值,, ‎ 所以, ‎ 解得 ‎ ‎3．解：（Ⅰ）由题意：，．‎ 所求椭圆方程为．‎ 又点在椭圆上，可得．‎ 所求椭圆方程为． ……………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以，椭圆右焦点为．‎ 因为以为直径的圆过原点，所以．‎ 若直线的斜率不存在，则直线的方程为．‎ 直线交椭圆于两点，‎ ‎ ，不合题意．‎ 若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为．‎ 由可得．‎ 由于直线过椭圆右焦点，可知．‎ 设，‎ 则，‎ ‎．‎ 所以．‎ 由，即，可得．‎ 所以直线方程为． ……………………14分 ‎4. 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．‎ 由 得．‎ 所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，‎ 所以．‎ 又因为的长等于点到直线的距离，即．‎ 所以．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ ‎5．（Ⅰ）由题意，得，解得， ‎ ‎ ∴，∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，‎ ‎ 由得（判别式）,‎ ‎ ∴,‎ ‎∵点在圆上， ‎ ‎∴，∴.‎ ‎6．（Ⅰ）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆P的半径为 解得 所以点P的坐标是（0，）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以 设，则 当，即，且，取最大值2.‎ ‎7．（1）解：由，得，再由，得 由题意可知， ‎ 解方程组 得 a=2,b=1‎ 所以椭圆的方程为 ‎(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),‎ 于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理，得 由得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ‎（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得 由 整理得 综上。‎ ‎8．解：‎ ‎ （1）由椭圆定义知 ‎ 又 ‎ （2）L的方程式为y=x+c,其中 ‎ 设,则A，B 两点坐标满足方程组 ‎ ‎ ‎ 化简得 则 因为直线AB的斜率为1，所以 ‎ 即 .‎ 则 解得 . ‎ ‎9．（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1，），e=，‎ ‎ 所以，.‎ 又a2=b2+c2，‎ 所以 故 所求椭圆方程为 .‎