高考数学平面解析几何时直线与圆锥曲线的综合应用更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章　平面解析几何第10课时　直线与圆锥曲线的综合应用 ‎1. 直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．‎ 答案：相交 解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．‎ ‎2. 椭圆＋＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________．‎ 答案：20‎ 解析：△PQF2的周长＝4a＝20.‎ ‎3. 已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是____________．‎ 答案：4x－y－7＝0‎ 解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．‎ ‎4. 若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．‎ 答案： 解析：由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－、，所以由＝得2b2＝ac＝2(a2－‎ c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝或e＝－(负根舍去)．‎ ‎5. 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．‎ 答案：－＝1‎ 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.‎ ‎1. 直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：‎ Δ>0直线与圆锥曲线相交；‎ Δ＝0直线与圆锥曲线相切；‎ Δ<0直线与圆锥曲线相离．‎ 若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．‎ ‎2. 圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长AB＝|x1－x2|或|y1－y2|.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题 例1　已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且＝－2.‎ ‎(1) 若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程；‎ ‎(2) 若a＝b＝1，求直线AB的方程．‎ 解：(1) 设A(x0，y0)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以＝，＝(x0－，y0)．‎ 由于＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)，所以即A(，－1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得解得 所以曲线E的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2) 当a＝b＝1时，曲线E为圆x2＋y2＝1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．又＝－2，‎ 所以＝－2(x1－，y1)，‎ 即有x＋y＝1 ①，x＋y＝1 ②，由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3，所以 ‎2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0.由x1＝，得y1＝±.当A时，B(0，－1)，此时kAB＝－，直线AB的方程为y＝－x＋1；‎ 当A时，B(0，1)，此时kAB＝，直线AB的方程为y＝x－1.‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若＝3，则k＝________．‎ 答案： 解析：定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程＋＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．‎ 由已知e＝＝＝，所以a＝2b，‎ 所以a＝c，b＝.‎ 椭圆方程＋＝1变为x2＋3y2＝c2.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又＝3，‎ 所以(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，‎ 所以所以 x ＋ 3y ＝ c2，①‎ x ＋ 3y ＝ c2，②‎ ‎①－9×②，得(x1＋3x2)(x1－3x2)＋3(y1＋3y2)(y1－3y2)＝－8c2，所以×4c(x1－3x2)＝－8c2，‎ 所以 x1－3x2＝－c，所以x1＝c，x2＝c.‎ 从而y1＝－c，y2＝c，‎ 所以A，B，故k＝.‎ 题型2　有关垂直的问题 例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.‎ ‎(1) 若直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎(3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.‎ ‎(1) 解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.‎ ‎(2) 解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.‎ ‎(3) 证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.‎ 因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.‎ 如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M.是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：(1) 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得∴∴b＝ ‎.‎ 所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.‎ ‎(2) 由＝e＝，得PF＝PM.∴PF≠PM.‎ ‎①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．‎ ‎②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2.又由＋＝1，得y2＝3－x2.∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，‎ ‎∴x2－8x＋4＝0.∴7x2－32x＋16＝0.∴x＝或x＝4.‎ ‎∵x∈(－2，2)，∴x＝.∴P.综上，存在点P，使得△PFM为等腰三角形．‎ 题型3　直线与圆锥曲线 例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.‎ ‎(1) 设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；‎ ‎(2) 设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；‎ ‎(3) 设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．‎ ‎(1) 解：设点P(x，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，化简得x＝，故所求点P的轨迹为直线x＝.‎ ‎(2) 解：将x1＝2，x2＝分别代入椭圆方程，以及y1>0，y2<0得M、N.直线MTA的方程为＝，即y＝x＋1.直线NTB的方程为＝，即y＝x－.联立方程组，解得所以点T的坐标为.‎ ‎(3) 证明：点T的坐标为(9，m)，直线MTA的方程为＝，即y＝(x＋3)．直线NTB的方程为＝，即y＝(x－3)．‎ 分别与椭圆＋＝1联立方程组，同时考虑到x1≠－3，x2≠3，解得M、N(，－)．‎ ‎(证法1)当x1≠x2时，直线MN的方程为＝，令y＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x1＝x2时，直线MN的方程为x＝1，‎ 与x轴交点为D(1，0)，所以直线MN必过x轴上的一定点D(1，0)．‎ ‎(证法2)若x1＝x2，则由＝及m>0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，‎ 过点D(1，0)．若x1≠x2，则m≠2.‎ 直线MD的斜率kMD＝＝，‎ 直线ND的斜率kND＝＝，‎ 得kMD＝kND，所以直线MN过D点．‎ 因此，直线MN必过x轴上的点D(1，0)．‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 当△AMN的面积为时，求k的值．‎ 解：(1) 由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2) 由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以MN＝ ‎＝ ‎＝.‎ 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝MN·d＝.由＝，解得k＝±1.‎ ‎【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)‎ 已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．‎ 学生错解：解：(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，‎ 由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，‎ ‎△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|＝2|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．‎ 审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；‎ ‎(2) △F1AB面积的表示．‎ 规范解答： 解：(1) 依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，(4分)‎ ‎∴ 双曲线的方程为x2－＝1.(6分)‎ ‎(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，‎ 由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)‎ k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分)‎ ‎△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝2|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，(14分)‎ 所以直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)‎ 错因分析： 解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±这一条件．‎ ‎1. 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ 答案：[－1，1]‎ 解析：易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2，0)，于是，可设过点Q(－2，0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，联立k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，可解得－1≤k≤1.‎ ‎2. 如图，过抛物线C：y2＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1) 求y1＋y2的值；‎ ‎(2) 若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1) 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y2＝4x上，所以A，B，k PA＝＝＝，同理kPB＝，依题意有kPA＝－kPB，因为＝－，所以y1＋y2＝4.‎ ‎(2) 由(1)知kAB＝＝1，设AB的方程为y－y1＝x－，即x－y＋y1－＝0，P到AB的距离为d＝，AB＝·＝|y1－y2|＝2|2－y1|，所以S△PAB＝××2|2－y1|＝|y－4y1－12||y1－2|＝|(y1－2)2－16|·|y1－2|，令y1－2＝t，由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，可知－2≤t≤2.S△PAB＝|t3－16t|，因为S△PAB＝|t3－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)＝|t3－16t|＝16t－t3，f′(t)＝16－3t2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S△PAB的最大值为6.‎ ‎3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)2＋y2＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.‎ ‎(1) 求点B的轨迹方程；‎ ‎(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；‎ ‎(3) 若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ 解：(1) 连结BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，‎ 所以点B的轨迹是以C、F为焦点，长轴为4的椭圆，所以B点的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，因为D是线段EF的中点，O为线段CF的中点，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．‎ 因为PQ是线段EF的垂直平分线，所以直线PQ的方程为y＝x＋2，即直线PQ的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎(3) 设点E、G的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则点M的坐标为，因为点E、G均在圆C上，且FG⊥FE，所以(x1＋1)2＋y＝16，①　(x2＋1)2＋y＝16，②‎ ‎(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，③‎ 所以x＋y＝15－2x1，x＋y＝15－2x2，x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1.所以MO2＝[(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝·[(x＋y)＋(x＋y)＋2(x1x2＋y1y2)]＝[15－2x1＋15－2x2＋2(x1＋x2－1)]＝7，即M点到坐标原点O的距离为定值，且定值为.‎ ‎4. 给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是 的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆C和其“准圆”的方程；‎ ‎(2) 若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；‎ ‎(3) 在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．‎ 解：(1) 由题意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1，其“准圆”方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2) 由题意，可设B(m，n)，D(m，－n)(－0)，则ON的方程为y＝－x(k>0)．联立方程组解得 M.同理可得N.‎ 因为点N到直线OM的距离为d＝，OM＝＝2，所以△OMN的面积S＝d·OM＝··2＝1，故△OMN的面积为定值．‎ ‎1. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．‎ 答案： 解析：依题意得，c＋＝×2c，即b＝c(其中c是双曲线的半焦距)，a＝＝c，则＝，因此该双曲线的离心率等于.‎ ‎2. 如图，设E：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求证：△PF1F2的面积S＝b2tanθ.‎ 证明：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则S＝r1r2sin2θ.‎ 又|F1F2|＝2c，‎ 由余弦定理有(2c)2＝r＋r－2r1r2cos2θ＝(r1＋r2)2－2r1r2－2r1r2cos2θ＝(2a)2－2r1r2(1＋cos2θ)，‎ 于是2r1r2(1＋cos2θ)＝4a2－4c2＝4b2.‎ 所以r1r2＝.‎ 这样即有S＝·sin2θ＝b2＝b2tanθ.‎ ‎3. 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A、B.‎ ‎(1) 若AB＝，求k的值；‎ ‎(2) 求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.‎ ‎(1) 解：由题意知＝，b＝1.‎ 由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，‎ ‎∴ 椭圆的方程为＋y2＝1.‎ 由得(2k2＋1)x2－kx－＝0.‎ Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋＞0恒成立，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－.‎ ‎∴ AB＝·|x1－x2|＝·＝＝，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.‎ ‎(2) 证明：∵ ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ‎∴ ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－·k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0.‎ ‎∴ 不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.‎ ‎4. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，‎ 过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.‎ ‎(1) 求椭圆方程；‎ ‎(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；‎ ‎(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．‎ 解：(1) ∵ e＝ 不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵ P在椭圆上，∴ ＋＝1解得k＝1，∴ 椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2) kAP＝＝－ , 则直线AP的方程为y＝－x＋4，‎ 令y＝t ，则x＝ ∴ M.∵ Q(0，t)∴ N ‎， ‎ ‎∵ 圆N与x轴相切，∴ ＝t ，由题意M为第一象限的点，则＝t，解得t＝.∴ N，圆N的方程为＋＝.‎ ‎(3) F(3，0)，kPF＝，∴ 直线PF的方程为y＝(x－3)即12x－5y－36＝0，‎ ‎∴ 点N到直线PF的距离为＝＝，‎ ‎∴ d＝＋(4－t)，∵ 0

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