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文档介绍
湖南省十三校联考高考数学二模试卷文科解析
2016年湖南省十三校联考高考数学二模试卷(文科) 一、选择题 1.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则a+b的值是( ) A.2B.﹣2C.3D.﹣3 2.集合A={y∈R|y=lgx,x>1},B={﹣2,﹣1,2}则下列结论正确的是( ) A.A∩B={﹣2,﹣1}B.(CUA)∪B=(﹣∞,0)C.A∪B=(0,+∞)D.(CUA)∩B={﹣2,﹣1} 3.已知命题p:∀x>0,x+≥4:命题q:∃x0∈R+,2x0=,则下列判断正确的是( ) A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(¬q)是真命题D.(¬p)∧q是真命题 4.已知函数f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin(ωx+)和图象,只要将y=f(x)的图象( ) A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度 5.下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( ) A.f(x)=sinxB.f(x)=﹣|x+1| C.f(x)=D.f(x)=ln 6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题: (1)α∥β⇒l⊥m,(2)α⊥β⇒l∥m, (3)l∥m⇒α⊥β,(4)l⊥m⇒α∥β, 其中正确命题是( ) A.(1)与(2)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(3)与(4) 7.执行如图的程序框图,若输出,则输入p=( ) A.6B.7C.8D.9 8.如图,一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形,则其体积是( ) A. B. C. D. 9.若实数x,y满足|x﹣2|≤y≤a,(a∈(0,+∞)),且z=2x+y的最大值为10,则a的值为( ) A.1B.2C.3D.4 10.△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且,则的值为( ) A. B. C. D. 11.已如点M(1,0)及双曲线的右支上两动点A,B,当∠AMB最大时,它的余弦值为( ) A.﹣B. C.﹣D. 12.已知函数f(x)=ex﹣1+x﹣2(e为自然对数的底数),g(x)=x2﹣ax﹣a+3,若存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1﹣x2|≤1,则实数a的取值范围是( ) A.[2,3]B.[1,2]C.[2,]D.[,3] 二、填空题 13.某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 ﹣1 杯数 14 24 28 54 由表中数据算得线性回归方程=bx+a中的b≈﹣2,预测当气温为﹣5℃时,热茶销售量为 杯. 14.设函数f(x)满足,则f(2)= . 15.在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,三边a、b、c成等差数列,且B=,则(cosA一cosC)2的值为 . 16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y﹣4)2=4,点A是x轴上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围为 . 三、解答题 17.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an(n≥2,n∈N*). (I)求a2,a3及{an}的通项公式; (Ⅱ)记bn=an+,cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 18.某单位开展岗前培训.期间,甲、乙2人参加了5次考试,成绩统计如下: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 82 82 79 95 87 乙的成绩 95 75 80 90 85 (Ⅰ)根据有关统计知识,回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗,你认为选谁合适,请说明理由; (Ⅱ)根据有关概率知识,解答以下问题: ①从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个,设抽到甲的成绩为x,抽到乙的成绩为y.用A表示满足条件|x﹣y|≤2的事件,求事件A的概率; ②若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率. 19.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. (Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小; (Ⅱ)求点B到平面OCD的距离. 20.已知曲线C1: +=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1的内切圆半径为,记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆. (1)求椭圆C2的标准方程; (2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,M是椭圆上一点,且满足(+)•=0,求△AMB的面积的最小值. 21.已知函数f(x)=ax2﹣lnx. (I)讨论函数f(x)单调性; (Ⅱ)当时,证明:曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t))处的切线至少有两个不同的公共点. [选修4-4:几何证明选讲] 22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是的中点,BD交AC于点E. (1)求证:CD2﹣DE2=AE•EC; (2)若CD的长等于⊙O的半径,求∠ACD的大小. [选修4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.选修4﹣4:坐标系与参数方程. 极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的参数方程为(t为参数,0≤α<π),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ﹣与曲线C1交于(不包括极点O)三点A、B、C. (I)求证:|OB|+|OC|=|OA|; (Ⅱ)当φ=时,B,C两点在曲线C2上,求m与α的值. [选修4-5:不等式选讲] 24.设函数f (x)=|x﹣a|+3x,其中a≠0. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f (x)≤0的解集包含{x|x≤﹣1},求a的取值范围. 2016年湖南省十三校联考高考数学二模试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题 1.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则a+b的值是( ) A.2B.﹣2C.3D.﹣3 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】解:∵a+bi====﹣1+3i, ∴a=﹣1,b=3, ∴a+b=2. 故选:A. 2.集合A={y∈R|y=lgx,x>1},B={﹣2,﹣1,2}则下列结论正确的是( ) A.A∩B={﹣2,﹣1}B.(CUA)∪B=(﹣∞,0)C.A∪B=(0,+∞)D.(CUA)∩B={﹣2,﹣1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】集合A为对数函数的值域,解出后对照选项逐一验证. 【解答】解:依题意,A={y|y>0},∵B={﹣2,﹣1,2}, 所以A∩B={﹣2,﹣1}={2},A错,A∪B=(0,+∞)∪={﹣2,﹣1},B错, (CUA)∪B═{﹣2,﹣1},C错, 故选D 3.已知命题p:∀x>0,x+≥4:命题q:∃x0∈R+,2x0=,则下列判断正确的是( ) A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(¬q)是真命题D.(¬p)∧q是真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用基本不等式求最值判断命题p的真假,由指数函数的值域判断命题q的真假,然后结合复合命题的真值表加以判断. 【解答】解:当x>0,x+≥,当且仅当x=2时等号成立, ∴命题p为真命题,¬P为假命题; 当x>0时,2x>1, ∴命题q:∃x0∈R+,2x0=为假命题,则¬q为真命题. ∴p∧(¬q)是真命题,(¬p)∧q是假命题. 故选:C. 4.已知函数f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin(ωx+)和图象,只要将y=f(x)的图象( ) A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度 【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由函数的周期性求得ω=2,可得f(x)=sin2x,再根据根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:由于函数f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π, 故有 =π,∴ω=2, ∴f(x)=sin2x, 根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,为了得到函数g(x)=sin(2x+)=sin2(x+)的图象, 只要将y=f(x)的图象向左平移个单位长度即可, 故选:A. 5.下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( ) A.f(x)=sinxB.f(x)=﹣|x+1| C.f(x)=D.f(x)=ln 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论. 【解答】解:函数f(x)=sinx,是奇函数,在[﹣1,1]上单调递增,不满足条件. 函数f(x)=﹣|x+1|不是奇函数,不满足条件, 函数f(x)=是偶函数,不满足条件, 故选:D 6.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题: (1)α∥β⇒l⊥m,(2)α⊥β⇒l∥m, (3)l∥m⇒α⊥β,(4)l⊥m⇒α∥β, 其中正确命题是( ) A.(1)与(2)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(3)与(4) 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据已知直线l⊥平面α,直线m⊂ 平面β,结合α∥β结合线面垂直的定义及判定,易判断(1)的真假;结合α⊥β,结合空间直线与直线关系的定义,我们易判断(2)的对错;结合l∥m,根据线面垂直的判定方法及面面平行的判定定理,易判断(3)的正误;再根据l⊥m结合空间两个平面之间的位置关系,易得到(4)的真假,进而得到答案. 【解答】解:∵直线l⊥平面α,α∥β,∴l⊥平面β,又∵直线m⊂平面β,∴l⊥m,故(1)正确; ∵直线l⊥平面α,α⊥β,∴l∥平面β,或l⊂平面β,又∵直线m⊂平面β,∴l与m可能平行也可能相交,还可以异面,故(2)错误; ∵直线l⊥平面α,l∥m,∴m⊥α,∵直线m⊂平面β,∴α⊥β,故(3)正确; ∵直线l⊥平面α,l⊥m,∴m∥α或m⊂α,又∵直线m⊂平面β,则α与β可能平行也可能相交,故(4)错误; 故选B. 7.执行如图的程序框图,若输出,则输入p=( ) A.6B.7C.8D.9 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,可得.解得n的值为7,退出循环的条件为7<p不成立,从而可得p的值. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得. 解得:n=7. 故当p=7时,n=7<p,不成立,退出循环,输出S的值为. 故选:B. 8.如图,一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长2的正三角形和正方形,则其体积是( ) A. B. C. D. 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据主视图、俯视图,可得简单几何体的直观图是底面边长为2,高为的正四棱锥,利用体积公式可得结论. 【解答】解:由主视图可知,三棱锥的高为,结合俯视图可得简单几何体的直观图是底面边长为2,高为的正四棱锥 ∴体积为= 故选C. 9.若实数x,y满足|x﹣2|≤y≤a,(a∈(0,+∞)),且z=2x+y的最大值为10,则a的值为( ) A.1B.2C.3D.4 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件|x﹣2|≤y≤a作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数后求得a的值. 【解答】解:由|x﹣2|≤y≤a,作出可行域如图, 联立,解得A(a+2,a), 化z=2x+y为y=﹣2x+z. 由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,z有最大值, 此时2(a+2)+a=10,解得:a=2. 故选:B. 10.△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且,则的值为( ) A. B. C. D. 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】将已知等式中的移到等式的一边,将等式平方求出;将利用向量的运算法则用,利用运算法则展开,求出值. 【解答】解:∵ ∴ ∴= ∵A,B,C在圆上 ∴OA=OB=OC=1 ∴ ∴ = = 故选A. 11.已如点M(1,0)及双曲线的右支上两动点A,B,当∠AMB最大时,它的余弦值为( ) A.﹣B. C.﹣D. 【考点】双曲线的简单性质;余弦定理. 【分析】根据题意,当直线MA、MB分别与双曲线相切于点A、B时,可得∠AMB取得最大值.因此设直线AM方程为y=k(x﹣1),与双曲线联解并利用根的判别式,解出k=.设直线AM倾斜角为θ,得∠AMB=2θ且tanθ=,最后利用二倍角的三角函数公式,即可算出∠AMB达到最大值时∠AMB的余弦值. 【解答】解:根据题意,当直线MA与双曲线相切于点A,直线MB与双曲线相切于点B时, ∠AMB取得最大值. 设直线AM方程为y=k(x﹣1),与双曲线消去y,得 (﹣k2)x2+2k2x﹣k2﹣1=0 ∵直线MA与双曲线相切于点A, ∴(2k2)2﹣4×(﹣k2)×(﹣k2﹣1)=0,解之得k=(舍负) 因此,直线AM方程为y=(x﹣1), 同理直线BM方程为y=﹣(x﹣1), 设直线AM倾斜角为θ,得tanθ=,且∠AMB=2θ ∴cos2θ===,即为∠AMB最大时的余弦值 故选:D 12.已知函数f(x)=ex﹣1+x﹣2(e为自然对数的底数),g(x)=x2﹣ax﹣a+3,若存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1﹣x2|≤1,则实数a的取值范围是( ) A.[2,3]B.[1,2]C.[2,]D.[,3] 【考点】函数的值. 【分析】求出函数f(x)的导数,可得f(x)递增,解得f(x)=0的解为1,由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解, 即有a==(x+1)+﹣2在0≤x≤2有解,求得(x+1)+﹣2的范围,即可得到a的范围. 【解答】解:函数f(x)=ex﹣1+x﹣2的导数为f′(x)=ex﹣1+1>0, f(x)在R上递增,由f(1)=0,可得f(x1)=0,解得x1=1, 存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1﹣x2|≤1, 即为g(x2)=0且|1﹣x2|≤1, 即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解, 即有a==(x+1)+﹣2在0≤x≤2有解, 令t=x+1(1≤t≤3),则t+﹣2在[1,2]递减,[2,3]递增, 可得最小值为2,最大值为3, 则a的取值范围是[2,3]. 故答案为:[2,3]. 二、填空题 13.某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 ﹣1 杯数 14 24 28 54 由表中数据算得线性回归方程=bx+a中的b≈﹣2,预测当气温为﹣5℃时,热茶销售量为 60 杯. 【考点】线性回归方程. 【分析】先计算样本中心点,再求出线性回归方程,进而利用方程进行预测. 【解答】解:由题意, ==10, ==30, 将b≈﹣2及(10,30)代入线性回归方程=bx+a,可得a=50, ∴x=﹣5时,y=﹣2×(﹣5)+50=60. 故答案为:60. 14.设函数f(x)满足,则f(2)= . 【考点】函数的值. 【分析】通过表达式求出f(),然后求出函数的解析式,即可求解f(2)的值. 【解答】解:因为, 所以. , ∴. ∴=. 故答案为:. 15.在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,三边a、b、c成等差数列,且B=,则(cosA一cosC)2的值为 . 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;等差数列的性质. 【分析】由a,b及c成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,将关系式利用正弦定理化简,得到sinA+sinC的值,设cosA﹣cosC=x,根据题意列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求出所求式子的值. 【解答】解:∵三边a、b、c成等差数列,且B=, ∴2b=a+c,A+C=, 将2b=a+c利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,即sinA+sinC=, 设cosA﹣cosC=x, 可得:(sinA+sinC)2+(cosA﹣cosC)2=2+x2, 即sin2A+2sinAsinC+sin2C+cos2A﹣2cosAcosC+cos2C=2﹣2cos(A+C)=2﹣2cos=2+x2, 则(cosA﹣cosC)2=x2=﹣2cos=. 故答案为: 16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y﹣4)2=4,点A是x轴上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围为 [2,4] . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】设A(a,0),则以AC为直径的圆为x2+y2﹣ax﹣4y=0,与圆C的方程相减,得PQ所在直线的方程为ax﹣4y+12=0,求出圆心C(0,4)到直线:ax﹣4y+12=0的距离d,由|PQ|=2,能求出线段PQ长的取值范围. 【解答】解:设A(a,0),则以AC为直径的圆的直径式方程为(x﹣0,y﹣4)•(x﹣a,y﹣0)=0, 即x2+y2﹣ax﹣4y=0, 与圆C的方程x2+(y﹣4)2=4,即x2+y2﹣8y+12=0相减,得ax﹣4y+12=0, ∴PQ所在直线的方程为ax﹣4y+12=0, 设圆心C(0,4)到直线:ax﹣4y+12=0的距离为d, 则|PQ|=2=2=2, ∴a=0,即A是原点时,|PQ|min=2, 当点A在x轴上无限远时,PQ接近于直径4, ∴线段PQ长的取值范围为[2,4). 故答案为:[2,4). 三、解答题 17.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an(n≥2,n∈N*). (I)求a2,a3及{an}的通项公式; (Ⅱ)记bn=an+,cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(I)利用a1=1、Sn=an(n≥2,n∈N*)计算可知a2,a3的值,通过Sn=an(n≥1,n∈N*)与Sn﹣1=an﹣1(n≥2,n∈N*)作差、整理可知=,利用an=••…••a1累乘计算,进而可得结论; (Ⅱ)通过(I)裂项可知cn=﹣,进而并项相加即得结论. 【解答】解:(I)∵a1=1,Sn=an(n≥2,n∈N*), ∴a1+a2=a2,a2=3a1=3, a1+a2+a3=a3,a3=(a1+a2)=(1+3)=6, ∴Sn=an(n≥1,n∈N*),Sn﹣1=an﹣1(n≥2,n∈N*), 两式相减得:an=an﹣an﹣1, 整理得: =, ∴an=••…••a1 =••…••1 =(n≥2,n∈N*), 又∵a1=1满足上式, ∴数列{an}的通项公式an=; (Ⅱ)由(I)可知bn=an+=+=, ∴cn===﹣, ∴Tn=1﹣+﹣+…+﹣ =1+﹣﹣ =﹣﹣. 18.某单位开展岗前培训.期间,甲、乙2人参加了5次考试,成绩统计如下: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 82 82 79 95 87 乙的成绩 95 75 80 90 85 (Ⅰ)根据有关统计知识,回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗,你认为选谁合适,请说明理由; (Ⅱ)根据有关概率知识,解答以下问题: ①从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个,设抽到甲的成绩为x,抽到乙的成绩为y.用A表示满足条件|x﹣y|≤2的事件,求事件A的概率; ②若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数. 【分析】(Ⅰ)先求出甲和乙的平均成绩相同,再求出甲和乙的成绩的方差,方差较小的发挥比较稳定,应该派他去. (Ⅱ)①设抽到甲的成绩为x,抽到乙的成绩为y,则所有的(x,y)共有5×5=25个,用列举法求得满足条件|x﹣y|≤2的有5个,由此求得所求事件的概率. ②从5此考试的成绩中,任意取出2此,所有的基本事件有 =10个,用列举法求得满足条件至少有一次考试两人“水平相当”的有7个,由此求得所求事件的概率. 【解答】解:(Ⅰ)甲的平均成绩为 ==85,乙的平均成绩为==85, 故甲乙二人的平均水平一样. 甲的成绩的方差为 ==31,乙的成绩的方差为 ==50,∴<,故应派甲合适. (Ⅱ)①从甲、乙2人的成绩中各随机抽取一个,设抽到甲的成绩为x,抽到乙的成绩为y,则所有的(x,y)共有5×5=25个, 其中,满足条件|x﹣y|≤2的有(82,80)、(82,80)、(79,80)、(95,95)、(87,85),共有5个, 故所求事件的概率等于 =. ②从5此考试的成绩中,任意取出2此,所有的基本事件有 =10个, 其中,满足至少有一次考试两人“水平相当”的有7个:(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(87,75)、 (79,80)和(95,90)、(87,85)和(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共有7个, 故所求事件的概率等于 . 19.如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. (Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小; (Ⅱ)求点B到平面OCD的距离. 【考点】异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算. 【分析】(Ⅰ)求异面直线所成的角,可以做适当的平移,把异面直线转化为相交直线,然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角.平移时主要是根据中位线和中点条件,或者是特殊的四边形,三角形等.∵CD∥AB,∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角). (Ⅱ)在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题可以先“转化”:当由点向平面引垂线发生困难时,可利用线面平行或面面平行转化为直线上(平面上)其他点到平面的距离.∵AB∥平面OCD,所以点B和点A到平面OCD的距离相等. 连接OP,过点A作AQ⊥OP于点Q.∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面OAP,∴AQ⊥CD.又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离. 【解答】解(Ⅰ)∵CD∥AB,∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角). 作AP⊥CD于点P,连接MP. ∵OA⊥平面ABCD,∴CD⊥MP. ∵,∴. ∵, ∴,. 所以,异面直线AB与MD所成的角为. (Ⅱ)∵AB∥平面OCD,所以点B和点A到平面OCD的距离相等. 连接OP,过点A作AQ⊥OP于点Q. ∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面OAP,∴AQ⊥CD. 又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离. ∵,, ∴. 所以,点B到平面OCD的距离为. 20.已知曲线C1: +=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1的内切圆半径为,记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆. (1)求椭圆C2的标准方程; (2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,M是椭圆上一点,且满足(+)•=0,求△AMB的面积的最小值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)由题意可得,a>b>0,解得a,b即可得出. (2)设直线AB的斜率垂直且不为0,方程为y=kx.联立,解得可得|AB|=.由于满足(+)•=0,可得MO⊥AB.可得直线OM的方程为:y=﹣x.同理可得|OM|.利用S△AMB=|OM||AB|及其基本不等式的性质即可得出.当k=0时,S△AMB=.当k不存在时,S△AMB=,直接得出. 【解答】解:(1)∵曲线C1: +=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1的内切圆半径为, ∴,a>b>0,解得a=,b=2. 由C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆. ∴椭圆的标准方程为: +=1. (2)设直线AB的斜率垂直且不为0,方程为y=kx.A(x0,y0),B(﹣x0,﹣y0).联立,解得x2=,. ∴|AB|==. ∵满足(+)•=0,∴=0,∴MO⊥AB.可得直线OM的方程为:y=﹣x. 联立,解得x2=,,|MO|==×. ∴S△AMB=|OM||AB|=×=20≥20=,当且仅当k2=1时取等号. 当k=0时,S△AMB==2. 当k不存在时,S△AMB==2>. 综上可得:△AMB的面积的最小值是. 21.已知函数f(x)=ax2﹣lnx. (I)讨论函数f(x)单调性; (Ⅱ)当时,证明:曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t))处的切线至少有两个不同的公共点. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)对原函数求导,然后分a>0和a≤0两种情况讨论导函数的符号,a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)恒成立, a>0时,求导函数的零点,利用导函数的零点把定义域分段,根据导函数在各段内的符号判断原函数在不同区间段内的单调性; (Ⅱ)利用导数求出曲线y=f(x)在点P(t,f(t))处的切线方程,然后构造函数g(x)=f(x)﹣[f′(t)(x﹣t)+f(t)],因为点P(t,f(t))是曲线y=f(x)与切线的公共点,只要再说明函数g(x)有除了t外的另外零点即可,通过对函数g(x)进行求导,利用函数单调性得到当x∈(0,t)或x∈(t,2]时,g(x)>g(t)=0,利用放缩法,借助与不等式说明当x>2t+时,g(x)<0,从而说明曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t))处的切线至少有两个不同的公共点. 【解答】(Ⅰ)解:f(x)的定义域为(0,+∞), 由f(x)=ax2﹣lnx,得:f′(x)=2ax﹣. (1)若a≤0,则f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)是减函数; (2)若a>0,由,得:. 则当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)在(0,)是减函数; 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(,+∞)是增函数. (Ⅱ)证明:曲线y=f(x)在P(t,f(t))处的切线方程为y=f′(t)(x﹣t)+f(t), 且P为它们的一个公共点. 当a=时,,, 设g(x)=f(x)﹣[f′(t)(x﹣t)+f(t)],则g′(x)=f′(x)﹣f′(t), 则有g(t)=0,且g′(t)=0. 设h(x)=g′(x)=﹣x﹣﹣f′(t),则当x∈(0,2)时,h′(x)=﹣+>0, 于是g′(x)在(0,2)是增函数,且g′(t)=0, 所以,当x∈(0,t)时,g′(x)<0,g(x)在(0,t)是减函数; 当x∈(t,2)时,g′(x)>0,g(x)在(t,2)是增函数. 故当x∈(0,t)或x∈(t,2]时,g(x)>g(t)=0. 若x∈(2,+∞),则g(x)=﹣x2﹣lnx﹣[f′(t)(x﹣t)+f(t)] =﹣x2+(t+)x﹣t2﹣1﹣ln<﹣x2+(t+)x﹣t2﹣1=﹣x(x﹣2t﹣)﹣t2﹣1. 当x>2t+时,g(x)<﹣t2﹣1<0. 所以在区间(2,2t+)至少存在一个实数x0>2,使g(x0)=0. 因此曲线y=f(x)与其在点P(t,f(t))处的切线至少有两个不同的公共点. [选修4-4:几何证明选讲] 22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是的中点,BD交AC于点E. (1)求证:CD2﹣DE2=AE•EC; (2)若CD的长等于⊙O的半径,求∠ACD的大小. 【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 【分析】(1)证明△BCD∽△CDE,得出CD2=DE•DB,再利用DE•DB=DE•(DE+BE)即可证明结论成立; (2)连接OC、OD,利用等边△OCD,即可求出∠ACD的大小. 【解答】解:(1)证明:∵∠ABD=∠CBD,∠ABD=∠ECD, ∴∠CBD=∠ECD, 又∠CDB=∠EDC, ∴△BCD∽△CDE, ∴=, ∴CD2=DE•DB; 又DE•DB═DE•(DE+BE)=DE2+DE•BE,且DE•BE=AE•EC, ∴CD2﹣DE2=AE•EC; (2)如图所示, 连接OC、OD, 由题意知△OCD是等边三角形, ∴∠COD=60°, ∴∠CBD=∠COD=30°, ∴∠ACD=∠CBD=30°. [选修4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.选修4﹣4:坐标系与参数方程. 极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的参数方程为(t为参数,0≤α<π),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ﹣与曲线C1交于(不包括极点O)三点A、B、C. (I)求证:|OB|+|OC|=|OA|; (Ⅱ)当φ=时,B,C两点在曲线C2上,求m与α的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. 【分析】(Ⅰ)依题意,|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+),|OC|=4cos(φ﹣),利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ,=|OA|,命题得证. (Ⅱ)当φ=时,B,C两点的极坐标分别为(2,),(2,﹣).再把它们化为直角坐标,根据C2是经过点(m,0),倾斜角为α的直线,又经过点B,C的直线方程为y=﹣(x﹣2),由此可得m及直线的斜率,从而求得α的值. 【解答】解:(Ⅰ)依题意,|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+),|OC|=4cos(φ﹣),… 则|OB|+|OC|=4cos(φ+)+4cos(φ﹣)=2(cosφ﹣sinφ)+2(cosφ+sinφ)=4cosφ, =|OA|.… (Ⅱ)当φ=时,B,C两点的极坐标分别为(2,),(2,﹣). 化为直角坐标为B(1,),C(3,﹣).… C2是经过点(m,0),倾斜角为α的直线, 又经过点B,C的直线方程为y=﹣(x﹣2),故直线的斜率为﹣,… 所以m=2,α=.… [选修4-5:不等式选讲] 24.设函数f (x)=|x﹣a|+3x,其中a≠0. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f (x)≤0的解集包含{x|x≤﹣1},求a的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;集合的包含关系判断及应用. 【分析】(1)当a=2时,函数f (x)=|x﹣2|+3x,不等式即|x﹣2|+3x≥3x+2,即|x﹣2|≥2,由此求得它的解集. (2)由不等式可得|x﹣a|≤﹣3x,即,或.分a大于零和a小于零两种情况,分别求得不等式组的解集,再根据f (x)≤0的解集包含{x|x≤﹣1},求得a的范围. 【解答】解:(1)当a=2时,函数f (x)=|x﹣a|+3x=|x﹣2|+3x, 不等式f(x))≥3x+2,即|x﹣2|+3x≥3x+2,即|x﹣2|≥2, ∴x﹣2≥2,或 x﹣2≤﹣2.即 x≥4,或 x≤0,故f(x))≥3x+2的解集为{x|x≥4,或 x≤0}. (2)由不等式f (x)≤0,可得|x﹣a|≤﹣3x,即,或. 由于a≠0, ①若a>0,则不等式组的解集为 {x|x≤﹣}. 由f (x)≤0的解集包含{x|x≤﹣1},可得﹣≥﹣1,求得 0<a≤2. ②若a<0,则不等式组的解集为 {x|x≤}, 由f (x)≤0的解集包含{x|x≤﹣1},可得≥﹣1,求得﹣4≤a<0. 综上可得,a的取值范围为{a|0<a≤2,或﹣4≤a<0 }. 2016年7月21日查看更多