高考数学数列部分知识点梳理

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高考数学数列部分知识点梳理

高考数学数列部分知识点梳理 一数列的概念 ‎ ‎1)数列的前项和与通项的公式①; ‎ ‎2)数列的分类:①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.‎ 一、 等差数列 ‎ 1) 通项公式,为首项,为公差。前项和公式或.‎ 2) 等差中项:。‎ 3) 等差数列的判定方法:⑴定义法:(,是常数)是等差数列;⑵中项法:()是等差数列.‎ 4) 等差数列的性质:‎ ‎ ⑴数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;‎ ‎⑵在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.‎ ‎⑶;(,是常数);(,是常数,)‎ ‎⑷若,则;‎ ‎⑸若等差数列的前项和,则是等差数列;‎ ‎⑹当项数为,则;‎ ‎ 当项数为,则.‎ ‎ (7)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;‎ ‎ (8)设,,,则有;‎ ‎ (9) 是等差数列的前项和,则;‎ ‎ (10)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则 ‎      ①.为等差数列,公差为;‎ ‎     ②.(即)为等差数列,公差; ‎ ‎     ③.(即)为等差数列,公差为. ‎ 一、 等比数列 ‎ 1) 通项公式:,为首项,为公比 。前项和公式:①当时,②当时,.‎ 2) 等比中项:。;‎ 3) 等比数列的判定方法:⑴定义法:(,是常数)是等比数列;⑵中项法:()且是等比数列.‎ 4) 等比数列的性质:‎ ‎⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)若,则;‎ ‎ (4)若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.‎ ‎ (5)设,是等比数列,则也是等比数列。‎ ‎ (6)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列);‎ ‎ (7)设是正项等比数列,则是等差数列;‎ ‎ (8)设,,,则有;‎ ‎ (9)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则 ‎  ①.为等比数列,公比为;‎ ‎  ②.(即)为等比数列,公比为;‎ 一、 解题技巧: ‎ A、数列求和的常用方法:‎ ‎1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。‎ ‎2、错项相减法:适用于差比数列(如果等差,等比,那么叫做差比数列)‎ 即把每一项都乘以的公比,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。‎ ‎3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。适用于数列和(其中等差)。可裂项为:,‎ B、等差数列前项和的最值问题:‎ ‎1、若等差数列的首项,公差,则前项和有最大值。‎ ‎(ⅰ)若已知通项,则最大;‎ ‎(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最大;‎ ‎2、若等差数列的首项,公差,则前项和有最小值 ‎(ⅰ)若已知通项,则最小;‎ ‎(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最小;‎ C、根据递推公式求通项:‎ ‎1、构造法:‎ ‎ 1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解 ‎ 【例题】已知数列中,,求数列的通项公式.‎ ‎ 2°递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解 ‎ 【例题】,求数列的通项公式.‎ ‎ 3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解 ‎ 【例题】已知数列中,,求数列的 通项公式.‎ ‎ 4°递推关系形如",两边同除以 ‎ 【例题】已知数列中,,求数列的通项公式.‎ ‎ 【例题】数列中,,求数列的通项公式.‎ 2、 迭代法:‎ ‎ a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;‎ ‎【例题】已知数列中,,求数列的通项公式 ‎ ‎ b、已知关系式,可利用迭乘法.‎ ‎【例题】已知数列满足:,求求数列的通项公式;‎ ‎3、给出关于和的关系 ‎ 【例题】设数列的前项和为,已知,设,‎ 求数列的通项公式.‎ 五、典型例题: ‎ A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)‎ ‎1)根据基本量求解(方程的思想)‎ ‎【例题】已知为等差数列的前项和,,求;‎ ‎2)根据数列的性质求解(整体思想)‎ ‎【例题】已知为等比数列前项和,,,则 .‎ B、求数列通项公式(参考前面根据递推公式求通项部分)‎ C、证明数列是等差或等比数列 ‎1)证明数列等差 ‎【例题】已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.‎ ‎2)证明数列等比 ‎【例题】数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,若an+Sn=n.设cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列;‎ D、求数列的前n项和 ‎【例题1】求数列的前项和.(拆项求和法)‎ ‎【例题2】求和:S=1+(裂项相消法)‎ ‎【例题3】设,求:⑴;‎ ‎ ⑵(倒序相加法)‎ ‎【例题4】若数列的通项,求此数列的前项和.(错位相减法)‎ ‎【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ E、数列单调性最值问题 ‎【例题】数列中,,当数列的前项和取得最小值时, ‎
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