2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

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2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)‎ 数学(文)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(  )‎ A.AB B.CB C.DC D.AD ‎2.函数(x≥-1)的反函数为(  )‎ A.y=x2-1(x≥0) B.y=x2-1(x≥1)‎ C.y=x2+1(x≥0) D.y=x2+1(x≥1)‎ ‎3.若函数(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知α为第二象限角,,则sin2α=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(  )‎ A.2n-1 B. C. D.‎ ‎7. 6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有(  )‎ A.240种 B.360种 C.480种 D.720种 ‎8.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为(  )‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎9.△ABC中,AB边的高为CD.若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则=(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知x=ln π,y=log52,,则(  )‎ A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x ‎12.正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(  )‎ A.8 B.6 C.4 D.3‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13.(x+)8的展开式中x2的系数为__________.‎ ‎14.若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为__________.‎ ‎15.当函数y=sinx-cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=__________.‎ ‎16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.△ABC中,内角A,B,C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.‎ ‎18.已知数列{an}中,a1=1,前n项和.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎19.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.‎ ‎(1)证明:PC⊥平面BED;‎ ‎(2)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.‎ ‎20.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.‎ ‎(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;‎ ‎(2) 求开始第5次发球时,甲得分领先的概率. ‎ ‎21.已知函数f(x)=x3+x2+ax.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.‎ ‎22.已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-)2=r2(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.‎ ‎(1)求r;‎ ‎(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)‎ 数学(文)试题 答案解析:‎ ‎1. B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集,‎ ‎∴CB.‎ ‎2. A ∵,∴y2=x+1,‎ ‎∴x=y2-1,x,y互换可得:y=x2-1.‎ 又∵.∴反函数中x≥0,故选A项.‎ ‎3.C ∵是偶函数,∴f(0)=±1.‎ ‎∴.∴(k∈Z).‎ ‎∴φ=3kπ+(k∈Z).‎ 又∵φ∈[0,2π],∴当k=0时,.故选C项.‎ ‎4.A ∵,且α为第二象限角,‎ ‎∴.‎ ‎∴.故选A项.‎ ‎5. C ∵焦距为4,即2c=4,∴c=2.‎ 又∵准线x=-4,∴.‎ ‎∴a2=8.∴b2=a2-c2=8-4=4.‎ ‎∴椭圆的方程为,故选C项.‎ ‎6.B 当n=1时,S1=2a2,又因S1=a1=1,‎ 所以,.‎ 显然只有B项符合.‎ ‎7. C 由题意可采用分步乘法计数原理,甲的排法种数为,剩余5人进行全排列:,故总的情况有:·=480种.故选C项.‎ ‎8. D 连结AC交BD于点O,连结OE,‎ ‎∵AB=2,∴.‎ 又,则AC=CC1.‎ 作CH⊥AC1于点H,交OE于点M.‎ 由OE为△ACC1的中位线知,‎ CM⊥OE,M为CH的中点.‎ 由BD⊥AC,EC⊥BD知,BD⊥面EOC,‎ ‎∴CM⊥BD.∴CM⊥面BDE.‎ ‎∴HM为直线AC1到平面BDE的距离.‎ 又△ACC1为等腰直角三角形,∴CH=2.∴HM=1.‎ ‎9. D ∵a·b=0,∴a⊥b.‎ 又∵|a|=1,|b|=2,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎10. C 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,‎ 由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,‎ ‎∴2m-m=.∴.‎ 又,‎ ‎∴由余弦定理可得 cos∠F1PF2=.‎ ‎11. D ∵x=ln π>1,y=log52>,‎ ‎,且<e0=1,∴y<z<x.‎ ‎12. B 如图,由题意:‎ tan∠BEF=,‎ ‎∴,∴X2为HD中点,‎ ‎,∴,‎ ‎,∴,‎ ‎,∴,‎ ‎,∴,∴X6与E重合,故选B项.‎ ‎13.答案:7‎ 解析:∵(x+)8展开式的通项为Tr+1=x8-r()r=Cr82-rx8-2r,‎ 令8-2r=2,解得r=3.‎ ‎∴x2的系数为2-3=7.‎ ‎14.答案:-1‎ 解析:由题意画出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可,故直线过A(0,1)时,z最大.‎ ‎∴zmax=3×0-1=-1.‎ ‎15.答案:‎ 解析:y=sinx-cosx=.‎ 当y取最大值时,,∴x=2kπ+.‎ 又∵0≤x<2π,∴.‎ ‎16.答案:‎ 解析:设正方体的棱长为a.连结A1E,可知D1F∥A1E,‎ ‎∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角,‎ 在△AEA1中,‎ ‎.‎ ‎17.解:由A,B,C成等差数列及A+B+C=180°,得B=60°,A+C=120°.‎ 由2b2=3ac及正弦定理得2sin2B=3sinAsinC,‎ 故.‎ cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC-,‎ 即cosAcosC-=,cosAcosC=0,‎ cosA=0或cosC=0,所以A=90°或A=30°.‎ ‎18.解:(1)由得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;‎ 由得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.‎ ‎(2)由题设知a1=1.‎ 当n>1时有an=Sn-Sn-1=,‎ 整理得.‎ 于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…‎ an-1=an-2,an=an-1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘,整理得.‎ 综上,{an}的通项公式.‎ ‎19.解法一:(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.‎ 又PA⊥底面ABCD,‎ 所以PC⊥BD.‎ 设AC∩BD=F,连结EF.‎ 因为,PA=2,PE=2EC,‎ 故,,,‎ 从而,,‎ 因为,∠FCE=∠PCA,‎ 所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°,‎ 由此知PC⊥EF.‎ PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC ‎⊥平面BED.‎ ‎(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足.‎ 因为二面角A-PB-C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.‎ 又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.‎ BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,‎ 故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,‎ 所以底面ABCD为正方形,AD=2,.‎ 设D到平面PBC的距离为d.‎ 因为AD∥BC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD∥平面PBC,A,D两点到平面PBC的距离相等,即d=AG=.‎ 设PD与平面PBC所成的角为α,则.‎ 所以PD与平面PBC所成的角为30°.‎ 解法二:(1)证明:以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.‎ 设C(,0,0),D(,b,0),其中b>0,‎ 则P(0,0,2),E(,0,),B(,-b,0).‎ 于是=(,0,-2),=(,b,),=(,-b,),从而,,‎ 故PC⊥BE,PC⊥DE.‎ 又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE.‎ ‎(2)=(0,0,2),=(,-b,0).‎ 设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,‎ 则m·=0,m·=0,‎ 即2z=0且x-by=0,‎ 令x=b,则m=(b,,0).‎ 设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,‎ 则n·=0,n·=0,‎ 即且,‎ 令p=1,则,,n=(1,,).‎ 因为面PAB⊥面PBC,故m·n=0,即,故,‎ 于是n=(1,-1,),=(,,2),‎ ‎,〈n,〉=60°.‎ 因为PD与平面PBC所成角和〈n,〉互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.‎ ‎20.解:记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;‎ Bi表示事件:第3次和第4次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;‎ A表示事件:第3次发球,甲得1分;‎ B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2;‎ C表示事件:开始第5次发球时,甲得分领先.‎ ‎(1)B=A0·A+A1·,‎ P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,‎ P(B)=P(A0·A+A1·)‎ ‎=P(A0·A)+P(A1·)‎ ‎=P(A0)P(A)+P(A1)P()‎ ‎=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.‎ ‎(2) P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=2×0.4×0.6=0.48,P(B2)=0.42=0.16,‎ P(A2)=0.62=0.36.‎ C=A1·B2+A2·B1+A2·B2‎ P(C)=P(A1·B2+A2·B1+A2·B2)‎ ‎=P(A1·B2)+P(A2·B1)+P(A2·B2)‎ ‎=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)‎ ‎=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.307 2.‎ ‎21.解:(1)f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1.‎ ‎①当a≥1时,f′(x)≥0,且仅当a=1,x=-1时,f′(x)=0,所以f(x)是R上的增函数;‎ ‎②当a<1时,f′(x)=0有两个根x1=-1-,x2=-1+.‎ 当x∈(-∞,-1-)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;‎ 当x∈(-1-,-1+)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;‎ 当x∈(-1+,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.‎ ‎(2)由题设知,x1,x2为方程f′(x)=0的两个根,‎ 故有a<1,x12=-2x1-a,x22=-2x2-a.‎ 因此f(x1)=x13+x12+ax1‎ ‎=x1(-2x1-a)+x12+ax1=x12+ax1‎ ‎=(-2x1-a)+ax1=(a-1)x1-.‎ 同理,f(x2)=(a-1)x2-.‎ 因此直线l的方程为y=(a-1)x-.‎ 设l与x轴的交点为(x0,0),得,‎ ‎.‎ 由题设知,点(x0,0)在曲线y=f(x)上,故f(x0)=0,‎ 解得a=0或或.‎ ‎22.解:(1)设A(x0,(x0+1)2),对y=(x+1)2求导得y′=2(x+1),‎ 故l的斜率k=2(x0+1).‎ 当x0=1时,不合题意,所以x0≠1.‎ 圆心为M(1,),MA的斜率.‎ 由l⊥MA知k·k′=-1,‎ 即2(x0+1)·=-1,‎ 解得x0=0,故A(0,1),‎ r=|MA|=,即.‎ ‎(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),‎ 即y=2(t+1)x-t2+1.‎ 若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,‎ 即,‎ 化简得t2(t2-4t-6)=0,‎ 解得t0=0,,.‎ 抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1,①‎ y=2(t1+1)x-t12+1,②‎ y=2(t2+1)x-t22+1,③‎ ‎②-③得.‎ 将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).‎ 所以D到l的距离.‎
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