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【恒心】高考数学等差、等比数列经典试题
一、选择题
1.（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，，则
（A）11 （B）5 （C） （D）
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题
2.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
3.（2010辽宁文）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】 B
解析：选B. 两式相减得， ，.
4.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
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【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。
5.（2010全国卷2文）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵ ，∴
6.（2010安徽文）(5)设数列的前n项和，则的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】 A
【解析】.
【方法技巧】直接根据即可得出结论.
7.（2010浙江文）(5)设为等比数列的前n项和，则
(A)-11 (B)-8
(C)5 (D)11
解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
8.（2010重庆理）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】A
解析：
54
9.（2010广东理）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
解析：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．
∴，即．，即．
10.（2010广东文）
11.（2010山东理）
54
12.（2010重庆文）（2）在等差数列中，，则的值为
（A）5 （B）6
（C）8 （D）10
【答案】 A
解析：由角标性质得，所以=5
二、填空题
1.（2010辽宁文）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。
解析：填15. ,解得，
2.（2010福建理）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题意知，解得，所以通项。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________
解析：考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，
所以。
三、解答题
1.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
54
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．
2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.
解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得[来源:.COM]
Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且
，[来源:.com]
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。
54
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
4.（2010江西理）22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b
0
由a2+a7＝16.得 ①
由得 ②
由①得将其代入②得。即
（2）令
两式相减得
于是
=-4=
27. （2009福建卷文）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
54
28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ），所以
（Ⅱ）由得即
所以当时，于是
所以
（Ⅲ）当时，结论成立
当时，有
所以
2008年高考题
一、选择题
1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( )
A.12 B.13 C.14 D.15
答案 B
2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和
54
等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
答案 B
3.（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
答案 D
4.（2008浙江）已知是等比数列，，则=（ ）
A.16（） B.6（）
C.（） D.（）
答案 C
5.（2008四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()
A. B.
C. D.
答案 D
6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为( )
A.63 B.64 C.127 D.128
答案 C
二、填空题
17.（2008四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.
答案 4
18.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
答案 -72
三、解答题
23.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知
54
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
解 由题意知，且
两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得
[来源:.COM]
因此
得
24.（2008江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列
54
为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；
（2）求证.
解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
25..（2008湖北）.已知数列和满足：
,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有
?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
54
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有ab，则双曲线的离心率e等于 （ ）
A． B． C． D．
答案B
11、（2009深圳一模）在等差数列中，，表示数列的前项和，则
A． B． C． D．
答案 B
二、填空题
1、（2009上海十四校联考）若数列为
“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条件
2、（2009上海八校联考）在数列中，，且，_________。
答案 2550
54
3、（2009江门一模）是等差数列的前项和，若，，
则 ．
答案
4、（2009宁波十校联考）已知是等差数列，，则该数列前10项和=________
答案 100
三、解答题
1、（2009杭州二中第六次月考）数列中，其中且，是函数
的一个极值点．
（Ⅰ）证明: 数列是等比数列；
（Ⅱ）求．
（1）由题意得即，
，
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
（2）即
，此式对也成立．
2、（2009滨州一模）已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．
（I）求与的关系式；
（II）令，求证：数列是等比数列；
（III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,
54
都有cn+1＞cn成立。
(1) 解：过的直线方程为
联立方程消去得
∴
即
（2）
∴是等比数列
，;
（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立，
即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．
ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．
又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分
ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）n-1恒成立，
又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分
即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，
54
∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有． 12分
3、（2009台州市第一次调研）已知数列的首项，前n项和.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.
解：（1）由①，得②，
②-①得：. 4分[来源:.com]
（2）由求得. 7分
∴， 11分
∴. 14分
4、（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，
一般地，（）．
（1）求；
（2）求；
（3）求和：．
（1）； ……3分
（2）当时，（）
， ……6分
所以，（）． ……8分
54
（3）与（2）同理可求得：， ……10分
设=，
则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得
，所以
． ……14分
5、（2009上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。
（1）证明:数列是等差数列；
（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；
（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。
（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
解: (1)依题意有,于是.
所以数列是等差数列. .4分
(2)由题意得,即 , () ①
所以又有. ②
由②①得：, 所以是常数． ６分
由都是等差数列.
，那么得 ,
. ( ８分
54
故 1０分
(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数
提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数
解：问题① 1１分
当为奇数时,,所以
当为偶数时,所以
作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. １３分
当为奇数时,有,即 ①
， 当, 不合题意.15分
当为偶数时,有 ，,同理可求得
当时,不合题意. 1７分
综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 1８分
解：问题② 1１分
当为奇数时,,所以
当为偶数时,所以
作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. １３分
当为奇数时,有,即 ①
， 当
54
时，. 不合题意． 15分
当为偶数时,有 ，,同理可求得 .
；；当时，不合题意．1７分
综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为
；； ；1８分
6、（2009广州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.
(1)求证：数列{ an－×2n}是等比数列；
(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)
(1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴ ……2分
由an+an+1=2n，得，故数列
是首项为，公比为－1的等比数列. ……4分
证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，
∴ ……2分
∵，
故数列是首项为，公比为－1的等比数列.
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……4分
(2)解：由(1)得，即，
∴
……6分
∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]
， ……8分
要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，
即对任意n∈N*都成立.
①当n为正奇数时，由(*)式得，
即，
∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分
①当n为正奇数时，由(*)式得，
即，
∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.
当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分
②当n为正偶数时，由(*)式得，
即，
∵2n－1>0，∴对任意正偶数n都成立.
当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分
综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).
……14分
54
7、（2009宣威六中第一次月考）已知数列满足，且
（1）用数学归纳法证明：；
（2）若，且，求无穷数列所有项的和。
解：
8、（2009广东三校一模）,是方程的两根,数列的前项和为,且
(1)求数列,的通项公式;
(2)记=,求数列的前项和.
54
解：(1)由.且得 2分
, 4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得, 6分
. 8分
(2), 9分
,, 10分
=2
=, 13分
14分
9、（2009江门一模）已知等差数列和正项等比数列，，．
⑴求、；
⑵对，试比较、的大小；
⑶设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．
解：⑴由，得-------1分 由且得----2分
所以，-------4分
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⑵显然，时，；时，，，-------5分
时，
-------6分 -------7分
因为、，所以时，-------8分
⑶-------9分，
恒成立，则有-------11分，解得，-------12分
，
-------13分
所以，当，时，恒成立-------14分
10、（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0 (nN＊），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，
a3与as的等比中项为2。
（1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)设bn＝log2 an，数列｛bn｝的前n项和为Sn当最大时，求n的值。
解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以， + 2a3a5 +＝25[来源:]
又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………2分
又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4
而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，
…………………………6分
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
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所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分
所以，
所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，
当n＝8或9时，最大。 …………………………12分
11、（2009深圳一模文）设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.
（Ⅲ）求证： .
解：(Ⅰ)由题意可得：
①
时, ② …………………… 1分
①─②得， …………………… 3分
是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分
（Ⅱ）解法一: ……………… 5分
若为等差数列，
则成等差数列, ……………… 6分
得 ……………… 8分
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又时，，显然成等差数列，
故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分
解法二: ……………… 5分
…………… 7分
欲使成等差数列,只须即便可. ……………8分
故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分
（Ⅲ） …… 10分
………… 11分
………… 12分
又函数在上为增函数，
， ………… 13分
，． ……… 14分
2009年联考题
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一、选择题
1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中，若，则等于 （ ）
A．0 B．2 C．2009 D．4018
答案 D
2. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列
答案 A
3.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
答案 B
4.（2009厦门一中文）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
答案 A
5.（2009长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，，则的值为 （ ）
A． B．4 C． D．
答案 B
6.（2009宜春）在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 （ ）
A.66 B．99 C．144 D.．297
答案 B
7.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）设等差数列的前n项和为
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（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
答案：C.
二、填空题
8.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为 ．
答案
9.（2009福州八中）已知数列则＿＿＿＿ , ＿＿＿＿
答案 100． 5000；
10.（2009宁乡一中第三次月考）11、等差数列中，且，则公差=
答案 10
11.（2009南京一模）已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，
则
答案168
12.（2009上海九校联考）已知数列的前项和为，若，则 .
答案 128
三、解答题
13.（2009龙岩一中）设正整数数列满足：，当时，有．
（I） 求、的值；
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（Ⅱ）求数列的通项；
(Ⅲ) 记，证明，对任意， .
解（Ⅰ）时，，由已知，得，
因为为正整数，所以，同理………………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：。…………………………………………3分
证明：①时，命题成立；
②假设当与时成立，即，。……………4分
于是，整理得：，……………………………5分
由归纳假设得：，…………………6分
因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。
综上：由知①②知对于，有成立．………………………………7分
(Ⅲ)证明：由 ③
得 ④
③式减④式得 ⑤…………………9分
⑥
⑤式减⑥式得
…………………11分
54
…………13分
则 ．……………………………………………………14分
14.（2009常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满足且．
（１）求的通项公式；
（２）求证：数列为等比数列;
（３）求前n项和的最小值．
解： (1)由得, ……2分
∴ ……………………………………4分
(2)∵,∴,
∴;
∴由上面两式得,又
∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分
(3)由(2)得，∴
= ，∴是递增数列 ………11分
当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时, >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
且
54
