2020-2021学年高考数学（理）考点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

2020-2021学年高考数学（理）考点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 ‎1．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．‎ 概念方法微思考 ‎1．怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？‎ 提示　向左平移个单位长度．‎ ‎2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？‎ 提示　对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，‎ 对称中心是点(k∈Z)．‎ ‎1．（2020•新课标Ⅰ）设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象可得最小正周期小于，大于，排除，；‎ 由图象可得，‎ 即为，，‎ 若选，即有，由，可得不为整数，排除；‎ 若选，即有，由，可得，成立．‎ 故选．‎ ‎2．（2019•天津）已知函数，，是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】是奇函数，，‎ 则 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．‎ 即 的最小正周期为，‎ ‎，得，‎ 则，，‎ 若，则，即，‎ 则，则，‎ 故选．‎ ‎3．（2019•天津）已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】是奇函数，，‎ 的最小正周期为，‎ ‎，得，‎ 则，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．‎ 则，‎ 若，则，即，‎ 则，则，‎ 故选．‎ ‎4．（2018•全国）要得到，则要将　　‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 ‎ C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】要将的图象向左平移个单位，可得的图象，‎ 故选．‎ ‎5．（2018•天津）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数　　‎ A．在区间，上单调递增 B．在区间，上单调递减 ‎ C．在区间，上单调递增 D．在区间，上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 得到的函数为：，‎ 增区间满足：，，‎ 减区间满足：，，‎ 增区间为，，，‎ 减区间为，，，‎ 将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 所得图象对应的函数在区间，上单调递增．‎ 故选．‎ ‎6．（2018•天津）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数　　‎ A．在区间上单调递增 B．在区间，上单调递减 ‎ C．在区间上单调递增 D．在区间，上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 所得图象对应的函数解析式为．‎ 当时，，，函数单调递增；‎ 当，时，，，函数单调递减；‎ 当，时，，，函数单调递增；‎ 当，时，，，函数先减后增．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•海南）如图是函数的部分图象，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】由图象知函数的周期，即，即，‎ 由五点对应法得，‎ 得，‎ 则 故选．‎ ‎1．（2020•马鞍山三模）将函数图象上的所有点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，则函数在，上零点的个数为　　‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数图象上的所有点先向左平移个单位长度，‎ 可得的图象；‎ 再向下平移个单位长度得到函数 的图象．‎ 在，上，，．‎ 令，可得，‎ 故 ，或．‎ 由 可得，，，，，‎ 即，，，．‎ 由可得，，或，‎ 即，或．‎ 故在，上零点的个数为6，这6个零点分别为，，，，，．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•福州三模）已知函数图象上相邻两条对称轴的距离为，把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数图象上相邻两条对称轴的距离为，‎ ‎，，．‎ 把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，‎ 可得 的图象，‎ 再把得到的图象向右平移个单位长度，‎ 得到函数的图象，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•梅河口市校级模拟）函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于直线对称，则函数的一个递增区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 可得的图象．‎ 根据所得图象关于直线对称，可得，，‎ 令，可得，．‎ 由，求得，故函数的增区间为，，‎ 令，可得函数的一个递增区间为，，‎ 故选．‎ ‎4．（2020•和平区校级一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），‎ 可得的图象；‎ 再将所得到的图象向右平移个单位长度得到的图象．‎ 令，求得，，，‎ ‎，当时，函数的最大负零点在区间上，‎ ‎，，‎ 故选．‎ ‎5．（2020•眉山模拟）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象，则以下关于函数的结论正确的是　　‎ A．若，是的零点，则是的整数倍 ‎ B．是函数图象的对称轴 ‎ C．点，是函数图象的对称中心 ‎ D．函数在区间，上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】函数，‎ 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），‎ 可得的图象，‎ 再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象．‎ 若，是的零点，则是的半个周期的整数，故不正确；‎ 令，求得，为最大值，故是函数图象的对称轴，故正确；‎ 令，求得，故 点，不是函数图象的对称中心，故不正确；‎ 在区间，上，，，函数没有单调性，故排除，‎ 故选．‎ ‎6．（2020•雨花区校级模拟）要得到函数的图象，可把函数的图象　　‎ A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 ‎【答案】D ‎【解析】由于．‎ 故要得到函数的图象，可把函数的图象向左平移．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•青羊区校级模拟）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为　　‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 图象向右平移个单位长度得到的解析式为，‎ 令，则，‎ 所以对称轴为，．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•黄州区校级三模）把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为　　‎ A．， B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，‎ 可得的图象；‎ 再向左平移个单位，得到函数的图象．‎ 令，求得，‎ 可得函数的减区间为，，‎ 故选．‎ ‎9．（2020•新华区校级模拟）已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则　　‎ A．的图象关于点对称 ‎ B．的图象关于点对称 ‎ C．在上单调递增 ‎ D．在上单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，‎ 所以函数的周期为：，则，‎ 所以函数，‎ 将函数的图象向左平移个单位长度时，得到函数，‎ 函数是奇函数有：，，‎ 又，解得：，可得，‎ 对于，，故错误；‎ 对于，，故错误；‎ 对于，令，，解得，，可得在上单调递增，故正确，错误．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•靖远县四模）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　‎ A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 ‎ C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•马鞍山三模）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到，‎ 再将其向左平移个单位长度，得到．‎ 故选．‎ ‎12．（2020•道里区校级四模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴可以是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 得到函数的图象，令，求得，，‎ 则函数的图象的对称轴防为，．‎ 令，可得图象的一条对称轴可以是，‎ 故选．‎ ‎13．（2020•天心区校级模拟）若将函数的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于轴对称，则的最小正值是　　‎ A． B．3 C． D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】把函数的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于轴对称，‎ 则平移了半个周期的奇数倍，于是有，‎ 即，故的最小正值是，‎ 故选．‎ ‎14．（2020•道里区校级四模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象　　‎ A．向右平行移动个单位长度 ‎ B．向左平行移动个单位长度 ‎ C．向左平移移动个单位长度 ‎ D．向右平行移动个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】只需把函数的图象 向左平行移动个单位长度，‘‎ 即可得到函数的图象，‎ 故选．‎ ‎15．（2015•银川校级一模）已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调增区间，并说明可把图象经过怎样的平移变换得到的图象．‎ ‎（Ⅱ）若在中，、、分别是角、、的对边，且，，（A）‎ ‎，求的面积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎，‎ 令：，‎ 解得：，‎ 所以函数的单调递增区间为：，‎ 把函数的图象上的所有点的坐标向右平移个单位，就可得到的图象．‎ ‎（Ⅱ）（A），．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎，‎ 故．‎ 在中，‎ ‎，，，‎ ‎ ，‎ 即．．‎ ‎ ．‎ ‎16．（2020•闵行区校级模拟）将函数的图象向右平移个长度单位，得到的图象，再把的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．‎ ‎（1）求的最小值和的解析式；‎ ‎（2）当时，求函数的单调递减区间．‎ ‎【解析】（1）将函数的图象向右平移个长度单位，‎ 得到的图象，‎ ‎，即，，故的最小值为．‎ 再把的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），‎ 得到函数的图象．‎ 故．‎ ‎（2）当时，，，‎ 故当，时，即，，函数单调递增，‎ 故当，时，即，，函数单调递减，故的递减区间为．‎ ‎17．（2020•宁波模拟）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的振幅、最小正周期和初相位；‎ ‎（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为函数 ‎．‎ 故周期为，振幅为2，初相位；‎ ‎（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到函数；‎ 即函数；‎ 当时，，；‎ ‎，；‎ ‎，．‎ 即的取值范围是，．‎ ‎18．（2020•潍坊模拟）已知函数的图象如图所示．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，设，求函数在，上的最大值．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，最小正周期，则，‎ 由，‎ 又，‎ 可得，‎ 所以．‎ ‎（2）由题意可知，‎ 所以，‎ 由于，，可得：，，‎ 可得：．‎ ‎19．（2020•合肥三模）已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求函数在区间，上的值域．‎ ‎【解析】（1）由已知函数的部分图象得，‎ 解得，．‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；‎ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象．‎ ‎，，，，‎ 的值域为．‎ ‎20．（2020•山东模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，函数，将的图象向左平移个单位得到函数的图象，且，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 故．‎ ‎（2），‎ 由正弦定理得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎21．（2020•南通模拟）已知函数，，和是函数的图象与轴的2个相邻交点的横坐标，且当时，取得最大值．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间，上的最大值和最小值．‎ ‎【解析】（1）数，，和是函数的图象与轴的2个相邻交点的横坐标，‎ 所以，整理得，‎ 所以，‎ 当时，取得最大值．‎ 故，整理得，‎ 由于，当时，．‎ 所以．‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，‎ 由于，所以，‎ 所以，‎ 故．‎ 即函数的最大值为2，最小值为．‎ ‎22．（2020•淮阴区模拟）已知为坐标原点，，，，若．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在，上的最小值．‎ ‎【解析】（1）由题意，，，‎ ‎，‎ 的最小正周期为．‎ 令，求得，‎ 所以的单调递增区间为，，．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到函数 的图象；‎ 再将得到的图象向左平移个单位，‎ 得到 的图象 的图象．‎ 在上，，，‎ 当时，取得最小值为，即函数在上的最小值为2．‎ ‎23．（2020•浙江模拟）已知，，过点，且当时，函数取得最大值1．‎ ‎（1）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，求函数的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，函数，求在，上的值域．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，由函数过，得，结合范围，由，‎ ‎，‎ 可得：，可得：，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ 由于，‎ 可得：，‎ 在上的值域为，．‎ ‎24．（2019•柯城区校级模拟）设函数，已知函数图象的相邻两对称轴之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上的各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在，上的值域．‎ ‎【解析】（Ⅰ）函数 ‎，‎ 函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，‎ ‎，，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上的各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），可得 的图象；‎ 将得到的图象向右平移个单位，得到 函数的图象．‎ 在，上，，，，，‎ 故函数在，上的值域为，．‎ ‎25．（2019•江苏模拟）已知函数，，，是的图象与直线的两个交点，且的最小值为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，求的值．‎ ‎【解析】（1）由函数，整理得．‎ 所以或，，‎ 设和的横坐标为和，且的最小值为．‎ 所以解得．‎ ‎（2）由（1）得，函数的图象向左平移个单位，得到．‎ 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，‎ 由于，‎ 所以，‎ 整理得，由于，‎ 所以，整理得，‎ 故．‎ ‎26．（2019•西湖区校级模拟）已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域．‎ ‎【解析】（1）由图象知，，得，‎ 得，‎ 即，‎ 由五点对应法得得，得，‎ 则．‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，‎ 即，‎ 则，‎ 时，‎ ‎，，则，，‎ 即函数的值域为，．‎ ‎27．（2019•西湖区校级模拟）已知函数 ‎（Ⅰ）若，求的最大值和最小值，并写出相应的值；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间，，且满足：在，上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的，中，求的最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，，‎ 当时，取得最小值，最小值为1，当时，取得最大值，最大值为2；‎ ‎（Ⅱ）函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，‎ 则，‎ 令，解得或，，‎ 即的零点相离间隔依次为和或，‎ 故若在，上至少含有20个零点，则的最小值为．‎ ‎28．（2019•陕西三模）将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象 求函数的解析式及最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值及取得最大值时的值 ‎【解析】，‎ 将的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象 即，‎ 则函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若，则，，，‎ 则当时，即时，函数取得最大值，最大值为2．‎ ‎29．（2019•黄冈模拟）已知函数．‎ ‎（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在，上的图象．‎ ‎（2）先将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称中心．‎ ‎【解析】（1） ，‎ 在，上，，，‎ 列表如下：‎ 函数在区间，上的图象是：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 0‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ 作图如下：‎ ‎．‎ ‎（2）将函数 的图象向右平移个单位后得到 的图象，‎ 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，‎ 由得，‎ 故的对称中心为，．‎