1990年全国高考数学文科

1990年全国高考数学文科

‎1990年全国高考数学（文科 ）试题及其解析 考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.‎ 一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）‎ ‎ ‎ ‎ A. 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.‎ B. 甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.‎ C. 甲是乙的充要条件.‎ D. 甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题: （共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）‎ 三、解答题. （共6小题，满分60分）‎ ‎21． (满分10分)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数 与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.‎ ‎22．(满分8分)‎ ‎23． (满分8分)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. ‎ ‎24． (满分10分)已知a>0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x２)-loga(2x-1)>loga2.‎ ‎25． (满分12分)设a≥0,在复数集C中解方程z２+2│z│=a.‎ ‎26． (满分12分) ‎ 参考答案及其解析 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.‎ ‎(1)A　　(2)C 　　(3)D　　(4)B　　 (5)D ‎(6)C　　(7)A 　　(8)B 　（9)A　　(10)C ‎(11)B (12)D (13)A (14)C (15)B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.‎ 三、解答题.‎ ‎(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.‎ 依题意有 由②式得 d=12‎-2a. ③‎ 整理得 a2‎-13a+36=0.‎ 解得 a1=4, a2=9.‎ 代入③式得 d1=4, d2=-6.‎ 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.‎ 解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x.‎ 依题意,有 由①式得 x=3y-12. ③‎ 将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2,‎ 整理得 y2-13y+36=0.‎ 解得 y1=4,y2=9.‎ 代入③式得 x1=0,x2=15.‎ 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.‎ ‎(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.‎ 解法一:由已知得 两式相除得 解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C 连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有 解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).‎ 将②式代入①式,可得 sin(α-j)=sin(j-β).‎ 于是 α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),‎ 或 α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).‎ 若 α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).‎ 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.‎ 由此可知 α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).‎ 即 α+β=2j+2kπ(k∈Z).‎ ‎(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.‎ 解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.‎ 又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E,‎ ‎∴ SC⊥面BDE,‎ ‎∴ SC⊥BD.‎ 又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.‎ 而 SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.‎ ‎∵ DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,‎ ‎∴ BD⊥DE,BD⊥DC. ‎ ‎∴ ∠EDC是所求的二面角的平面角.‎ ‎∵ SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.‎ 又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.‎ 解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.‎ 又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E.‎ ‎∴ SC⊥面BDE,‎ ‎∴ SC⊥BD.‎ 由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.‎ ‎∵DE面BDE,DC面BDC,‎ ‎∴∠EDC是所求的二面角的平面角.‎ 以下同解法一.‎ ‎(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.‎ 解:原不等式可化为 loga(4+3x-x2)>loga2(2x-1). ①‎ 当01时,①式等价于 ‎(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.‎ 解法一:设z=x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.‎ 情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③‎ ‎(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a. ④‎ 由此可知:当a=0时,方程④无正根;‎ ‎(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤‎ 由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;‎ ‎(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. ⑥‎ 由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;‎ 当a>0时,方程⑥无零解.‎ 所以,原方程的实数解是:‎ 当a=0时,z=0;‎ 情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 ‎-y2+2│y│=a. ⑦‎ ‎(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧‎ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.‎ 从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;‎ ‎(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a. ⑨‎ 由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.‎ 从而, 当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;‎ 所以,原方程的纯虚数解是:‎ 当a=0时,z=±2i;‎ 而当a>1时,原方程无纯虚数解.‎ 解法二:设z=x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.‎ 情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a.‎ 情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 ‎-y2+2│y│=a.‎ 当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,‎ 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.‎ 即当01时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.‎ 解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).‎ 情形1. 若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.‎ 情形2. 若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.‎ 解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得 r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a.‎ 于是原方程等价于方程组 情形1. 若r=0.①式变成 ‎0=a. ③‎ 由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.‎ 当a>0时,方程③无解.‎ 所以, 当a=0时,原方程有解z=0;‎ 当a>0时,原方程无零解.‎ ‎(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a. ④‎ 由此可知:当a=0时,方程④无正根;‎ ‎(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 ‎-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤‎ 由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;‎ 从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;‎ 所以, 当a=o时,原方程有解z=±2i;‎ 当01时,原方程无纯虚数解.‎ ‎(26)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.‎ 解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 ‎ ‎ 其中a>b>0待定,0≤θ<2π.‎ 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 ‎ ‎ 大值,由题设得 ‎ ,‎ 因此必有 ‎ ,‎ 由此可得 b=1,a=2.‎ 所求椭圆的参数方程是 ‎ ‎ ‎.‎ 解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是 ‎ ‎ 其中a>b>0待定.‎ ‎ ,‎ 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 ‎ ‎ 其中 -byb.‎ ‎ ‎ 由此得 ‎ ‎ ‎ ,‎ 由此可得 b=1,a=2.‎ 所求椭圆的直角坐标方程是 ‎ ‎