高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 平面向量的概念及线性运算应用能力提升 文

高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 平面向量的概念及线性运算应用能力提升 文

第四篇　平面向量(必修4)‎ 第1节　平面向量的概念及线性运算 ‎【选题明细表】 ‎ 知识点、方法 题号 平面向量的概念 ‎1,10‎ 平面向量的线性运算 ‎3,5,8,13‎ 共线向量问题 ‎2,9‎ 三点共线问题 ‎4,11‎ 综合问题 ‎6,7,12,14‎ 基础对点练(时间:30分钟)‎ ‎1.给出下列命题:‎ ‎①向量与向量的长度相等,方向相反;‎ ‎②+=0;‎ ‎③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;‎ ‎④与是共线向量,则A、B、C、D四点共线.‎ 其中不正确的命题的个数是(　A　)‎ ‎(A)2 (B)3 (C)4 (D)1‎ 解析:①正确;②中+=0,而不等于0;③正确;④中与所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选A.‎ ‎2.“存在实数λ,使得a=λb”,是“a与b共线”的(　A　)‎ ‎(A)充分不必要条件 ‎(B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 ‎(D)既不充分也不必要条件 解析:当a≠0,b=0,a=λb不成立.‎ ‎3.(2015福州期末)化简-+-+++的结果为(　B　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)0‎ 解析:-+-+++=(++++)-(+)=.‎ ‎4.(2015资阳模拟)已知向量=a+3b,=‎5a+3b,=‎-3a+3b,则(　B　)‎ ‎(A)A,B,C三点共线 (B)A,B,D三点共线 ‎(C)A,C,D三点共线 (D)B,C,D三点共线 解析:因为=+=‎2a+6b=2(a+3b)=2,‎ 所以A,B,D三点共线.‎ ‎5.(2015济南校级期中)已知空间四边形ABCD,M,G分别是BC,CD的中点,连接AM,AG,MG,则+(+)等于(　A　)‎ ‎(A) (B) (C) (D) 解析:因为G为CD的中点,‎ 所以+=2,‎ 所以+(+)=+=.‎ ‎6.(2015德阳期末)已知P为△ABC所在平面内一点,且满足=+,则△APB的面积与△APC的面积之比为(　A　)‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)3‎ 解析:令=,=,‎ 则=+,‎ 所以四边形ADPE是平行四边形,S△PAD=S△PAE,‎ 因为=,‎ 所以S△PAE=S△PAC,‎ 因为=,‎ 所以S△PAD=S△PAB,‎ 所以S△PAB∶S△PAC=1∶2.‎ ‎7.(2015高台县校级期末)已知A,B,C三点不在同一条直线上,O是平面ABC内一定点,P是△ABC内的一动点,若-=λ(+),λ∈[0,+∞),则直线AP一定过△ABC的(　A　)‎ ‎(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心 解析:‎ 如图,取BC的中点D并连接AD,‎ 则+=,-=,因为-=λ(+),λ∈[0,+∞),‎ 所以=λ,即A,P,D三点共线,‎ 又因为AD为BC边上的中线,‎ 所以直线AP一定过△ABC的重心.‎ ‎8.(2015黄浦区一模)已知点P,Q是△ABC所在平面上的两个定点,且满足+=0,2++=,若||=λ||,则正实数λ=　　　. ‎ 解析:因为满足+=0,‎ 所以点P是线段AC的中点,‎ 因为2++=,‎ 所以2=---=2,‎ 所以点Q是线段AB的中点,‎ 因为||=λ||,所以λ=.‎ 答案: ‎9.(2015杨浦区二模)已知e1,e2是不平行的向量,设a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于　　　　. ‎ 解析:a与b共线的充要条件是存在实数λ使得a=λb,‎ 所以e1+ke2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,‎ 因为e1,e2是不平行的向量,‎ 所以解得k=±1.‎ 答案:±1‎ ‎10.给出下列命题:‎ ‎①向量的长度与向量的长度相等;‎ ‎②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;‎ ‎③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;‎ ‎④零向量与任意数的乘积都为零.‎ 其中不正确命题的序号是　　　　. ‎ 解析:①与是相反向量,模相等,正确;②由0方向是任意的且与任意向量平行,不正确;③相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;④零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.‎ 答案:②④‎ 能力提升练(时间:15分钟)‎ ‎11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S200=100,A,B,C为平面内三点,点O为平面外任意一点,若=a100+a101,则A,B,C三点(　A　)‎ ‎(A)共线 ‎(B)不共线 ‎(C)共线与否和点O的位置有关 ‎(D)位置关系不能确定 解析:由题意知,S200===100.所以a100+a101=1,根据共线向量定理知A,B,C三点共线.‎ ‎12.(2015浙江镇海中学月考)已知O是三角形ABC所在平面内一定点,动点P满足=+λ(+)(λ≥0),则动点P的轨迹一定过三角形ABC的(　D　)‎ ‎(A)内心 (B)外心 (C)垂心 (D)重心 解析:‎ 如图,AD⊥BC,由于||sin B=‎ ‎||sin C=||,‎ 所以=+λ(+)=+(+),‎ 所以-==(+),‎ 因此点P在三角形ABC的中线上,故动点P的轨迹一定过三角形ABC的重心.‎ ‎13.(2015北京海淀期中)如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC.若=m+n(m,n∈R),则m-n=　　　　. ‎ 解析:因为BD=2DC,‎ 所以=-3,‎ 所以=-,=-,‎ 所以-=-3(-),‎ 所以=-+,则m=-,n=,‎ 所以m-n=--=-2.‎ 答案:-2‎ ‎14.(2015晋江市校级期中)如图,已知△OCB中,B,C关于点A对称,D是将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.‎ ‎(1)用a,b表示向量,;‎ ‎(2)若=λ,求实数λ的值.‎ 解:(1)由题意知A是BC的中点,且=,‎ 由平行四边形法则得+=2,‎ 则=2-=‎2a-b,‎ 则=-=‎2a-b-b=‎2a-b.‎ ‎(2)由题图知∥,‎ 因为=-=‎2a-b-λa=(2-λ)a-b,‎ =‎2a-b,‎ 所以=,‎ 解得λ=.‎ 精彩5分钟 ‎1.(2014北京丰台一模)已知平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,=m,=n(mn≠0),若∥,则=　　　　. ‎ 解题关键:方程思想的应用.‎ 解析:‎ 如图所示,因为E是CD的中点,=,且=+,‎ 所以=-,‎ 而=-.‎ 已知=m,=n,‎ 所以=n-m,‎ 因为∥,‎ 所以一定存在实数λ,使得=λ,‎ 即n-m=λ(-),‎ 所以(m-λ)+(λ-n)=0.‎ 又因为与不共线,‎ 所以所以m=n,‎ 又m≠0,所以=2.‎ 答案:2‎ ‎2.(2015河南实验中学期中)已知三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,O为直线l外一点,若p+q+r=0.其中p,q,r∈R,则p+q+r=　　　　. ‎ 解题关键:注意分类讨论解题.‎ 解析:因为三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,‎ 所以存在实数λ(λ≠0)使=λ.‎ 所以-=λ(-),‎ 即(λ-1)+-λ=0.‎ 因为p+q+r=0,‎ 所以当r=0时,由与不共线知p=q=0,‎ 此时p+q+r=0;‎ 当r≠0时,可知p,q≠0,且==.‎ 此时p+q+r=0.‎ 答案:0‎