- 2021-05-14 发布 |
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文档介绍
江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题平面向量
专题5 平面向量 【典型例题】 例1(填空题) (1)给出下列命题: ① 0=0; ② 对于实数m和向量(m∈R),若,则; ③ 若0,,则; ④ 对任意向量都成立; ⑤对任意向量,有. 其中不正确的序号是 . 解析:①不正确.0=0,是零向量,而0·=0,是数量0; ②不正确.当m=0时,都等于0,这时,向量不一定相等; ③不正确.∵,∴·()=0,又∵0,∴=0或与垂直; ④不正确.∵表示一个与共线的向量,表示一个与共线的向量, 不一定共线,∴与不一定相等; ⑤正确.∵=·=,∴. 综上所述,不正确命题的序号是①②③④. 点评:向量及其运算与数及其运算可以类比,但并不是所有的实数运算法则都可以推广到向量. (2)设与是两个不共线的向量,且向量与共线,则的值为 . 解析:因为与共线,则有,即 所以. (3)平面向量与的夹角为,,则 . 解析:,,, A B C D E ,. (4)如图,正方形ABCD内有一个正,设,则等于 . (用、表示) 解析:因为, ,故. (5)如图,设P、Q为△ABC内的两点,且, =+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 . 5-12 N M Q P C B A 解析:如下图,设,,则,由平行四边形法则,知NP∥AB, 所以=,同理可得, 故. (6)如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为 . 解析:, 设. (7)设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标 的点,向量,设的夹角,则 . 解析:,即为向量与x轴的夹角,所以,所以. (8)已知,且关于x的函数在R上有极值, 则与的夹角范围为 . 解析:在R上有极值方程=0在R上有两个不同的实数根,则,设向量的夹角为,则,所以. (9)如图,在中,是边上一点, D C A B 则. 解析: = . 5-12 点评:本题用定义也能求解,但较繁,由,可得,则,在中可得,又夹角大小为,, 所以;还可以建立坐标用坐标法求解. 向量数量积的定义、向量的拆分、向量的坐标化是处理平面图形中向量数量积问题的常用方法. (10)定义,其中是△内一点,、、分别是△、△、△的面积,已知△中,,, ,则的最小值是 . 解析:由, 则,从而, 所以, 当且仅当时取等号. 例2已知,其中. (1)求证:与互相垂直; (2)若与()的长度相等,求. 解:(1)因为 , 所以与互相垂直. (2)∵||=||,∴||2=||2,展开可得=0. ∵,∴, 又∵,∴. 例3已知向量. (1)若△为直角三角形,求k值; (2)若△ABC为等腰直角三角形,求k值. 解:(1), 若,则; 若,则无解; 5-12 若,则, 综上所述,当时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形; 当时,△ABC是以C为直角顶点的直角三角形. (2)当k=1时,; 当时, ; 当时, . 综上所述,当k=1时,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形. 例4已知向量,,其中O为坐标原点. (1)若,求向量与的夹角; (2)若≥对任意实数都成立,求实数的取值范围. 解:(1)设向量与的夹角为,则, 当时,,;当时,,. 故当时,向量与的夹角为;当时,向量与的夹角为. (2)对任意的恒成立, 即对任意的恒成立, 即对任意的恒成立, 所以或,解得或. 故所求实数的取值范围是∪. 另解:由,可得的最小值为,然后将已知条件转化为,由此解得实数的取值范围. 例5 如图中,是以 5-12 为圆心,以1为半径的圆的一条直径.问:与的夹角为何值时,有最大值和最小值. 解:∵, ∴ , 当,即时, ; 当,即时, . A B C E F M N 例6如图,在边长为1的正三角形中,分别是边上的点,若 ,.设的中点为,的中点为. ⑴若三点共线,求证; ⑵若,求的最小值. 学科网 解:⑴由三点共线,得, 设(R),即, 所以,所以. ⑵因为=, 又,所以, 所以 =, 故当时,. 5-12 【新题备选】 1.定义是向量a和b的“向量积”,它的长度其中为 向量和的夹角,若则= . 解:由条件,则, , 所以,. 2.已知、、是直线上的不同的三点,是外一点,向量、、满足:,记,则函数的解析式为 . 解:, ∴. 又、B、C在同一条直线上, ∴, ∴. 即. 3.如图,在正方形中,已知,为的中点,若为正方形内(含边界)任意一点,则的最大值是 . 解:以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立直角坐标系, 设N(x,y)则,,则 因为,由线性规划的知识可得. 4.在中, (1)若为直线上一点,且,求证:; (2)若,,且为线段上靠近的一个三等分点,求的值; (3)若,,且,,,…,为线段的个等分点,求的值. 解:(1)由,得, 即,因为,所以; 5-12 (2), 因为,, 所以. 由于为线段上靠近的一个三等分点,故,所以. (3)= = == ==. 5-12 【专题训练】 一、填空题 1.是平面内不共线的两个向量,已知k, ,若三点共线,则的值是 . 2.已知向量,则在方向上的投影为 . 3.已知向量,其中、均为非零向量,则的取值范围是 . 4.已知向量=(1,3),=(2,1),若+2与3+λ平行,则λ的值等于 . 5.已知向量.若向量,则实数的值是 . 6.若向量满足,则向量的夹角大小为 . 7.设向量与的模分别为6和5,夹角为120°,则等于 . 8.如图,在△ABC中, = . (用,表示) 9.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 . 10. 在中,,若,则 . H M C B A 11.已知是内一点,且满足0,记、、的面积依次为,则等于 . 12. 如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°, AH⊥BC,垂足为H,M为AH的中点,若的值等于 . 13.如图,在直角中,已知,为的靠近A点的三等分点,若为直角内(含边界)任意一点,则的最大值是 . 14.设函数,点表示坐标原点,点,若向量,的夹角,设,则 . 二.解答题 5-12 15.已知向量. (1)当时,求的值; (2)求函数的最小正周期. 16.已知向量与的对应关系用表示. (1)设,求向量及的坐标; (2)求使,(为常数)的向量的坐标; (3)证明:对于任意向量及常数恒有成立 17.如图,平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,=120. (1)求cos∠BAD; (2)设的值. 18.已知向量=(cos,sin),=(cos,-sin), 且x∈[0,], 若f (x)=·-2︱+︱的最小值为-7,求实数的值. 19.已知等边三角形的边长为2,⊙的半径为1,为⊙的任意一条直径. (1)判断的值是否会随点的变化而变化,请说明理由; (2)求的最大值. 20.已知、分别是x轴,y轴方向上的单位向量,且(n=2,3,4...),在射线上从下到上依次有,且. (1)求; 5-12 (2)求; (3)四边形面积的最大值. 【专题训练参考答案】 1.2 2.2 3. 4.6 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.6 14. 15.解:(1)由已知得, = (2) ,∴函数的周期是π. 16.解:(1)由已知得=(1,1),=(0,-1);(2)设=(x,y),则,所以y=p,x=2p-q,即=(2p-q,p). (3)设,则, 故, ∴. 17.解:(1)设, ,∴, ∴. (2)由,∴ 解得:. 本题第(2)小题也可用坐标法完成. 5-12 18.解:f (x)= ·-2︱+︱=cos2x-2(2cosx)=2cos2x-4cosx-1 =2(cosx-)2-22-1, 若<0,当cosx=0时,f (x)取得最小值-1,不合题意; 若>1,当cosx=1时,f (x)取得最小值1-4,由题意有1-4=-7,得=2; 若0≤≤1,当cosx=时,f (x)取得最小值-22-1,由题意有-22-1=-7, 得=±(舍去).综上所述:=2. 19.解:(1)∵, = ∵,, ∴,即的值不会随点的变化而变化. (2)∵,∴. 又∵ , ∴(当且仅当与同向时等号成立).∴的最大值为3. 20. (1) ∵ ∴. (2)∵ ∴ 又∵由条件得, ∴. (3)记四边形An An+1 Bn+1 Bn面积为Sn,∵且△An An+1 Bn+1中边An An+1上的高为h1=2n+3,△An Bn Bn+1中,点An到边Bn Bn+1的距离为h2= 则. 而 5-12 ∴ ∴. 5-12查看更多