2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案

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2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案

规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系 典例6 (15分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎①求的值;②求△ABQ面积的最大值.‎ 审题路线图 (1)―→ ‎(2)①―→ ‎②―→‎ ―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解 (1)由题意知+=1.又=,‎ 解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.3分 ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.‎ ‎①设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).‎ 因为+y=1,又+=1,即=1,‎ 所以λ=2,即=2.7分 ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎-16=0,‎ 由Δ>0,可得m2<4+16k2,(*)‎ 第一步 求圆锥曲线方程:根据基本量法确定圆锥曲线的方程.‎ 第二步 联立消元:将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程:Ax2+Bx+C=0,然后研究判别式,利用根与系数的关系得等式.‎ 第三步 3‎ 则x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.‎ 因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),‎ 所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|= ‎==2.11分 设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,‎ 可得(1+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.(**)‎ 由(*)(**)可知0‎0”‎和“Δ≥‎0”‎者,每处扣2分;联立方程消元得出关于x的一元二次方程给2分;根与系数的关系写出后给1分;求最值时,不指明最值取得的条件扣1分.‎ 跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.‎ ‎(1)解 由已知得F(1,0),l的方程为x=1.‎ 由已知可得,点A的坐标为或.‎ 又M(2,0),‎ 所以AM的方程为y=-x+或y=x-.‎ 即x+y-2=0或x-y-2=0.‎ ‎(2)证明 当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.‎ 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,‎ 3‎ 所以∠OMA=∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和 kMA+kMB=+.‎ 由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得 kMA+kMB=.‎ 将y=k(x-1)代入+y2=1,得 ‎(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由题意知Δ>0恒成立,‎ 所以x1+x2=,x1x2=.‎ 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,‎ 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补.‎ 所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.‎ 3‎
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