高考数学概率与统计专题复习

高考数学概率与统计专题复习

高考复习专题之：概率与统计 一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.‎ ‎１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； ‎ 注：求随机概率的三种方法：‎ ‎（一）枚举法 ‎ 例1如图1所示，有一电路是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是 ．‎ 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。‎ 解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)==‎ ‎ 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.‎ ‎（二）树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如， ‎ 两人同时出象牌，则两人平局．如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ ‎ ‎ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。‎ 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P（一次出牌小刚胜小明）=‎ 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 ‎（三）列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．‎ 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 ‎ 是6的倍数的可能情况。‎ 解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以（1）两位数是偶数的概率为．（2）两位数是6的倍数的概率为．‎ 点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 ‎2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。‎ ‎3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。‎ ‎4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；‎ ‎5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。‎ ‎6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。‎ 提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。‎ 二、随机变量.‎ ‎1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：‎ ‎①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.‎ ‎2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.‎ 设离散型随机变量ξ可能取的值为：‎ ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.‎ ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 有性质：①； ②.‎ 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.‎ ‎3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.‎ ‎⑵二项分布的判断与应用.‎ ‎①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.‎ ‎②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.‎ ‎4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ k ‎…‎ P q ‎ qp ‎ ‎…‎ ‎…‎ 我们称ξ服从几何分布，并记，其中 ‎5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕‎ ‎⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.‎ ‎⑶超几何分布与二项分布的关系.‎ 设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.‎ 三、数学期望与方差.‎ ‎1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.‎ ‎2. ⑴随机变量的数学期望： ‎ ‎①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.‎ ‎②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.‎ ‎③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P q p ‎⑵单点分布：其分布列为：. ‎ ‎⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）‎ ‎⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）‎ ‎⑸几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）‎ ‎3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.‎ ‎4.方差的性质.‎ ‎⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P q p ‎⑵单点分布： 其分布列为 ‎⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）‎ ‎⑷二项分布：‎ ‎⑸几何分布： ‎ ‎5. 期望与方差的关系.‎ ‎⑴如果和都存在，则 ‎⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则 ‎⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）.‎ 四、正态分布.（基本不列入考试范围）‎ ‎1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积 ‎（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”‎ 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.‎ ‎2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.‎ ‎⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.‎ ‎⑶正态曲线的性质.‎ ‎①曲线在x轴上方，与x轴不相交.‎ ‎②曲线关于直线对称.‎ ‎③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.‎ ‎④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.‎ ‎⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.‎ ‎3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.‎ 注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. ‎ ‎⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通 常用表示，且有. ‎ ‎4.⑴“3”原则.‎ 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.‎ ‎⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％‎ ‎ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.‎