2001——2011近十年高考数学全国卷2试题及解析1

2001——2011近十年高考数学全国卷2试题及解析1

第 页 1 2001年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 第Ⅰ卷(选择题共60分) 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧 其中c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长 台体的体积公式 V台体 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 (1) 若siniθcosθ＞0，则θ在 ( ) (A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、四象限 (D) 第二、四象限 (2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是 ( ) (A) (x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 (B) (x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 (C) (x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 (D) (x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4 (3) 设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是 ( ) ( ) ( )[ ]βαβαβ −++= sinsin2 1cossin a ( ) ( )[ ]βαβαβ −−+= sinsin2 1sincosa ( ) ( )[ ]βαβαβ −++= coscos2 1coscosa ( ) ( )[ ]βαβαβ −−+−= coscos2 1sinsin a lcc )(2 1 +′= hSSSS )(3 1 +′+′= 第 页 2 (A)( ) (B) (C) ( ，＋∞) (D) (0，＋∞) (5) 极坐标方程 的图形是 ( ) (6) 函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 ( ) (A) y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (B) y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (C) y = arc cos (x－1)(0≤x≤2) (D) y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2) (7) 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0) F2 (3，0)，则其离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D) (8) 若0＜α＜β＜ ，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则 ( ) (A) a＜b (B) a＞b (C) ab＜1 (D) ab＞2 (9) 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若 ，则AB1 与C1B所成的角的大小为 ( ) (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° (10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题： ① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增； ② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增； ③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减； ④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ (11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖 法屋顶面积分别为P1、P2、P3． 2 10，     2 10， 2 1 )4sin(2 πθρ += 4 3 3 2 2 1 4 1 4 π 12BBAB = 第 页 3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) (A) P3＞P2＞P1 (B) P3＞P2 = P1 (C) P3 = P2＞P1 (D) P3 = P2 = P1 (12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线 相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大 信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传 递的最大信息量为 ( ) (A) 26 (B) 24 (C) 20 (D) 19 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． (13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的侧面积是 (14)双曲线 的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 (15)设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则 q = (16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分12分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1， ． (Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积； (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 3 1169 22 =− yx 2 1=AD 第 页 4 (18) (本小题满分12分) 已知复数z1 = i (1－i) 3． (Ⅰ)求arg z1及 ； (Ⅱ)当复数z满足 =1，求 的最大值． (19) (本小题满分12分) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴． 证明直线AC经过原点O． (20) (本小题满分12分) 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n． (Ⅰ)证明 ； 1z 1z 1zz − i n ii m i PmPn < 第 页 5 (Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． (21) (本小题满分12分) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业 ．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游 业收入每年会比上年增加 ． (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的 表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22) (本小题满分14分) 设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0， ]都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0． (Ⅰ)求f ( ) 及f ( )； (Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； 5 1 4 1 2 1 2 1 4 1 第 页 6 (Ⅲ)记an = f (2n＋ )，求 ． 2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．圆 的圆心到直线 的距离是 A． 　　　 B． 　　　 C．1　　　　 D． 2．复数 的值是 A． 　　　　 B． 　　　　 C． 　　　　　 D．1 3．不等式 的解集是 A． 　　　 B． 且 C． 　　　 D． 且 n2 1 ( )nn alnlim∞→ 1)1( 22 =+− yx 3 3y x= 2 1 2 3 3 3)2 3 2 1( i+ i− i 1− 0|)|1)(1( >−+ xx }10|{ <≤ xx 0|{ x )4 5,()2,4( ππππ  ),4( ππ )4 5,4( ππ )2 3,4 5(),4( ππππ  },4 1 2|{ ZkkxxM ∈+== },2 1 4|{ ZkkxxN ∈+== NM = NM ⊂ NM ⊃ ∅=NM  )0,1(P    = = ty tx 2 2 Rt ∈ 2 4 3 5 4 5 3 5 3− 111111 FEDCBAABCDEF − 2 DE1 1BC °90 °60 °45 °30 cbxxy ++= 2 ),0[ +∞∈ 0≥b 0≤b 0>b 0 ≤ x x 1)( 0 >xf 0x 1− 1− ∞+ ∞− 2− ∪ ∞+ ∞− 1− ∪ ∞+ )cos(sinsin2 xxxy += 21+ 12 − 2 4)2()( 22 =−+− yax 0>a l 03 =+− yx l 32 a 2 22 − 12 − 12 + 22 Rπ 2 4 9 Rπ 2 3 8 Rπ 2 2 3 Rπ 0)2)(2( 22 =+−+− nxxmxx 4 1 =− || nm 4 3 2 1 8 3 7 1−= xy 3 2− 143 22 =− yx 134 22 =− yx 125 22 =− yx 152 22 =− yx xxf sin)( = ]2 3,2[ ππ∈x =− )(1 xf xarcsin− 1[−∈x xarcsin−−π 1[−∈x xarcsin+π 1[−∈x xarcsin−π 1[−∈x 0P θ 1P 2P 3P 4P 4P 4x 21 4 << x θ 3 1 3 1 3 2 5 2 2 1 5 2 3 2 第 页 12 11． （ ） （A）3 （B） （C） （D）6 12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数 学（理工农医类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13． 的展开式中 系数是 14．使 成立的 的取值范围是 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着 色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种 颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 （以数字作答） 16．下列5个正方体图形中， 是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出 面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号） ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数 的辐角为 ，且 是 和 的等比中项，求 =++++ ++++ ∞→ )(lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 n n n CCCCn CCCC   3 1 6 1 2 π3 π4 π33 π6 92 )2 1( xx − 9x 1)(log 2 +<− xx x l ⊥l z °60 |1| −z || z |2| −z || z P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 2 1 5 3 4 第 页 13 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，D、E分别是 与 的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I）求 与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II） 求点 到平面AED的距离 19．（本小题满分12分） 已知 ，设 P：函数 在R上单调递减 Q：不等式 的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求 的取值范围 20．（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南 ）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 111 CBAABC − °=∠ 90ACB 21 =AA 1CC BA1 BA1 1A 0>c xcy = 1|2| >−+ cxx c 10 2arccos( =θθ °45 D E K B C 1 A 1 B 1 A F CG θ O 北 东 O y 线 岸 O x P O r ( t ) P45° 海 第 页 14 21．（本小题满分14分） 已知常数 ，在矩形ABCD中， ， ，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离 的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理 由 22．（本小题满分12分，附加题4 分） （I）设 是集合 且 }中所有的数从小到大排列成的数列，即 ， ， ， ， ， ，… 将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 — — — — ………… ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； ⑵求 （II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分） 设 是集合 ，且 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 ，求 . 0>a 4=AB aBC 4= BE CF DG BC CD DA = = }{ na |22{ ts + ts <≤0 Zts ∈, 31 =a 52 =a 63 =a 94 =a 105 =a 126 =a }{ na 100a }{ nb tsrtsr <<≤++ 0|222{ },, Ztsr ∈ 1160=kb k O P A G D F E C B x y 第 页 15 2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ） (四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的． （1）已知集合M＝{x|x2＜4 ，N＝{x|x2－2x－3＜0 ，则集合M∩N＝ （A）{x|x＜－2 　　　　 （B）{x|x＞3}　　　　　 （C）{x|－1＜x＜2 　　　 （D）{x|2＜x＜3 （2） ＝ （A） 　　　　　　 　　（B）1　　　　　　　 （C） 　　　　　　　　 （D） （3）设复数ω＝－ ＋ i，则1＋ω＝ （A）–ω　　　　 　　　（B）ω2　　　　　 （C） 　　　　　 　　（D） （4）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为 （A）(x＋1)2＋y2＝1　　　 （B）x2＋y2＝1　　　 （C）x2＋(y＋1)2＝1　　　 （D）x2＋(y－1)2＝1 （5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点( ,0)，则φ可以是 （A）－ 　　　　　（B） 　　　　　　（C）－ 　　　　 　（D） } } } } } 54 2lim 2 2 1 −+ −+ → xx xx n 2 1 5 2 4 1 2 1 2 3 ω 1− 2 1 ω 12 π 6 π 6 π 12 π 12 π 第 页 16 （6）函数y＝－ex的图象 （A）与y＝ex的图象关于y轴对称　　　　（B）与y＝ex的图象关于坐标原点对称 （C）与y＝e－x的图象关于y轴对称　　　（D）与y＝e－x的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 ，则球心O到平面ABC的距离为 （A） 　　　　　　　　（B） 　　　 　　　（C） 　　　 　　（D） （8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有 （A）1条　　　　　　 　（B）2条　　　　　　　（C）3条　　　　　　（D）4条 （9）已知平面上直线 的方向向量 ，点O(0,0)和A(1,-2)在 上的射影分别是O1和A1，则 ＝ ，其中 ＝ （A） 　　　　　　　（B）－ 　　　　　　　（C）2　　　　　　（D）－2 （10）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数 （A）( ， )　　　（B）( ，2 )　　 （C）( ， )　　 　（D）(2 ，3 ) （11）函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为 （A） 　　　　　　　　（B） 　　　　　　　　（C） 　　　　　　（D）2 （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的 数共有 （A）56个　　　　　（B）57个　　　　　（C）58个　　　　　　（D）60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概 率分布为 ξ 0 1 2 P （14）设x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则 该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 2 π 3 1 3 3 3 2 3 6 l )5 3,5 4(−=e l 11 AO λ e λ 5 11 5 11 2 π 2 3π π π 2 3π 2 5π π π 4 π 2 π π π    ≤− ≥ ≥ ，yx y，x ，x 12 0 第 页 17 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是　　 　(写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分) 已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝ ，sin(A－B)＝ ． (Ⅰ)求证：tanA＝2tanB； (Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高． （18）(本小题满分12分) 已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求 (Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分) 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{ }是等比数列； (Ⅱ)Sn＋1＝4an． 5 3 5 1 n n 2+ n S n 第 页 18 （20）(本小题满分12分) ． 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝ ，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M． (Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM； (Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小． （21）(本小题满分12分) 给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点． (Ⅰ)设l的斜率为1，求 与 夹角的大小； (Ⅱ)设 ＝ ，若 ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分) 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx． (1)求函数f(x)的最大值； (2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g( )＜(b－a)ln2． 2 OA OB FB AFλ λ 2 ba + 第 页 19 2005年高考理科数学全国卷（二） （必修+选修II） 第I卷 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题： 1. 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 2. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点. 那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 3. 函数 的反函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 内是减函数，则（ ） 24 RS π= 3 3 4 RV π= knkk nn PPCkP −−= )1()( 4 π 2 π )0(13 2 ≤−= xxy )1()1( 3 −≥+= xxy )1()1( 3 −≥+−= xxy )0()1( 3 ≥+= xxy )0()1( 3 ≥+−= xxy )2,2(tan ππω −= 在xy Y C Y 第 页 20 A. 0< ≤1 B. －1≤ <0 C. ≥1 D. ≤－1 5. 设a、b、c、d∈R，若 为实数，则（ ） A. bc+ad≠0 B. bc－ad≠0 C. bc－ad=0 D. bc+ad=0 6. 已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 锐角三角形的内角A、B满足tanA－ =tanB，则有（ ） A. sin2A－cosB=0 B. sin2A+cosB=0 C. sin2A－sinB=0 D. sin2A+sinB=0 8. 已知点A（ ，1），B（0，0）C（ ，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 等于（ ） A. 2 B. C. －3 D. － 9. 已知集合M=|x|x2－3x－28≤0|N={x|x2－x－6>0|，则M∩N为（ ） A. |x|－4≤x<－2或33| D. |x|x<－2或x≥3| 10. 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相 同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5 秒后点P的坐标为（ ） A. （－2，4） B. （－30，25） C. （10，－5） D. （5，－10） 11. 如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ） ω ω ω ω dic bia + + 136 22 =− yx 5 63 6 65 5 6 6 5 A2sin 1 3 3 λλ 其中,CEBC = 2 1 3 1 第 页 21 A. a1a8＞a4a5 B. a1a8＜a4a5 C. a1＋a8＞a4＋a5 D. a1a8＝a4a5 12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高 的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3. 本卷共10小题，共90分. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.） 13. 圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 . 14. 设 为第四象限的角，若 . 15. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的 数共有 个. 16. 下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱 锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. 3 623 + 3 622 + 3 624 + 3 6234 + α αα α 2tan,5 13 sin 3sin 则= Y C Y 第 页 22 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17. （本小题满分12分） 设函数 的x取值范围。 18. （本小题满分12分） 已知 是各项均为正数的等差数列， 、 、 成等差数列，又 （Ⅰ）证明 为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项a1和公差d. （注：无穷数列各项的和即当 时数列前n项和的极限） 19. （本小题满分12分） }{ na 1lga 2lga 4lga }{ nb }{ nb 3 1=S }{ na ∞→n 第 页 23 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6 .本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间 没有影响.令 为本场比赛的局数,求 的概率分布和数学期望.（精确到0.0001） 20. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P— ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB； （Ⅱ）设AB= BC，求AC与平面AEF所成的角的大小. 21. （本小题满分14分） ξ ξ 2 第 页 24 P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。 22. （本小题满分12分） 已知 （Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设 在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 数学（理工农医类） 第Ｉ卷 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 12 2 2 =+ yx .0,, = → ⋅ →→→→→ MFPFFNMFFQPF 且线与共线与 .)2()(,0 2 xeaxxxfa −=≥ 函数 )(xf 球的表面积公式 24S Rπ= 其中Ｒ表示球的半 径 球的体积公式 34 3V Rπ= 其中Ｒ表示球的半 径 第 页 25 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率是 一．选择题 （1）已知集合 ，则 ( ) （A） 　　　（B） （C） 　　（D） （2）函数 的最小正周期是( ) （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （3） ( ) （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ( ) （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （5）已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 的周长是( ) （A） 　　　　（B）6　　　　（C） 　　　　（D）12 （6）函数 的反函数为( ) （A） 　　　　（B） （C） 　　　　（D） ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + ( . ) ( ). ( )P A B P A P B= n k ( ) (1 )k k n k n nP k C P P −= − { }2{ | 3}, | log 1M x x N x x= < = > M N = ∅ { }| 0 3x x< < { }|1 3x x< < { }| 2 3x x< < sin 2 cos2y x x= 2π 4π 4 π 2 π 2 3 (1 )i =− 3 2 i 3 2 i− i i− 3 16 9 16 3 8 9 32 ABC∆ 2 2 13 x y+ = ABC∆ 2 3 4 3 ln 1( 0)y x x= + > 1( )xy e x R+= ∈ 1( )xy e x R−= ∈ 1( 1)xy e x+= > 1( 1)xy e x−= > 第 页 26 （7）如图，平面 平面 ， 与两平面 、 所成的角分别为 和 。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为 、 则 ( ) （A） 　（B） （C） 　　（D） （8）函数 的图像与函数 的图像关于原点对称，则 的表达式为( ) （A） 　　　　（B） （C） 　　　　（D） （9）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为( ) （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （10）若 则 ( ) （A） 　　B） （C） 　　（D） （11）设 是等差数列 的前 项和，若 则 ( ) （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （12）函数 的最小值为( ) （A）190　　　　（B）171　　　　（C）90　　　　（D）45 第II卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在 的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答） （14）已知 的三个内角A、B、C成等差数列，且 则边BC上的中线AD的长为＿＿＿＿＿＿＿。 （15）过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率 α ⊥ β , ,A B ABα β∈ ∈ α β 4 π 6 π 'A ',B : ' 'AB A B = 2:1 3:1 3: 2 4:3 ( )y f x= 2( ) log ( 0)g x x x= > ( )f x 2 1( ) ( 0)logf x xx = > 2 1( ) ( 0)log ( )f x xx = <− 2( ) log ( 0)f x x x= − > 2( ) log ( )( 0)f x x x= − − < 2 2 2 2 1x y a b − = 4 3y x= 5 3 4 3 5 4 3 2 (sin ) 3 cos2 ,f x x= − (cos )f x = 3 cos2x− 3 sin 2x− 3 cos2x+ 3 sin 2x+ nS { }na n 3 6 1 ,3 S S = 6 12 S S = 3 10 1 3 1 8 1 9 19 1 ( ) n f x x n = = −∑ 4 101( )x x + ABC∆ 1, 4,AB BC= = (1, 2) l 2 2( 2) 4x y− + = l ____.k = A' B' A B β α 第 页 27 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000 人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在 （元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分） 已知向量 （I）若 求 （II）求 的最大值。 （18）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产 品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）用 表示抽检的6件产品中二等品的件数，求 的分布列及 的数学期望； （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用 户拒绝的概率。 （19）（本小题满分１２分） 如图，在直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点。 0.0005 3000 3500 0.0003 0.0004 20001500 0.0002 0.0001 400025001000 月收入（元） 频率/组距 [2500,3000) (sin ,1), (1,cos ), .2 2a b π πθ θ θ= = − < <  ,a b⊥  ;θ a b+  ξ ξ ξ 1 1 1ABC A B C− ,AB BC D= E 1BB 1AC 第 页 28 （I）证明：ED为异面直线 与 的公垂线； （II）设 求二面角 的大小。 （20）（本小题１２分） 设函数 若对所有的 都有 成立，求实数 的取值范围。 （21）（本小题满分为１４分） 已知抛物线 的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明 为定值； （II）设 的面积为S，写出 的表达式，并求S的最小值。 （22）（本小题满分１２分） 设数列 的前 项和为 ，且方程 1BB 1AC 1 2 ,AA AC AB= = 1 1A AD C− − ( ) ( 1)ln( 1).f x x x= + + 0,x ≥ ( )f x ax≥ a 2 4x y= ( 0).AF FBλ λ= >  .FM AB  ABM∆ ( )S f λ= { }na n nS B A C C1 B1 A1 D E 第 页 29 有一根为 （I）求 （II）求 的通项公式 2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ) 理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 1． （ ） 2 0n nx a x a− − = 1, 1,2,3,...nS n− = 1 2, ;a a { }na A B， ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24πS R= A B， R ( ) ( ) ( )P A B P A P B=  A p 34 π3V R= n A k R ( ) (1 ) ( 01 2 )k k n k n nP k C p p k n−= − = ，，，… ， sin 210 = 第 页 30 A． B． C． D． 2．函数 的一个单调增区间是（ ） A． B． C． D． 3．设复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．下列四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 5．在 中，已知 是 边上一点，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 7．已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 8．已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 9．把函数 的图像按向量 平移，得到 的图像，则 （ ） A． B． C． D． 3 2 3 2 − 1 2 1 2 − siny x= π π − 4 4 ， 3π π   4 4 ， 3π π 2 ， 3 2 π π 2 ， z 1 2i iz + = z = 2 i− + 2 i− − 2 i− 2 i+ 2(ln 2) ln(ln 2) ln 2 ln 2 ABC△ D AB 12 3AD DB CD CA CBλ= = +    ， λ = 2 3 1 3 1 3 − 2 3 − 2 1 04 x x − >− ( 21)− ， (2 )+ ∞， ( 21) (2 )− + ∞， ， ( 2) (1 )−∞ − + ∞， ， 1 1 1ABC A B C− 1AB 1 1ACC A 6 4 10 4 2 2 3 2 2 3ln4 xy x= − 1 2 1 2 exy = (2 3)= ，a ( )y f x= ( )f x = 3e 2x− + 3e 2x+ − 2e 3x− + 2e 3x+ − 第 页 31 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期 五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 11．设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ，使 且 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则 （ ） A．9 B．6 C．4 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷共10题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 14．在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ．若 在 内取值的概率为0.4，则 在 内取值的概率为 ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那 么该棱柱的表面积为 cm ． 16．已知数列的通项 ，其前 项和为 ，则 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ． （1）求函数 的解析式和定义域； （2）求 的最大值． 1 2F F， 2 2 2 2 x y a b − A 1 2 90F AF∠ =  1 23AF AF= 5 2 10 2 15 2 5 F 2 4y x= A B C， ， FA FB FC+ + = 0   FA FB FC+ + =   8 2 1(1 2 )x x x  + −   ξ 2(1 )( 0)N σ σ >， ξ (01)， ξ (0 2)， 2 5 2na n= − + n nS 2lim n n S n∞ = → ABC△ A π= 3 2 3BC = B x= y ( )y f x= y 第 页 32 18．（本小题满分12分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 ． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件， 表示取出的2件产品中二等品的件数，求 的分布列． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 侧棱 底面 分别为 的中点． （1）证明 平面 ； （2）设 ，求二面角 的大小． 20．（本小题满分12分） 在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切． （1）求圆 的方程； A ( ) 0.96P A = p ξ ξ S ABCD− ABCD SD⊥ ABCD E F， ， AB SC， EF ∥ SAD 2SD DC= A EF D− − xOy O 3 4x y− = O A E B C F S D 第 页 33 （2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围． 21．（本小题满分12分） 设数列 的首项 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，证明 ，其中 为正整数． 22．（本小题满分12分） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ． O x A B， P PA PO PB， ， PA PB   { }na 1 1 3(01) 2 3 42 n n aa a n−−∈ = =，， ， ，，，… { }na 3 2n n nb a a= − 1n nb b +< n 3( )f x x x= − ( )y f x= ( ( ))M t f t， 0a > ( )a b， ( )y f x= ( )a b f a− < < 第 页 34 2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=C Pk(1－P)n－k 本卷12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 一．选择题 （1）设集合 , ,则 A． B. C. D (2)设a，b∈R且b≠0，若复数 是实数，则 A． B. C. D. (3)函数 的图像关于 k n }23{ <<−∈= mZmM }31{ ≤≤−∈= nZnN =∩ NM }1,0{ }1,0,1{− }2,1,0{ }2,1,0,1{− 3bi)(a + 22 3ab = 22 3ba = 22 9ab = 22 9ba = xxxf −= 1)( 球的表面积公式 S=4 2Rπ 其中R表示球的半径， 球的体积公式 V= 3 3 4 Rπ ， 其中R表示球的半径 第 页 35 A． y轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x (4)若 ， , , ,则 A． B. C. D. （5）设变量x,y满足约束条件： 则 的最小值为： A．-2 B.-4 C. -6 D.-8 （6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学 又有女同学的概率为 A． B. C. D. （7） 的展开式中x的系数是 A．-4 B.-3 C.3 D.4 （8）若动直线 与函数 和 的图像分别交于M、N两点，则 的最大值为 A．1 B. C. D.2 （9）设 ，则双曲线 的离心率e的取值范围是 A． B. C. D. （10）已知正四棱锥S- ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 A． B. C. D. （11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 和 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A． B. C. D. （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2 ，则两圆的圆心距等于 )1,( 1−∈ ex xln=a xln2=b x3ln=c cba << bac << cab << acb << 2 ,22 , −≥ ≤+ ≥ x yx xy yxz 3−= 29 9 29 10 29 19 29 20 ( ) ( )46 11 xx +− ax = xxf sin)( = xxg cos)( = MN 2 3 1>a 2 2 2 2 1( 1) x y a a − =+ )2,2( )5,2( )5,2( )5,2( 3 1 3 2 3 3 3 2 02 =−+ yx 047 =−− yx 3 2 3 1− 2 1− 第 页 36 A． B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）把 答案填在答题卡上。 （13）设向量a=（1，2），b=（2，3）.若向量λa+b与向量c=（4，-7）共线，则λ= . (14)设曲线 在点（0，1）处的切线与直线 垂直，则a= . (15)已知F为抛物线C： 的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设 .则 与 的比值等于 . (16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 三．解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤。 (17)（本小题满分10分） 在△ABC中， ， . (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)求△ABC的面积 ,求BC的长. 1 2 3 2 axey = 012 =++ yx xy 42 = FBFA > FA FB 13 5cos −=B 5 4cos =C Asin 2 33=ABCS 第 页 37 （18）（本大题满分12分） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出 险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否 出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为 . (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p； (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0， 求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）. (19)( 本大题满分12分) 如图，正四棱柱 中， ,点E在上且 . (Ⅰ)证明： 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的大小. (20) （本大题满分12分） 设数列 的前n项和为 .已知 ， ， . (Ⅰ)设 ，求数列 的通项公式； (Ⅱ) 若 ， ，求a的取值范围. 410999.01− 1111 DCBA-ABCD 421 == ABAA ECEC 31 = ⊥CA1 BED B-DE-A1 }{ na nS aa =1 n nn Sa 31 +=+ *Nn ∈ n nn Sb 3−= }{ nb nn aa ≥+1 *Nn ∈ 第 页 38 (21) （本大题满分12分） 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点. (Ⅰ)若 ,求k的值； 求四边形AEBF面积的最大值. (22) （本大题满分12分） 设函数 . (Ⅰ)求 的单调期间； (Ⅱ)如果对任何 ，都有 ，求a的取值范围. )0( >= kkxy DFED 6= x xxf cos2 sin)( += )(xf 0≥x axxf ≤)( 第 页 39 2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2） 理科数学 第I卷（选择题，共60分） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 , 那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的。 一、选择题： 1. A. B. C. D. 2. 设集合 ，则 = A. B. C. D. 3. 已知 中， ， 则 A. B. C. D. 4.曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 5. 已知正四棱柱 中， 为 中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为 A. B. C. D. ( ) ( ) ( )P A B P A B+ = + 2=4S Rπ A B、 R ( ) ( ) ( )P A B P A B⋅ = ⋅ A p 34 3V Rπ= n A k R ( ) ( ) ( )1 0,1,2...n kk k n nP k C P p k n−= − = 10i 2-i = -2+4i -2-4i 2+4i 2-4i { } 1| 3 , | 04 xA x x B x x − = > = < −  A B ∅ ( )3,4 ( )2,1− ( )4.+ ∞ ABC∆ 12cot 5A = − cos A = 12 13 5 13 5 13 − 12 13 − 2 1 xy x = − ( )1,1 2 0x y− − = 2 0x y+ − = 4 5 0x y+ − = 4 5 0x y− − = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= ，E 1AA BE 1CD 10 10 1 5 3 10 10 3 5 第 页 40 6. 已知向量 ，则 A. B. C. D. 7. 设 ，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 8. 若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为 A． B. C. D. 9. 已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则 A. B. C. D. 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 11. 已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交 于 两点，若 ,则 的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． B. C. D. 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的 一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。 13. 的展开式中 的系数为 。 14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )2,1 , 10,| | 5 2a a b a b= ⋅ = + = | |b = 5 10 5 25 3 2 3log , log , log 2a b cπ π= = = a b c> > a c b> > b a c> > b c a> > ( )tan 04y x πω ω = + >   6 π tan 6y x πω = +   ω 1 6 1 4 1 3 1 2 ( )( )2 0y k x k= + > 2: 8C y x= A B、 F C | | 2 | |FA FB= k = 1 3 2 3 2 3 2 2 3 ( )2 2 2 2 1 0, 0x yC a ba b − = > >： F F 3 C A B、 4AF FB= C 6 5 7 5 5 8 9 5 ∆ ( )4 x y y x− 3 3x y { }na n nS 5 35a a= 4 5 S S = 第 页 41 15.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成45°角的平面截球 的表面得到圆 。若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 16. 已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形 的面积的最大值为 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分） 设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 。 18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）证明： （II）设二面角 为60°，求 与平面 所 成的角的大小。 19（本小题满分12分） 设数列 的前 项和为 已知 （I）设 ，证明数列 是等比数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）求数列 的通项公式。 OA O M OA M OA O C C 7 4 π O AC BD、 O 2 2 4x y+ = ( )1, 2M ABCD ABC∆ A B C a b c 3cos( ) cos 2A C B− + = 2b ac= B 1 1 1ABC A B C− ,AB AC D⊥ E 1AA 1B C DE ⊥ 1BCC AB AC= A BD C− − 1B C BCD { }na n ,nS 1 1,a = 1 4 2n nS a+ = + 1 2n n nb a a+= − { }nb { }na 第 页 42 20（本小题满分12分） 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用 分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组各抽取的人数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 （21）（本小题满分12分） 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与 相交于 、 粮店，当 的斜率为1时，坐标原点 到 的距离为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求 ， 的值； （II） 上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。 ξ ξ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 3 l C A B l O l 2 2 a b C l OP OA OB= +   l 第 页 43 22.(本小题满分12分) 设函数 有两个极值点 ，且 （I）求 的取值范围，并讨论 的单调性； （II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数 学理） （1）复数 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算. 【解析】 . （2）.函数 的反函数是 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ，即 ，又 ； 23 1 i i −  = +  3 4i− − 3 4i− + 3 4i− 3 4i+ 23 1 i i −  = +  2 2(3 )(1 ) (1 2 ) 3 42 i i i i − −  = − = − −   1 ln( 1) ( 1)2 xy x + −= > 2 1 1( 0)xy e x+= − > 2 1 1( 0)xy e x+= + > 2 1 1( R)xy e x+= − ∈ 2 1 1( R)xy e x+= + ∈ ( ) ( )2 1f x x aIn x= + + 1 2x x、 1 2x x< a ( )f x ( )2 1 2 2 4 Inf x −> 第 页 44 ∴在反函数中 ，故选D. （3）.若变量 满足约束条件 则 的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题. 【解析】可行域是由 构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3，故选C. （4）.如果等差数列 中， ，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 （5）不等式 的解集为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 【解析】 利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标 号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. ,x y 1, , 3 2 5 x y x x y −   + ≥ ≥ ≤ ， 2z x y= + A( 1, 1),B( 1,4),C(1,1)− − − { }na 3 4 5 12a a a+ + = 1 2 7...a a a+ + + = 1 7 3 4 5 4 4 1 2 7 4 7( )3 12, 4, 7 282 a aa a a a a a a a a ++ + = = = ∴ + + + = = = 2 6 01 x x x − − − ＞ { }2, 3x x x−＜ 或 ＞ { }2 1 3x x x−＜ ，或 ＜ ＜ { }2 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＞ { }2 1 1 3x x x− ＜ ＜ ，或 ＜ ＜ 第 页 45 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有 种，故选B. （7）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像 （A）向左平移 个长度单位 （B）向右平移 个长度单位 （C）向左平移 个长度单位 （D）向右平移 个长度单位 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】 = ， = ，所以将 的图像向右平移 个长度单位得到 的图像，故选B. （8） 中，点 在 上， 平方 ．若 ， ， ， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为 平分 ，由角平分线定理得 ，所以D为AB的三等分点，且 ，所以 ，故选B. （9）已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B） （C）2 （D）3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题. sin(2 )3y x π= − sin(2 )6y x π= + 4 π 4 π 2 π 2 π sin(2 )6y x π= + sin 2( )12x π+ sin(2 )3y x π= − sin 2( )6x π= − sin(2 )6y x π= + 4 π sin(2 )3y x π= − ABC D AB CD ACB∠ CB a= CA b= 1a = 2b = CD = 1 2 3 3a b+ 2 1 3 3a b+ 3 4 5 5a b+ 4 3 5 5a b+ CD ACB∠ AD CA 2=DB CB 1 = 2 2AD AB (CB CA)3 3 = = −    2 1 2 1CD CA+AD CB CA a b3 3 3 3 = = + = +       S ABCD− 2 3SA = 3 第 页 46 【解析】设底面边长为a，则高 所以体积 ， 设 ，则 ，当y取最值时， ，解得a=0或a=4时，体积最大，此时 ，故选C. （10）若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式， 考查考生的计算能力.. 【解析】 ，切线方程是 ，令 ， ，令 ， ，∴三角形的面积是 ，解得 .故选A. （11）与正方体 的三条棱 、 、 所在直线的距离相等的点 （A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】直线 上取一点，分别作 垂直于 于 则 分别作 ，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥ PM⊥ ；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 1 2y x −= 1 2,a a −      a = 3 3 2 21 1' ,2 2y x k a − −= − ∴ = − 1 3 2 21 ( )2y a a x a − −− = − − 0x = 1 23 2y a −= 0y = 3x a= 1 21 33 182 2s a a −= ⋅ ⋅ = 64a = 1 1 1 1ABCD A B C D− AB 1CC 1 1A D 第 页 47 ，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件 ，故选D. （12）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂 足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得， ，由 ，得 ，∴ 即k= ，故选B. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2．本卷共10小题，共90分。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知 是第二象限的角， ，则 ． 【答案】 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的 计算能力. 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = ＞ ＞ 3 2 F ( 0)k k＞ C A B、 3AF FB=  k = 2 3 a 4tan( 2 ) 3aπ + = − tan a = 1 2 − 第 页 48 【解析】由 得 ，又 ，解得 ，又 是第二象限的角，所以 . （14）若 的展开式中 的系数是 ，则 ． 【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法. 【解析】展开式中 的系数是 . （15）已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 ．若 ，则 ． 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过B作BE垂直于准线 于E，∵ ，∴M为中点，∴ ，又斜率为 ， ，∴ ，∴ ，∴M为抛物线的焦点，∴ 2. （16）已知球 的半径为4，圆 与圆 为该球的两个小圆， 为圆 与圆 的公共弦， ．若 ，则两圆圆心的距离 ． 【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题. 【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵ ，所以 ，∴ ，由球的截面性质，有 ，∵ ，所以 与 全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 中， 为边 上的一点， ， ， ，求 ． 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应 用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由cos∠ADC= ＞0，知B＜ . 4tan( 2 ) 3aπ + = − 4tan 2 3a = − 2 2tan 4tan 2 1 tan 3a α α= = −− 1tan tan 22 α α= − =或 a 1tan 2 α = − 9( )ax x − 3x 84− a = 3x 3 3 3 9 ( ) 84 84, 1C a a a− = − = − ∴ = 2: 2 ( 0)C y px p= ＞ l (1,0)M 3 l A C B AM MB=  p = l AM MB=  1BM AB2 = 3 0BAE 30∠ = 1BE AB2 = BM BE= p = O M N AB M N 4AB = 3OM ON= = MN = 4AB = 2 2 ABOE R 2 32  = − =   ME= 3 OM ME,ON NE⊥ ⊥ 3OM ON= = MEO∆ NEO∆ ME MOMN=2 3OE = ABC∆ D BC 33BD = 5sin 13B = 3cos 5ADC∠ = AD 第 页 49 由已知得cosB= ，sin∠ADC= . 从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB= = . 由正弦定理得 ，所以 = . 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这 类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有 太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互 化. （18）（本小题满分12分） 已知数列 的前 项和 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）证明： ． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 { }na n 2( ) 3n nS n n= +  lim n n n a S→∞ 1 2 2 2 2 31 2 nnaa a n + + +… ＞ 1 1 ( 1) ( 2)n n n s na s s n− ==  − ≥ 第 页 50 【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基 本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. （19）如图，直三棱柱 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一点， ． （Ⅰ）证明： 为异面直线 与 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 与 的夹角为45°，求二面角 的大小． 1 1 1ABC A B C− AC BC= 1AA AB= D 1BB E 1AB 13AE EB= DE 1AB CD 1AB CD 1 1 1A AC B− − 第 页 51 【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计 算的能力. 【参考答案】 (19)解法一： （I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F. 因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故D E∥BF，DE⊥AB1. ………………3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点. 又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线. （II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1= ，DG= ，CG= ，AC= . 作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连 接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角. 第 页 52 【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题 的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式 来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使 解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. （20）（本小题满分12分） 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是 第 页 53 p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能 通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p； （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率； （Ⅲ） 表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求 的期望． 【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望 ，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题 的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度 重视. （21）（本小题满分12分） ξ ξ 第 页 54 己知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且BD的中点为 ． （Ⅰ）求C的离心率； （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F， ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切． 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知 识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ ( )1,3M 17DF BF = 第 页 55 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背 景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. （22）（本小题满分12分） 设函数 ． （Ⅰ）证明：当 时， ； （Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围． ( ) 1 xf x e−= − x＞- 1 ( ) 1 xf x x ≥ + 0x ≥ ( ) 1 xf x ax ≤ + 第 页 56 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力 及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 第 页 57 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础 知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会 减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常 伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数 ， 为 的共轭复数，则 （A） （B） （C） （D） （2）函数 的反函数为 1z i= + z z 1zz z− − = 2i− i− i 2i 2 ( 0)y x x= ≥ 第 页 58 （A） （B） （C） （D） （3）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 （A） （B） （C） （D） （4）设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （5）设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 （A） （B） （C） （D） (6)已知直二面角α− ι −β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂[来源:Z§xx§k.Com] 足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 (A) (B) (C) (D) 1 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠 送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种[来源:学科网] (8)曲线y= +1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围 成的三角形的面积为 (A) (B) (C) (D)1 2 ( )4 xy x R= ∈ 2 ( 0)4 xy x= ≥ 24y x= ( )x R∈ 24 ( 0)y x x= ≥ a b＞ 1a b +＞ 1a b −＞ 2 2a b＞ 3 3a b＞ nS { }na n 1 1a = 2d = 2 24A nS S+ − = k = ( ) cos ( 0)f x xω ω= ＞ ( )y f x= 3 π ω 1 3 3 6 9 2 3 3 3 6 3 2xe− 1 3 1 2 2 3 第 页 59 (9)设 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时， = ，则 = (A) - (B) (C) (D) (10)已知抛物线C： 的焦点为F，直线 与C交于A，B两点．则 = (A) (B) (C) (D) (11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成 二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 (12)设向量a，b，c满足 = =1， = ， = ，则 的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中 横线上 (注意：在试卷上作答无效) (13)(1- )20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: . y2 (14)已知a∈( ， )，sinα= ，则tan2α= (15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的 平分线．则|AF2| = . ( )f x ( )f x 2 (1 )x x− 5( )2f − 1 2 1 4 − 1 4 1 2 2 4y x= 2 4y x= − cos AFB∠ 4 5 3 5 3 5 − 4 5 − 060 π π π π π a b a b 1 2 − ,a c b c− − 060 c 3 2 x 2 2 π π 5 5 2 9 x 2 27 y 第 页 60 (16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A— C=90°，a+c= b，求C. (18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 新 课 标第 一 网 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙 种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率； (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数 。求X的期望。 2 第 页 61 （19）如图，四棱锥 中， , ，侧面 为等边三角形， . （Ⅰ）证明： ;[来源:学_科_网Z_X_X_K] （Ⅱ)求 与平面 所成角的大小. （20）设数列 满足 且 （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 [来源:学#科#网Z#X#X#K] （21）已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足 S ABCD− 19 2 9 1( )10p e  AB CD BC CD⊥ SAB 2, 1AB BC CD SD= = = = SD SAB⊥ AB SBC { }na 1 0a = 1 1 1 1.1 1n na a+ − =− − { }na 1 1 1 , , 1. n n n n k n k ab b S n + = −= = ∑ 记S 证明： 2 2: 12 yC x + = - 2 l 0.OA OB OP+ + =   第 页 62 (Ⅰ)证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同 一圆上. [来源:学科网] （22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） （Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回， 用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 .证 明： 2( ) ln(1 ) 2 xf x x x = + − + 0x＞ ( ) 0f x ＞ p 19 2 9 1( )10p e  第 页 63 2001年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题参考解答及评分标准 说明： 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解 法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度 ，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分 的解答有较严重的错误，就不再给分． 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）C 第 页 64 （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （13）2π （14） （15）1 （16）2n (n－1) 三.解答题： （17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12 分． 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是 M底面 ， ……2分 ∴ 四棱锥S—ABCD的体积是 M底面 ． ……4分 （Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱． ……6分 ∵ AD∥BC，BC = 2AD， ∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB， ∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线， 又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， ∴ CS⊥SE， 所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ ，BC =1，BC⊥SB， ∴ tan∠BSC ． 即所求二面角的正切值为 ． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分 ． 5 16 ( ) 4 312 5.01 2 1 =×+=⋅+= ABADBC ××= SAV 3 1 4 313 1 ××= 4 1= 22 ABSASB += 2= = 2 2= SB BC 2 2 第 页 65 解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i， 将z1化为三角形式，得 ， ∴ ， ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则 z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i， ( )， ……9分 当sin( ) = 1时， 取得最大值 ． 从而得到 的最大值为 ． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力． 满分12分． 证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F ( ，0)，所以经过点F的直线的方程可设为 ； ……4分 代入抛物线方程得 y2 －2pmy－p2 = 0， 若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2 = －p2． ……8分 因为BC∥x轴，且点c在准线x = － 上，所以点c的坐标为（－ ，y2），故直线CO的斜率为 ． 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． ……12分      += 4 7sin4 7cos221 ππ iz 4 7arg 1 π=z 221 =z ( ) ( )222 1 2sin2cos ++−=− ααzz sin249 += 4 πα − 4 πα − 2 1zz − 249 + 1zz − 122 + 2 p 2 pmyx += 2 p 2 p 1 1 1 2 2 2 x y y p p yk == − = 第 页 66 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交于点N，则 ， ……6分 根据抛物线的几何性质， ， ， ……8分 ∴ ， 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12 分． （Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有 = m·…·(m－i＋1)， … ， 同理 … ， ……4分 由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有 ， 所以 ，即 ． ……6分 （Ⅱ）证明由二项式定理有 ， ， ……8分 AB BF AC CN AD EN == ， AB AF BC NF = ADAF = BCBF = NFAB BCAF AB BFADEN =⋅=⋅= i mp ⋅−⋅= m m m m m p i i m 1 m im 1+−⋅ ⋅−⋅= n n n n n p i i n 1 n in 1+−⋅ m km n kn −>− i i m i i n m p n p > i m ii n i pnpm > ( ) i n n i in Cmm ∑ = =+ 0 1 ( ) i m m i im Cnn ∑ = =+ 0 1 第 页 67 由 (Ⅰ)知 ＞ (1＜i≤m＜n＝， 而 ， ， ……10分 所以， (1＜i≤m＜n＝． 因此， ． 又 ， ， ． ∴ ． 即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数 学知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－ ）万元，……，第n年投入为800×（1－ ）n－1万元． 所以，n年内的总投入为 an = 800＋800×（1－ ）＋…＋800×（1－ ）n－1 = 4000×[1－( )n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋ ）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋ ）n－1万元． 所以，n年内的旅游业总收入为 bn = 400＋400×（1＋ ）＋…＋400×（1＋ ）n－1 = 1600×[ ( )n－1]． ……6分 i n i pm i m i pn !i pC i mi m = !i pC i ni n = i m ii n i CnCm > ∑∑ == > m i i m i m i i n i CnCm 22 10000 == mn CnCm mnnCmC mn == 11 ( )nimCm i n i ≤<> 0 ∑∑ == > m i i m i n i i n i CnCm 00 5 1 5 1 5 1 5 1 ∑ = −−×= n k k 1 1)5 11(800 5 4 4 1 4 1 4 1 4 1 ∑ = −×= n k k 1 1)4 5(400 5 4 第 页 68 （Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn－an＞0， 即 1600×[（ ）n －1]－4000×[1－（ ）n]＞0． 化简得 5×（ ）n＋2×（ ）n －7＞0， ……9分 设 （ ）n，代入上式得 5x2－7x＋2＞0， 解此不等式，得 ，x＞1(舍去)． 即 （ ）n＜ ， 由此得 n≥5． 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知 识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分． （Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0， ]，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)，所以 f ( ) · f ( )≥0，x∈[0，1]． ∵ f ( ) = f ( ) · f ( ) = [f ( )]2， f ( ) f ( ) = f ( ) · f ( ) = [f ( )]2． ……3分 ， ∴ f ( ) ，f ( ) ． ……6分 （Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称， 故 f (x) = f (1＋1－x)， 即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8分 又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R， ∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R， 将上式中－x以x代换，得 4 5 5 4 5 4 5 4 =x 5 4 5 2= af 2 1 2 1 a= 4 1 4 1 a= 第 页 69 f (x) = f (x＋2)，x∈R． 这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]． ∵ f ( )= f (n · ) = f ( ＋（n－1）· ) = f ( ) · f (（n－1）· ) = f ( ) · f ( ) · … ·f ( ) = [ f ( )]n， f ( ) = ， ∴ f ( ) = ． ∵ f (x)的一个周期是2， ∴ f (2n＋ ) = f ( )，因此an = ， ……12分 ∴ ( ) = 0． ……14分 2002年高考理科数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D C B B C B A B B C 二、填空题 （13）2　　　（14）1　　　（15）1008　　　（16） 三、解答题 （17）解：由 ，得 ∵ ∴ ， 2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 2 1 2 1 a n2 1 na 2 1 n2 1 n2 1 na 2 1 ( ) ∞→∞→ = nnn a limlnlim an ln2 1 2 7 12coscos2sin2sin 2 =−+ αααα 0cos2cossin2cossin4 2222 =−+ ααααα 0)1sinsin2(cos2 22 =−+ ααα )2,0( πα ∈ 01sin ≠+α 0cos2 ≠=α 第 页 70 ∴ ，即 ∴ ∴ （18）解（I）作 ∥ 交 于点 ， ∥ 交 于点 ，连结 ，依题意可得 ∥ ，且 ，即 是平行四边形 ∴ 由已知 ， ∴ ， （II）由（I） 所以，当 时， 即当 、 分别为 、 的中点时， 的长最小，最小值为 （III）取 的中点 ，连结 、 ， ∵ ， 为 的中点 ∴ ，即 即为二面角的平面角 又 ，所以，由余弦定理有 01sin2 =−α 2 1sin =α 6 πα = 3 3=αtg MP AB BC P NQ AB BE Q PQ MP NQ NQMP = MNQP PQMN = aBNCM == 1=== BEABCB 2== BFAC aBQCP 2 2== )20(2 1)2 2( ) 2 () 2 1( )1( 2 22 22 <<+−= +−= =+−== aa aa BQCPPQMN 2 1)2 2( 2 +−= aMN 2 2=a 2 2=MN M N AC BF MN 2 2 MN G AG BG BNBMANAM == , G MN MNBGMNAG ⊥⊥ , AGB∠ α 4 6== BGAG 第 页 71 故所求二面角为 （19）解：设点 的坐标为 ，依题设得 ，即 ， 因此，点 、 、 三点不共线，得 ∵ ∴ 因此，点 在以 、 为焦点，实轴长为 的双曲线上，故 将 代入 ，并解得 ，因 所以 解得 即 的取值范围为 （20）解：设2001年末汽车保有量为 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 万辆， 万辆，…，每年新增汽车 万辆，则 ， 对于 ，有 3 1 4 6 4 62 1)4 6()4 6( cos 22 −= ⋅⋅ −+ =α 3 1arccos−= πα P ),( yx 2|| || = x y xy 2±= 0≠x ),( yxP )0,1(−M )0,1(N 2|||||||| =<− MNPNPM 0||2|||||| >=− mPNPM 1||0 << m P M N ||2 m 11 2 2 2 2 =−− m y m x xy 2±= 11 2 2 2 2 =−− m y m x 2 22 2 51 )1( m mmx − −= 01 2 >− m 051 2 >− m 5 5||0 << m m )5 5,0()0,5 5( − 1b 2b 3b x 301 =b xbb +×= 94.012 1>n 第 页 72 所以 　　　　 当 ，即 时 当 ，即 时 数列 逐项增加，可以任意靠近 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即 （ ） 则 ，即 万辆 综上，每年新增汽车不应超过 万辆 （21）解：（I）当 时，函数 此时， 为偶函数 当 时， ， ， ， 此时 既不是奇函数，也不是偶函数 （II）（i）当 时， 当 ，则函数 在 上单调递减，从而函数 在 上的最小值为 ．  )94.01(94.0 94.0 2 1 1 xb xbb n nn ++×= +×= − + )94.094.094.01(94.0 2 11 nn n xbb +++++×=+  xb n n 06.0 94.0194.01 −+×= nxx 94.0)06.030(06.0 ×−+= 006.030 ≥− x 8.1≤x 3011 =≤≤≤+ bbb nn  006.030 <− x 8.1>x }{ nb 06.0 x 06.0]94.0)06.030(06.0[limlim 1 xxxb n nnn =×−+= − +∞→+∞→ 60≤nb ,3,2,1=n 6006.0 ≤x 6.3≤x 6.3 0=a )(1||)()( 2 xfxxxf =+−+−=− )(xf 0≠a 1)( 2 += aaf 1||2)( 2 ++=− aaaf )()( afaf −≠ )()( afaf −−≠ )(xf ax ≤ 4 3)2 1(1)( 22 ++−=++−= axaxxxf 2 1≤a )(xf ],( a−∞ )(xf ],( a−∞ 1)( 2 += aaf 第 页 73 若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ． （ii）当 时，函数 若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 若 ，则函数 在 上单调递增，从而函数 在 上的最小值为 ． 综上，当 时，函数 的最小值为 当 时，函数 的最小值为 当 时，函数 的最小值为 ． （22）解（I）由 ，得 由 ，得 由 ，得 由此猜想 的一个通项公式： （ ） （II）（i）用数学归纳法证明： ①当 时， ，不等式成立． ②假设当 时不等式成立，即 ，那么 ． 也就是说，当 时， 据①和②，对于所有 ，有 ． （ii）由 及（i），对 ，有 …… 2 1>a )(xf ],( a−∞ af += 4 3)2 1( )()2 1( aff ≤ ax ≥ 4 3)2 1(1)( 22 +−+=+−+= axaxxxf 2 1−≤a )(xf ],( a−∞ af −=− 4 3)2 1( )()2 1( aff ≤− 2 1−>a )(xf ),[ +∞a )(xf ),[ +∞a 1)( 2 += aaf 2 1−≤a )(xf a− 4 3 2 1 2 1 ≤<− a )(xf 12 +a 2 1>a )(xf a+ 4 3 21 =a 311 2 12 =+−= aaa 32 =a 412 2 2 23 =+−= aaa 43 =a 513 3 2 34 =+−= aaa na 1+= nan 1≥n 1=n 2131 +=≥a kn = 2+≥ kak 3521)2)(2(1)(1 +≥+=+−++≥+−=+ kkkkkkaaa kkk 1+= kn 2)1(1 ++≥+ kak 1≥n 2na n≥ + 1)(1 +−=+ naaa nnn 2≥k 1)1( 11 ++−= −− kaaa kkk 121)121( 11 +=++−+−≥ −− kk akka 1)1(21222 1 12 1 1 −+=++++≥ −−− aaa kkk k  第 页 74 于是 ， 2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设 ，则复数 由题设 18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC， （Ⅱ）解： 19．解：函数 在R上单调递减 1 1 2 1 1 1 1 1 −⋅+≤+ k k aa 2≥k 2 1 31 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 12 1 111 =+≤+≤+=+++≤+ ∑∑∑ = − = − = aaaaa n k k n k k n k k 2 21− )60sin60cos  rrz += .2 rz的实部为 2, rzzrzz ==− .12||).(12,12:.012 ,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1| 2 222 −=−−=−==−+ +−=+−∴−−=−−−⋅=− zrrrr rrrrrzzzzzzzz 即舍去解得整理得 即 .3 2arcsin .3 2 3 1 3 6sin .3,32,22,2 .3 6 3 21,2 )4(.3,1,3 1 .,, ,,,, 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 分 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EGEBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED ∴ =⋅==∠∴ ===∴== =×== =∴==⋅= ∈∴∆ ∴⊥    ,,, FABEFEFEDABED =∩⊥⊥ 又 .3 62 3 62 32 222, .,., .,., 1 1 111 111 1111 111 的距离为到平面中在 的距离到平面是即平面垂足为作 面且面平面平面面又面 AEDAAB BAAAKAABA AEDAKAAEDKAKAEKA AEABAAEDABAAEDAEDEDABAED ∴=×=⋅=∆ ⊥∴⊥ =∩⊥∴⊂⊥∴ xcy = .10 <<⇔ c 第 页 75 不等式 （以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：（1）台风中心P（ ）的坐标为 此时台风侵袭的区域是 其中 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 即 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存 在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值. 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为： ① 直线GE的方程为： ② 从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程 整理得 当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当 时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 .1|2|1|2| 上恒大于在函数的解集为 RcxxyRcxx −+=⇔>−+ 2 2 , 2 ,| 2 | 2 , 2 , | 2 | 2 . 1| 2 | 1 2 1 .2 1, , 0 .2 1, , 1. (0, ] [1, ).2 x c x cx x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c − ≥+ − =  < ∴ = + − ∴ + − > ⇔ > ⇔ > < ≤ ≥ ∪ +∞  函数 在 上的最小值为 不等式 的解集为 如果 正确 且 不正确 则 如果 不正确 且 正确 则 所以 的取值范围为 yx,       ×+×−= ×−×= .2 22010 27300 ,2 22010 2300 ty tx ,)]([)()( 22 tryyxx ≤−+− ,6010)( += ttr .)6010()0()0( 222 +≤−+− tyx 22 )2 22010 27300()2 22010 2300( tt ×+×−+×−× 2412,028836,)6010( 22 ≤≤≤+−+≤ tttt 解得即 (0 1)BE CF DG k kBC CD DA = = = ≤ ≤ 0)12(2 =−+ ykax 02)12( =−+−− ayxka 022 222 =−+ ayyxa 1)( 2 1 2 22 =−+ a ayx 2 12 =a 2 12 ≠a 第 页 76 当 时，点P到椭圆两个焦点（ 的距离之和为定值 当 时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2 . 22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示 ，下表的规律为 3（(0,1)= ） 5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — — ………… （i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5) （i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以 (8,14)＝ ＝16640 解法二：设 ，只须确定正整数 数列 中小于 的项构成的子集为 其元素个数为 满足等式的最大整数 为14，所以取 因为100－ （Ⅱ）解： 令 因 现在求M的元素个数： 其元素个数为 ： 某元素个数为 某元素个数为 2 12 a )2 1,0(),2 1 22 −+−− aaaa a 2 2t s+ 0 12 2+ 100a = 8 142 2+ 00 22100 tsa += ., 00 ts }{ na 02t },0|2{2 0 t ttss <<≤+ .1002 )1(,2 )1( 00002 0 <−−= ttttCt 依题意 0t .140 =t .1664022,8s,1 814 10000 2 14 =+=∴=+= asC 由此解得 ,2221160 3710 ++==kb }0|22{2B,(}1160|{ r tsrCBcM ts <<≤++=<∈= 其中 }.22222|{}222|{}2|{ 37107107101010 ++<<+∈∪+<<∈∪<∈= cBccBccBcM },100|222{}2|{ 10 <<<≤++=<∈ tsrcBc tsr 3 10C }.70|222{}222|{ 1071010 <<≤++=+<<∈ srcBc rs }30|222{}22222|{: 71037107102 7 <≤++=++<<+∈ rcBcC r .1451: 2 3 2 7 3 10 7 10 =+++= CCCkC 第 页 77 另法：规定 （r,t,s）， ＝（3,7,10） 则 ＝ （0,1,2） 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） ………… （0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） （0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… +4 2004年高考试题全国卷2 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15） x2＋y2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)= ,sin(A-B)= ∴ ，∴ . (II)解：∵ = 所以 与 夹角的大小为 -arccos . 解：(II)由题设知 得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即 由 (2)得y22=λ2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1 ……………………………………(3) 联立(1)(3)解得x2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2 )或B(λ,-2 )，又F(1,0), 得直线l的方程为(λ-1)y=2 (x-1)或(λ-1)y=-2 (x-1) 当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为 或- 由 = ，可知 在[4，9]上是递减的， ∴ ，- - 直线l在y轴上截距的变化范围是 22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞), (x)= .令 (x)=0，解得x=0，当-10,当x>0时, (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0 (II)证法一：g(a)+g(b)-2g( )=alna+blnb-(a+b)ln =a . 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0- . 又 a − b ba a ab a ab a ab ba a 2)21ln(2ln −−>−+−=+ b ba b ba ba b 2)21ln(2ln −−>−+−=+ ba bbba a +++ 2ln2ln 022 =−−− baab ,2 2 b ba ba a +<+ ba bbba a +++ 2ln2ln .2ln)(2ln)(2ln2ln abba babba bbb ba −<+−=+++ 2 ba + 1ln)(' += xxg 2 xa + 第 页 80 则 当0a时 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数 从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a) 因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即00时, ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2. 2005年高考理科数学全国卷（二） 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 1. C 2. D 3. B 4. B 5. C 6. C 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 12. C 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 13. 14. 15. 192 16. ①，④ 三. 解答题： 17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法。考查分析问题的能力和 运算能力。满分12分。 解：由于 是增函数， 等价于 （i）当 时， 式恒成立 （ii）当 时， (1)式化为 即 （iii）当 时， .2lnln)]'2([2)(')(' xaxxagxgxF +==+−= ,0)(' xF 2 ba + ).ln(ln2ln2lnln)(' xaxxaxxG +−=−+−= 0)(' a 2 1 2 1 )0,0,2()1,1,2()2 1,2 1,0( aABaPBEF = → −= → = → PBEFPBEF ⊥∴= → ⋅ → 0 ABEFEFAB ⊥∴= → ⋅ → 0 ⊂PB ⊂AB BABPB = ⊥∴ EF BCAB 2= 2 2=a 第 页 85 可知 异面直线AC、PB所成的角为 又 ，EF、AF为平面AEF内两条相交直线 平面AEF 与平面AEF所成的角为 即AC与平面AEF所成的角为 21. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距 离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力，满分14分。 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1）且 ，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0 ，1），故PQ方程为y＝kx＋1 )1,1,2(),0,1,2( −= → −= → PBAC 6 3 |||| ,cos =→ ⋅ → → ⋅ → >= →→ < PBAC PBACPBAC 6 3arccos )2 1,2 1,2 2( −= → AF AFPBPBAF ⊥= → ⋅ → ∴ 0 EFPB ⊥ ⊥∴ PB AC∴ )6 3arcsin(6 3arccos2 =−π 6 3arcsin MNPQ ⊥ 第 页 86 将此式代入椭圆方程 设P、Q两点的坐标分别为 ，则 从而 亦即 （i）当 时，MN的斜率为 ，同上可推得 故四边形面积 012)2( 22 =−++ kxxk ),(),,( 2211 yxyx 2 2 22 2 1 2 22,2 22 k kkxk kkx + ++−=+ +−−= 22 22 2 21 2 21 2 )2( )1(8)()(|| k kyyxxPQ + +=−+−= 2 2 2 )1(22|| k kPQ + += 0≠k k 1− 2 2 )1(2 ))1(1(22 || k kMN −+ −+ = ||||2 1 MNPQS ⋅= )12)(2( )11)(1(4 2 2 2 2 kk kk ++ ++ = 2 2 2 2 225 )12(4 kk kk ++ ++ = 第 页 87 令 ，得 因为 当 时， 且S是以u为自变量的增函数 所以 （ii）当k=0时，MN为椭圆长轴， 综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 22. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运 算能力。满分12分。 解：（I）对函数f(x)求导数，得 令 ，得 从而 解得 ，其中 当x变化时， 的变化如下表： x x1 x2 f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 即f(x)在x＝x1处取到极大值，在 处取到极小值 当 时， 在 为减函数，在 为增函数 而当 时， ；当 时， 2 2 1 kku += )25 11(225 )2(4 uu uS +−=+ += 21 2 2 ≥+= kku 1±=k 9 162 == ，Su 29 16 <≤ S 2||22|| == PQ，MN 2||||2 1 =⋅⋅= MNPQS 9 16 xxx eaxaxeaxeaxxxf ]2)1(2[)22()2()(' 22 −−+=−+−= 0)(' =xf 0]2)1(2[ 2 =−−+ xeaxax 02)1(22 =−−+ axax 2 2 2 1 1111 aaxaax ++−=+−−= 21 xx < )(),(' xfxf ),( 1x−∞ ),( 21 xx ),( 2 +∞x ↑ ↓ ↑ 2xx = 0≥a )(,0,1 21 xfxx ≥−< ),( 21 xx ),( 2 +∞x 0−= xeaxxxf 0=x 0)( =xf 第 页 88 所以当 时，f(x)取得最小值 （II）当 时，f(x)在 上为单调函数的充要条件是 即 解得 综上，f(x)在 上为单调函数的充分必要条件为 即a的取值范围为 2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 一、选择题 ⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C 二、填空题 ⒀45 ⒁ 3 ⒂ 2 2 ⒃25 三、解答题 17．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分 由此得 tanθ＝－1(－π 2＜θ＜π 2)，所以 θ＝－π 4；………………4分 （Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得 ｜a＋b｜＝ (sinθ＋1)＋(1＋cosθ)＝ 3＋2(sinθ＋cosθ) ＝ 3＋2 2sin(θ＋f(π,4))，………………10分 当sin(θ＋π 4)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π 4时，|a＋b|最大值为 2＋1．……12分 18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3． P(ξ＝0)＝C C· C C＝ 18 100＝ 9 50 P(ξ＝1)＝C C· C C＋C C· C·C C ＝12 25 P(ξ＝2)＝C C· C·C C ＋C C· C C＝15 50 P(ξ＝3)＝C C· C C＝ 1 25． ………………8分 ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 9 50 12 25 15 50 1 25 数学期望为Eξ＝1.2． (Ⅱ)所求的概率为 211 aax ++−= 0≥a ]1,1[− 12 ≥x 111 2 ≥++− aa 4 3≥a ]1,1[− 4 3≥a ),4 3[ +∞ 第 页 89 p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15 50＋ 1 25＝17 50 ……………12分 19．解法一： （Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO ∥ ＝ 1 2C1C，又C1C ∥ ＝B1B，所以EO ∥ ＝ DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO⊂面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分 （Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝ 2AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED⊂平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为 二面角A1－AD－C1的平面角． 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ 2ED＝OB＝1，EF＝AE × ED AD ＝ 2 3 ， tan∠A1FE＝ 3，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 解法二： （Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点． 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)． 则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分 ED＝（0，b，0），BB 1＝(0，0，2c)． ED·BB 1＝0，∴ED⊥BB1． 又AC 1＝(－2a，0，2c)， ED·AC 1＝0，∴ED⊥AC1， ……6分 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线． （Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， BC＝(－1，－1，0)，AB＝(－1，1，0)，AA 1＝(0，0，2)， BC·AB＝0，BC·AA 1＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面A1AD． 又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， EC＝(－1，0，－1)，AE＝(－1，0，1)，ED＝(0，1，0)， EC·AE＝0，EC·ED＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴　　EC⊥面C1AD．　　……10分 cos＜EC，BC＞＝ · ||·||＝1 2，即得EC和BC的夹角为60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 20．解法一： 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分 (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数， 又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)， A BC D E A1 B1C1 O F A BC D E A1 B1C1 O z x y 第 页 90 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax． ……9分 (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)， 即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax， 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．　　……3分 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分 当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0． 由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． ……12分 21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB， 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， {－x 1＝λx 2 ① 1－y 1＝λ(ySdo(2)－1) ② 将①式两边平方并把y1＝1 4x12，y2＝1 4x22代入得　　y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝1 λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为y＝1 4x2，求导得y′＝1 2x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝1 2x1(x－x1)＋y1，y＝1 2x2(x－x2)＋y2， 即y＝1 2x1x－1 4x12，y＝1 2x2x－1 4x22． 解出两条切线的交点M的坐标为( x 1＋x 2 2 ， x 1x 2 4 )＝( x 1＋x 2 2 ，－1)． ……4分 所以FM·AB＝( x 1＋x 2 2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝1 2(x22－x12)－2( 1 4x22－1 4x12)＝0 所以FM·AB为定值，其值为0．　　　……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝1 2|AB||FM|． |FM|＝ (f(xSdo(1)＋xSdo(2),2))＋(－2)＝ 1 4x 1＋1 4x 2＋1 2x 1x 2＋4 ＝ y 1＋y 2＋1 2 × (－4)＋4 ＝ λ＋1 λ ＋2＝ λ＋ 1 λ ． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 第 页 91 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1 λ＋2＝( λ＋ 1 λ)2． 于是　　S＝1 2|AB||FM|＝( λ＋ 1 λ)3， 由 λ＋ 1 λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4． 22．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝1 2． 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－1 2， 于是(a2－1 2)2－a2(a2－1 2)－a2＝0，解得a1＝1 6． (Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得 Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　① 由(Ⅰ)知S1＝a1＝1 2，S2＝a1＋a2＝1 2＋1 6＝2 3． 由①可得S3＝3 4． 由此猜想Sn＝ n n＋1，n＝1，2，3，…．　　　　　　……8分 下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n＝1时已知结论成立． (ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝ k k＋1， 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝ 1 2－S k ，即Sk＋1＝k＋1 k＋2， 故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝ n n＋1对所有正整数n都成立．　　……10分 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ n n＋1－n－1 n ＝ 1 n(n＋1)， 又n＝1时，a1＝1 2＝ 1 1 × 2，所以 ｛an｝的通项公式an＝ n n＋1，n＝1，2，3，…． ……12分 2007年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 第 页 92 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（1） 的内角和 ，由 得 ． 应用正弦定理，知 ， ． 因为 ， 所以 ， （2）因为 ， 所以，当 ，即 时， 取得最大值 ． 18．解：（1）记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则 互斥，且 ，故 于是 ． 解得 （舍去）． （2） 的可能取值为 ． 42− 0.8 2 4 2+ 5 2 − ABC△ A B C+ + = π 0 0A B C π= > >3， ， 20 B π< < 3 2 3sin sin 4sinsin sin BCAC B x xA = = =π 3 2sin 4sinsin BCAB C xA π = = − 3  y AB BC AC= + + 2 24sin 4sin 2 3 0 3y x x x π π   = + − + < <   3    14 sin cos sin 2 32y x x x  3= + + +  2  54 3sin 2 3x x π π π π   = + + < + <   6 6 6 6    x π π+ =6 2 x π= 3 y 6 3 0A 1A 0 1A A， 0 1A A A= + 0 1( ) ( )P A P A A= + 0 1 2 1 2 2 ( ) ( ) (1 ) C (1 ) 1 P A P A p p p p = + = − + − = − 20.96 1 p= − 1 20.2 0.2p p= = −， ξ 01 2，， 第 页 93 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有 件，故 ． ． ． 所以 的分布列为 0 1 2 19．解法一： （1）作 交 于点 ，则 为 的中点． 连结 ，又 ， 故 为平行四边形． ，又 平面 平面 ． 所以 平面 ． （2）不妨设 ，则 为等 腰直角三角形． 取 中点 ，连结 ，则 ． 又 平面 ，所以 ，而 ， 所以 面 ． 取 中点 ，连结 ，则 ． 连结 ，则 ． 故 为二面角 的平面角 ． 所以二面角 的大小为 ． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 ． 设 ，则 ， 100 0.2 20× = 2 80 2 100 C 316( 0) C 495P ξ = = = 1 1 80 20 2 100 C C 160( 1) C 495P ξ = = = 2 20 2 100 C 19( 2) C 495P ξ = = = ξ ξ P 316 495 160 495 19 495 FG DC∥ SD G G SD 1 2AG FG CD∥， CD AB∥ FG AE AEFG∥ ， EF AG∥ AG ⊂ SAD EF ⊄， SAD EF ∥ SAD 2DC = 4 2SD DG ADG= =， ，△ AG H DH DH AG⊥ AB⊥ SAD AB DH⊥ AB AG A= DH ⊥ AEF EF M MH HM EF⊥ DM DM EF⊥ DMH∠ A EF D− − 2tan 21 DHDMH HM ∠ = = = A EF D− − arctan 2 D xyz− ( 0 0) (0 0 )A a S b，，， ，， ( 0) (0 0)B a a C a， ，， ， ，， 0 02 2 2 a a bE a F          ， ， ， ， ， A E B C F S D H G M A A E B C F S D G M y z x 第 页 94 ． 取 的中点 ，则 ． 平面 平面 ， 所以 平面 ． （2）不妨设 ，则 ． 中点 又 ， ， 所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角． ． 所以二面角 的大小为 ． 20．解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离， 即 ． 得圆 的方程为 ． （2）不妨设 ．由 即得 ． 设 ，由 成等比数列，得 ， 即 ． 0 2 bEF a = −    ，， SD 0 0 2 bG    ，， 0 2 bAG a = −    ，， EF AG EF AG AG= ⊂ ， ∥ ， SAD EF ⊄， SAD EF ∥ SAD (1 0 0)A ，， 1 1(11 0) (01 0) (0 0 2) 1 0 0 12 2B C S E F          ，，， ，，， ，，， ，， ， ，， EF 1 1 1 1 1 1 ( 1 01) 02 2 2 2 2 2M MD EF MD EF MD EF   = − − − = − =           ，， ， ， ， ， ，，， ， ⊥ 10 02EA  = −    ， ， 0EA EF EA EF=   ， ⊥ MD EA A EF D− − 3cos 3 MD EAMD EA MD EA < >= =       ， A EF D− − 3arccos 3 O r O 3 4x y− = 4 2 1 3 r = = + O 2 2 4x y+ = 1 2 1 2( 0) ( 0)A x B x x x<，， ，， 2 4x = ( 2 0) (2 0)A B− ，， ， ( )P x y， PA PO PB， ， 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2)x y x y x y+ + − + = + 2 2 2x y− = ( 2 ) (2 )PA PB x y x y= − − − − −   ， ， 第 页 95 由于点 在圆 内，故 由此得 ． 所以 的取值范围为 ． 21．解：（1）由 整理得 ． 又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知 ，故 ． 那么， 又由（1）知 且 ，故 ， 因此 为正整数． 方法二： 由（1）可知 ， 因为 ， 所以 ． 由 可得 ， 2 2 2 4 2( 1). x y y = − + = − P O 2 2 2 2 4 2. x y x y  + < − = ， 2 1y < PA PB   [ 2 0)− ， 13 2 3 42 n n aa n−−= =， ，，，… ， 1 11 (1 )2n na a −− = − − 11 0a− ≠ {1 }na− 11 a− 1 2 − 1 1 11 (1 ) 2 n na a − = − − −   30 2na< < 0nb > 2 2 1n nb b+ − 2 2 1 1 2 2 2 (3 2 ) (3 2 ) 3 33 2 (3 2 )2 2 9 ( 1) .4 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a + += − − − − −   = − × − −       = − 0na > 1na ≠ 2 2 1 0n nb b+ − > 1n nb b n+< ， 30 12n na a< < ≠， 1 3 2 n n aa + −= 1 1 1 (3 )3 2 2 n n n n n a ab a a+ + + −= − = 1na ≠ 33(3 2 ) 2 n n n aa a − − <    第 页 96 即 两边开平方得 ． 即 为正整数． 22．解：（1）求函数 的导数； ． 曲线 在点 处的切线方程为： ， 即 ． （2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ． 于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记 ， 则 ． 当 变化时， 变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根； 当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根； 2 2 3(3 2 ) 2 n n n n aa a a − − <     33 2 2 n n n n aa a a −− <  1n nb b n+< ， ( )f x 2( ) 3 1x xf ′ = − ( )y f x= ( ( ))M t f t， ( ) ( )( )y f t f t x t′− = − 2 3(3 1) 2y t x t= − − ( )a b， t 2 3(3 1) 2b t a t= − − ( )a b， ( )y f x= 3 22 3 0t at a b− + + = 3 2( ) 2 3g t t at a b= − + + 2( ) 6 6g t t at′ = − 6 ( )t t a= − t ( ) ( )g t g t′， t ( 0)−∞， (0 )a， a ( )a + ∞， ( )g t′ + − + ( )g t  a b+  ( )b f a−  ( )g t 0a b+ < ( ) 0b f a− > ( ) 0g t = 0a b+ = ( ) 0g t = 30 2 at t= =， ( ) 0g t = 第 页 97 当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根． 综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，则 即 ． 2008年高考试题答案（理） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C C D D B B B C A C 提示： 1、 2、 3、 为奇函数 4、 5、当 时， 6、 7、 的系数为 8、 9、 = 在 为单增函数， 10、连结AC、BD相交于O点，连结OE，则OE//SO，所以 为所求角，设AB=2，则OE=1，AE= ，AO= ， 11、设底边斜率为Ｋ，直线 与 的斜率分别为 　　 ，又原点在底边上，所以Ｋ＝３ ( ) 0b f a− = ( ) 0g t = 2 at t a= − =， ( ) 0g t = ( )a b， ( )y f x= ( ) 0g t = 0 ( ) 0. a b b f a + >  − < ， ( )a b f a− < < }1,0,1{},21|{ −=∈<≤−=∩ ZxxxNM 223232233 30,03,)3(3)( abbbbaibbaababia =∴≠=−∴−+−=+  )(xf cabxxe <<∴<<−∴<<− 0ln111     = −= 2 2 y x 83min −=−= yxZ 29 201 3 30 3 10 3 30 3 20 =−−= C C C CP xxxxx ∴−−=+− 2446 )1()1()1()1( 32 2 1 4 −=+− CC 2|)4sin(|2|cossin||| ≤−=−= π aaaMN 22)1()1( 2 22 ++=++= aaa aae 1)1( 2 ++ a 110 << a 1)1( 2 ++= tu )1,0( 52 << u 52 <<∴ e AEO∠ 3 2 3 3cos ==∠ AE OEAEO 02 =−+ yx 047 =−− yx 7 1,1− 3 1,3, 71 7 1 1 1 −=∴ + +− =− −−∴ kk k k k 第 页 98 12、 与 的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形 为矩形，所以 二、填空题 13、 ； 14、 ，当 时 ； 15、设AB所在直线方程为 ， ； 16.两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。 注：上面给出了四个充要条件。如果考生写出其他正确答案，同样给分。 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由 ，得 ， 由 ，得 ． 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 （Ⅱ）由 得 ， 由（Ⅰ）知 ， 故 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 又 ， 故 ， ． 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 ，记投保的10 000人中出险的人数为 ，则 ． （Ⅰ）记 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则 发生当且仅当 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 1O 2O COOO 21 3||||||,1||,2|||,||| 22 21 =−=∴⊥=== ACOAOCOCACACOAOCOO  20)2(7)32(4)32,2( =∴=+−+∴++=+ λλλλλλ ba axaey =' 0=x 2' =∴= aay 1−= xy 044 4 1 2 2 =−−⇒    = −= yy xy xy 222 ±=∴ y 223 222 222 || || += − +=∴ FB FA 5cos 13B = − 12sin 13B = 4cos 5C = 3sin 5C = 33sin sin( ) sin cos cos sin 65A B C B C B C= + = + = 33 2ABCS =△ 1 33sin2 2AB AC A× × × = 33sin 65A = 65AB AC× = sin 20 sin 13 AB BAC ABC ×= = 220 6513 AB = 13 2AB = sin 11 sin 2 AB ABC C ×= = p ξ 4~ (10 )B pξ ， A A 0ξ = Ｏ Ｏ２ ＣＯ１ 第 页 99 ， 又 ， 故 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 （Ⅱ）该险种总收入为 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 由 知， ， ． （元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 19．解法一： 依题设知 ， ． （Ⅰ）连结 交 于点 ，则 ． 由三垂线定理知， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 在平面 内，连结 交 于点 ， 由于 ， 故 ， ， 与 互余． 于是 ． 与平面 内两条相交直线 都垂直， 所以 平面 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 ( ) 1 ( )P A P A= − 1 ( 0)P ξ= − = 4101 (1 )p= − − 410( ) 1 0.999P A = − 0.001p = 10 000a 10 000 50 000ξ + 10 000 (10 000 50 000)aη ξ= − + 10 000 10 000 50 000E a Eη ξ= − − 4 3~ (10 10 )Bξ −， 310 000 10Eξ −= × 4 4 410 10 5 10E a Eη ξ= − − × 4 4 4 3 410 10 10 10 5 10a −= − × × − × 0Eη ≥ 4 4 410 10 10 5 10 0a⇔ − × − × ≥ 10 5 0a⇔ − − ≥ 15a⇔ ≥ 2AB = 1CE = AC BD F BD AC⊥ 1BD AC⊥ 1ACA EF 1AC G 1 2 2AA AC FC CE = = 1Rt RtA AC FCE△ ∽ △ 1AAC CFE∠ = ∠ CFE∠ 1FCA∠ 1AC EF⊥ 1AC BED BD EF， 1AC ⊥ BED A B CD E A1 B1 C1D1 F H G 第 页 100 （Ⅱ）作 ，垂足为 ，连结 ．由三垂线定理知 ， 故 是二面角 的平面角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 ， ， ． ， ． 又 ， ． ． 所以二面角 的大小为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 解法二： 以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 ． 依题设， ． ， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 （Ⅰ）因为 ， ， 故 ， ． 又 ， 所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （Ⅱ）设向量 是平面 的法向量，则 ， ． 故 ， ． 令 ，则 ， ， ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 GH DE⊥ H 1A H 1A H DE⊥ 1A HG∠ 1A DE B− − 2 2 3EF CF CE= + = 2 3 CE CFCG EF ×= = 2 2 3 3EG CE CG= − = 1 3 EG EF = 1 2 3 15 EF FDGH DE ×= × = 2 2 1 1 2 6AC AA AC= + = 1 1 5 6 3AG AC CG= − = 1 1tan 5 5AGA HG HG ∠ = = 1A DE B− − arctan5 5 D DA x D xyz− 1(2 2 0) (0 2 0) (0 21) (2 0 4)B C E A，，， ，，， ，，， ，， (0 21) (2 2 0)DE DB= = ，，， ，， 1 1( 2 2 4) (2 0 4)AC DA= − − = ，， ， ，， 1 0AC DB =   1 0AC DE =   1AC BD⊥ 1AC DE⊥ DB DE D= 1AC ⊥ DBE ( )x y z= ， ，n 1DA E DE⊥ n 1DA⊥ n 2 0y z+ = 2 4 0x z+ = 1y = 2z = − 4x = (41 2)= −，，n A B CD E A1 B1 C1D1 y x z 第 页 101 等于二面角 的平面角， ． 所以二面角 的大小为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 20．解： （Ⅰ）依题意， ，即 ， 由此得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 因此，所求通项公式为 ， ．①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （Ⅱ）由①知 ， ， 于是，当 时， ， ， 当 时， ． 又 ． 综上，所求的 的取值范围是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为 ， 1AC，n 1A DE B− − 1 1 1 14cos 42 ACAC AC = =  ， nn n 1A DE B− − 14arccos 42 1 1 3n n n n nS S a S+ +− = = + 1 2 3n n nS S+ = + 1 1 3 2( 3 )n n n nS S+ + − = − 13 ( 3)2n n n nb S a −= − = − *n∈N 13 ( 3)2n n nS a −= + − *n∈N 2n≥ 1n n na S S −= − 1 1 23 ( 3) 2 3 ( 3) 2n n n na a− − −= + − × − − − × 1 22 3 ( 3)2n na− −= × + − 1 2 1 4 3 ( 3)2n n n na a a− − + − = × + − 2 2 32 12 32 n n a − −   = + −      2n≥ 2 1 312 3 02 n n na a a − +  ⇔ + −  ≥ ≥ 9a⇔ −≥ 2 1 13a a a= + > a [ )9− + ∞， 2 2 14 x y+ = 第 页 102 直线 的方程分别为 ， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 如图，设 ，其中 ， 且 满足方程 ， 故 ．① 由 知 ，得 ； 由 在 上知 ，得 ． 所以 ， 化简得 ， 解得 或 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点 到 的距离分别为 ， ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 又 ，所以四边形 的面积为 ， 当 ，即当 时，上式取等号．所以 的最大值为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 解法二：由题设， ， ． AB EF， 2 2x y+ = ( 0)y kx k= > 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( )D x kx E x kx F x kx， ， ， ， ， 1 2x x< 1 2x x， 2 2(1 4 ) 4k x+ = 2 1 2 2 1 4 x x k = − = + 6ED DF=  0 1 2 06( )x x x x− = − 0 2 1 2 2 1 5 10(6 )7 7 7 1 4 x x x x k = + = = + D AB 0 02 2x kx+ = 0 2 1 2x k = + 2 2 10 1 2 7 1 4k k =+ + 224 25 6 0k k− + = 2 3k = 3 8k = E F， AB 2 1 1 1 2 2 2 2(1 2 1 4 ) 5 5(1 4 ) x kx k kh k + − + + += = + 2 2 2 2 2 2 2 2(1 2 1 4 ) 5 5(1 4 ) x kx k kh k + − + − += = + 22 1 5AB = + = AEBF 1 2 1 ( )2S AB h h= + 2 1 4(1 2 )52 5(1 4 ) k k += +  2 2(1 2 ) 1 4 k k += + 2 2 1 4 42 1 4 k k k + += + 2 2≤ 2 1k = 1 2k = S 2 2 1BO = 2AO = D FB y xAO E 第 页 103 设 ， ，由①得 ， ， 故四边形 的面积为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 ， 当 时，上式取等号．所以 的最大值为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 22．解： （Ⅰ） ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 当 （ ）时， ，即 ； 当 （ ）时， ，即 ． 因此 在每一个区间 （ ）是增函数， 在每一个区间 （ ）是减函数． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 （Ⅱ）令 ，则 ． 故当 时， ． 1 1y kx= 2 2y kx= 2 0x > 2 1 0y y= − > AEBF BEF AEFS S S= +△ △ 2 22x y= + 2 2 2( 2 )x y= + 2 2 2 2 2 24 4x y x y= + + 2 2 2 22( 4 )x y+≤ 2 2= 2 22x y= S 2 2 2 2 (2 cos )cos sin ( sin ) 2cos 1( ) (2 cos ) (2 cos ) x x x x xf x x x + − − +′ = =+ + 2π 2π2 π 2 π3 3k x k− < < + k ∈Z 1cos 2x > − ( ) 0f x′ > 2π 4π2 π 2 π3 3k x k+ < < + k ∈Z 1cos 2x < − ( ) 0f x′ < ( )f x 2π 2π2 π 2 π3 3k k − +  ， k ∈Z ( )f x 2π 4π2 π 2 π3 3k k + +  ， k ∈Z ( ) ( )g x ax f x= − 2 2cos 1( ) (2 cos ) xg x a x +′ = − + 2 2 3 2 cos (2 cos )a x x = − ++ + 21 1 13 2 cos 3 3ax  = − + − +  1 3a≥ ( ) 0g x′ ≥ 第 页 104 又 ，所以当 时， ，即 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 当 时，令 ，则 ． 故当 时， ． 因此 在 上单调增加． 故当 时， ， 即 ． 于是，当 时， ． 当 时，有 ． 因此， 的取值范围是 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 (0) 0g = 0x≥ ( ) (0) 0g x g =≥ ( )f x ax≤ 10 3a< < ( ) sin 3h x x ax= − ( ) cos 3h x x a′ = − [ )0 arccos3x a∈ ， ( ) 0h x′ > ( )h x [ )0 arccos3a， (0 arccos3 )x a∈ ， ( ) (0) 0h x h> = sin 3x ax> (0 arccos3 )x a∈ ， sin sin( ) 2 cos 3 x xf x axx = > >+ 0a≤ π 1 π02 2 2f a  = >   ≥ a 1 3  + ∞ ， 第 页 105 第 页 106 第 页 107 第 页 108 第 页 109 第 页 110 第 页 111 第 页 112 第 页 113 第 页 114 第 页 115 第 页 116