2007 北京高考数学试题北京卷理科

2007 北京高考数学试题北京卷理科

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第I卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知，那么角是（　　）‎ Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 ‎2．函数的反函数的定义域为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎3．平面平面的一个充分条件是（　　）‎ Ａ．存在一条直线 ‎ Ｂ．存在一条直线 Ｃ．存在两条平行直线 Ｄ．存在两条异面直线 ‎4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）‎ Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 ‎6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或 ‎7．如果正数满足，那么（　　）‎ Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 ‎8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：‎ 命题甲：是偶函数；‎ 命题乙：在上是减函数，在上是增函数；‎ 命题丙：在上是增函数．‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）‎ Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②‎ 第II卷（共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．‎ ‎9． ．‎ ‎10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．‎ ‎11．在中，若，，，则 ．‎ ‎12．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 ．‎ ‎14．已知函数，分别由下表给出 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ 则的值为 ；满足的的值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式．‎ ‎16．（本小题共14分）‎ 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（III）求与平面所成角的最大值．‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 40‎ ‎50‎ 参加人数 活动次数 ‎18．（本小题共13分）‎ 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．‎ ‎（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；‎ ‎（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎19．（本小题共13分）‎ 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．‎ ‎（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；‎ ‎（II）求面积的最大值．‎ ‎20．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：‎ ‎，．‎ 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．‎ 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．‎ ‎（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；‎ ‎（II）对任何具有性质的集合，证明：；‎ ‎（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ ‎1．∵ ，∴ 当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，选C。‎ ‎2．函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为，∴ 选B。‎ ‎3．平面平面的一个充分条件是“存在两条异面直线”，选D。‎ ‎4．是所在平面内一点，为边中点，∴ ，且，∴ ，即，选A ‎5． 5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B。 ‎ ‎6．不等式组，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(，)，第四个不等式，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当0

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