重庆文科高考数学试题详解

重庆文科高考数学试题详解

‎2014年重庆高考数学试题详解（文）‎ 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、实部为，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）‎ ‎ 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 解：由已知复数对应的坐标为，位于第二象限，选择 ‎2、在等差数列中,，则（ ）‎ ‎ ‎ 解：由已知，选择 ‎3、某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，学科网用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）‎ ‎ ‎ 解：分层抽样保持比例不变，故，选择 ‎4、下列函数为偶函数的是（ ）‎ ‎ ‎ 解：逐一验证知：为非奇非偶函数；为奇函数；为偶函数，选择 ‎5、执行右图所示的程序框图，则输出的为（ ）‎ ‎ ‎ 解：由已知：‎ ‎，选择 ‎6、已知命题对任意，总有；‎ ‎ 命题是方程的根 ‎ 则下列命题为真命题的是（ ）‎ ‎ ‎ 解：因为真，假，为真，故为真，选择 7、 某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（ ）‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ 解：在长方体中构造几何体,如右图所示，‎ ‎，经检验该几何体的三视图满足 题设条件。其体积，选择 ‎8、设分别为双曲线的左、右焦点， ‎ 双曲线上存在点使得则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. ‎ B. C.4 D.‎ 解：由于，故，即，分解因式得：‎ ‎，故，从而，‎ 故，选择 ‎9、若的最小值为（ ） ‎ A. ‎ B. C. D.‎ 解：由于，故 由可知，设，则：‎ ‎，当时取等号，选择 ‎10、已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. D.‎ 解：等价于方程有两个根，即和的图像有两个交点，分别画出函数和的图像分析可知选择 画图时必须注意到：的图像由左移一个单位，再下移三个单位得到。而过定点。交点有两种情况：的每个分段上各有一个交点；两个交点都在的图像上，后者以直线和相切为临界状况。‎ 二、填空题 ‎11、已知集合______.‎ 解：易知 ‎12、已知向量_________.‎ 解：‎ ‎13、将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移的个单位得到的图像，则______.‎ 解：作逆变换：将左移，再将横坐标伸长两倍可得的图像，故：‎ ‎，从而 ‎14、已知直线与圆心为的圆相交于两点，且 ‎，则实数的值为_________.‎ 解：将圆配方得，故圆心，半径，由已知为等腰直角三角形，故,圆心到直线的距离，所以：‎ 或 ‎15、某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__ _‎ ‎（用数字作答）‎ 解：记为时刻，小张，小王到校的时刻分别为，则 这样的二维变量可与点建立对应，满足条件的形成一个边长为 的正方形区域。由已知小张比小王至少早5分钟满足关系：，由线性规划知此时形成一个三角形区域，其面积为，故所求概率为：‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，学科网证明过程或演算步骤.‎ ‎16、已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通 ‎ 项公式及其前项和.‎ 解：（1）由已知 ‎（2）由于，故公比满足 故，‎ ‎17、20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：‎ ‎（1）求频数直方图中的值；‎ ‎（2）分别球出成绩落在与中的学生人数；‎ ‎（3）从成绩在的学生中人选2人，求这2人的成绩都在中的概率.‎ 解：（1）因为所有频率之和等于1，故，解出 ‎（2）的学生人数为人；‎ 的学生人数为人；‎ ‎（3）记的学生为，的学生为，则从成绩在的学生中人选2人的选法共有10中，列举如下：‎ 其中2人的成绩都在中有三种：‎ 故所求概率为 ‎18、在中，内角所对的边分别为，且 ‎（1）若，求的值;‎ ‎（2）若，且面积，求和的值.‎ 解：（1）由已知，由余弦定理：‎ ‎ （2）由已知 整理得：‎ 即：‎ 面积 由已知 联立上面的三个式子解出 ‎19、已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值。‎ 解：（1）由已知切线斜率，故，而 故 ‎（2）此时，其中 令得增区间；令得减区间；‎ 故当时具有极小值，没有极大值。‎ ‎20、如下图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.‎ （1） 证明：平面；‎ （2） 若，求四棱锥的体积.‎ ‎（1）证明：由知为等边三角形，故,‎ 在中，,由余弦定理可求出，‎ 因为,‎ 因为底面 因为,所以平面 ‎（2）设，则，‎ 在中由余弦定理 因为，所以为直角三角形，由勾股定理：‎ ‎，解出 四棱锥的体积 ‎21、如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，说明理由.‎ 解：（1）设，代入椭圆方程中求出，故，而 由已知：，联立解出 即，联立解出 所以椭圆的标准方程为 （2） 由于所求圆的圆心在轴上，故圆和椭圆的两个交点关于轴对称，从而经过点 所作的切线也关于轴对称，如下图所示。‎ 当切线互相垂直时，设两条切线交于点，则恰好形成一个正方形。设圆心，圆的半径为，则由知：，另一方面由于为等腰直角三角形，故,所以，由几何关系，‎ ‎，因为 所以，再由，知 所以圆的方程为，经检验符合题设要求。‎ 故存在这样的圆，其方程为