三维设计高考数学大一轮复习讲义备考基础查清热点命题悟通函数导数及其应用理苏教版
第二章 函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
1．函数映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B
的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．误把分段函数理解为几种函数组成．
[试一试]
1．(2013·苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)＝的定义域是________．
解析：因为f(x)＝＝，则(－x＋3t)(x＋4t)≥0.又t<0，所以x∈[3t，－4t]．
答案：[3t，－4t]
2．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＝________.
解析：因为f(0)＝30＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.
答案：0
求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．
[练一练]
1．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于________．
解析：f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
答案：2x＋7
2．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________.
解析：由题意得解得
∴f(x)＝x2－4x＋3.
答案：x2－4x＋3
考点一
函数与映射的概念
1.下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填写序号)
①y＝x－1与y＝ ②y＝与y＝
③y＝4lg x与y＝2lg x2 ④y＝lg x－2与y＝lg
答案：④
2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
(1)f1：y＝；f2：y＝1.
(2)f1：y＝
f2：
x
x≤1
1
0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
(4)当x∈(－1,1)时，有
2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)． ①
以－x代x，得
2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)． ②
由①②消去f(－x)，得
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
[备课札记]
[类题通法]
求函数解析式常用的方法有
(1)待定系数法；
(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；
(3)配凑法；
(4)解方程组法．
[针对训练]
1．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：设t＝＋1，
则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
考点四
分段函数
[典例] (2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
[解析] 当a>0时，1－a<1,1＋a>1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
[答案] －
[备课札记]
[类题通法]
分段函数“两种”题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
[针对训练]
设函数f(x)＝若f(x)>4，则x的取值范围是______．
解析：当x<1时，由f(x)>4，得2－x>4，即x<－2；
当x≥1时，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2，
由于x≥1，所以x>2.
综上可得x<－2或x>2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[课堂练通考点]
1．(2013·南京一模)函数y＝的定义域是________．
解析：由2x－x2≥0得0≤x≤2，故函数的定义域为[0,2]
答案：[0,2]
2．(2013·苏北四市二调)若函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的值域是________．
解析：当x<0时，f(x)＝2x∈(0,1)，故y＝f(f(x))＝－2－f(x)∈；当x>0时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，故y＝f(f(x))＝2f(x)∈，从而原函数的值域为∪.
答案：∪
3．函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．
解析：由题意知，⇒⇒x∈(－∞，－1)∪(－1,0)．
答案：(－∞，－1)∪(－1,0)
4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
解析：由f(1)＝f(2)＝0，
得所以
故f(x)＝x2－3x＋2.
所以f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.
答案：6
5．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是________．(填写序号)
①f：x→y＝x ②f：x→y＝x ③f：x→y＝x
④f：x→y＝x
解析：按照对应关系f：x→y＝x，对①中某些元素(如x＝8)，②中不存在元素与之对应．
答案：④
2．(2014·南昌模拟测试)函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由题意得解得x>－且x≠1.
答案：{x|x>－且x≠1}
3．(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)＝，那么f(2 013)＝________.
解析：根据题意，当x≥5时，f(x)＝f(x－5)，
∴f(2 013)＝f(3)，而当0≤x<5时，f(x)＝x3，
∴f(3)＝33＝27.
答案：27
4．(2014·连云港期末)已知函数f(x)＝则使f[f(x)]＝2成立的实数x的集合为________．
解析：当x∈[0,1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x∉[0,1]时，f(f(x))＝f(x)＝x，要使f(f(x))＝2成立，只需x＝2，综上所述，实数x的集合为{x|0≤x≤1或x＝2}．
答案：[0,1]∪{2}
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15， ①
所以必有43a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1f(x2)．
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
[试一试]
1．(2013·苏锡常镇二调)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．
解析：因为y＝2x，y＝log2x在定义域内均为增函数，所以y＝2x＋log2x在[1,2]上单调递增，故f(x)∈[2,5]．
答案：[2,5]
2．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为______；f(x)max＝________.
解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
答案：[1,4] 8
1．判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；
(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
2．求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
[练一练]
1．(2013·南京第一学期调研)命题甲：函数f(x)是奇函数，乙：函数f(x)在定义域上是增函数．对于函数：
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝tan x；
(3)f(x)＝x|x|；(4)f(x)＝
能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是________．
解析：(1)(2)不满足在定义域上是增函数，(3)(4)满足，且(3)(4)是奇函数．
答案：(3)(4)
2．函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．
答案：
考点一
求函数的单调区间
1.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.
答案：
2．函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．
解析：y＝x－|1－x|＝
作出该函数的图像如图所示．
由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
3．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为________．
解析：由f(x)>，得－10)的单调性．
[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令x10，x1x2>0.
故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)f(x2)，
即函数在(0，)上单调递减．
考虑到函数f(x)＝x＋(k>0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．
综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减．
法二：f′(x)＝1－.
令f′(x)>0得x2>k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)<0得x20，
因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，
总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵当x>0时，f(x)<0，
而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)”或“<”)
解析：∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.
答案：<
角度三 解函数不等式
3．已知函数f(x)＝则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为________．
解析：作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．
2．比较函数值大小的思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图像法求解．
[课堂练通考点]
1．(2013·无锡期末)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：令m＝ax－1，则函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增等价于m＝ax－1在(1,2)上单调递增，且ax－1>0在(1,2)上恒成立，所以即a≥1.
答案：[1，＋∞)
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是________．
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝
结合图像可知函数的单调减区间是[1,2]．
答案：[1,2]
3．已知函数f(x)为R上的减函数，若m”或“<”)；若ff(n)；
>1，即|x|<1，且x≠0.
故－1 (－1,0)∪(0,1)
4．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析：由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
5．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝＝＝＋a.
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，x1＋2>0，x2＋2>0，
∴1－2a<0，a>，即实数a的取值范围是.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析：当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.
答案：0
2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝________.
解析：依题意，知函数图像的对称轴为x＝－＝＝－2，即 m＝－16，从而f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.
答案：25
3.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0.∴a的取值范围是(0,1]．
答案：(0,1]
5．(2014·苏中三市、宿迁调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．
解析：由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－.
答案：ln 6－
6．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________.
解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增，
所以即解得a＝.
答案：
7．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
8．使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
解析：由y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．
又函数y＝＝＝2＋，
使其在(3，＋∞)上是增函数，
故4＋k<0，得k<－4.
答案：(－∞，－4)
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，
∴f(x1)0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知01时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)f(cos l)；
③ff(sin 2)．
其中正确的是________(填序号)．
解析：当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因为sinf；因为sin l>cos l，所以f(sin l)f；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)．综上所述，正确的是④.
答案：④
2．若函数f(x)＝|logax|(00)
[练一练]
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 014)＝________.
解析：∵f(x)＝－f，
∴f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．
∴f(x)是以3为周期的周期函数．
则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.
答案：2
考点一
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[备课札记]
[类题通法]
判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.
考点二
函数奇偶性的应用
[典例] (1)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
(2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
[解析] (1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，
即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
(2)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－21－m.
即m>1或m<－2.
由例(2)①知10时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，
当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．(2013·苏北四市期中)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得－2≤x＋a≤2对x∈[－1,1]恒成立，即－2－x≤a≤2－x对x∈[－1,1]恒成立．当x∈[－1,1]时，(－2－x)max＝－2－(－1)＝－1，(2－x)min＝2－1＝1，所以实数a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
考点三
函数的周期性及其应用
[典例] 已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x＋3)＝－，且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＝________.
[解析] ∵对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，
∴f(x＋6)＝f(x＋3＋3)
＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x<－1时，
f(x)＝－(x＋2)2，
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，
f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×＝335.
而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋2－1＋0＝2，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝335＋2＝337.
[答案] 337
[备课札记]
[类题通法]
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
[课堂练通考点]
1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f＝－f＝－f
＝－f＝－2××＝－.
答案：－
2．(2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
答案：－1
3．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
解析：观察可知，y＝x3cos x为奇函数，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.则f(－a)＝－a3·cos a＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9
4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：法一：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，
∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
法二：由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|得a＝0.
答案：0
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)0时，f(x)＝x，则f(－4)的值是________．
解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－4＝－2.
答案：－2
6．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．
解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，
∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.
∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．
f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.
答案：－1
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．
解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
8．(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②
由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.
答案：－10
9．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，
当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(3)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图像如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图像知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·南京二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 016)＝________.
解析：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，进而f(2 016)＝f(336×6)＝f(0)＝3－1＝.
答案：
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，
则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图像如图所示：
当30时，y＝log2(x＋1)．
答案：②
1．数形结合思想
借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．
2．分类讨论思想
画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．
[练一练]
若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x
令y＝|x|＋x＝图像如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0.
答案：(0，＋∞)
考点一
作函数的图像
分别画出下列函数的图像：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图像如图1.
(2)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图2.
(3)y＝图像如图3.
[备课札记]
[类题通法]
画函数图像的一般方法有
(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考点二
函数图像的应用
函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有：
(1)确定方程根的个数；
(2)求参数的取值范围；
(3)求不等式的解集.
角度一 确定方程根的个数
1．(2013·镇江期末)方程xlg(x＋2)＝1有________个不同的实数根．
解析：依题意本题x≠0，原式等价于lg(x＋2)＝，在同一直角坐标系中画出y＝lg(x＋
2)，y＝(x>－2且x≠0)，如图所示，所以本题有2个不同实数根．
答案：2
角度二 求参数的取值范围
2．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
解析：∵a⊗b＝
∴函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)＝
结合图像可知，当c∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f(x)与y＝c的图像有两个公共点，
∴c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．
答案：(－2，－1]∪(1,2]
角度三 求不等式的解集
3．函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式<0的解集为________．
解析：在上y＝cos x>0，
在上y＝cos x<0.
由f(x)的图像知在上<0，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，
所以y＝为偶函数，
所以<0的解集为∪.
答案：∪
[备课札记]
[类题通法]
1．研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；
2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决；
3．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．
[课堂练通考点]
1．(2014·盐城一调)设方程2ln x＝7－2x的解为x0，则关于x的不等式x－20时，函数g(x)＝log f(x)有意义，
由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)
恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·镇江期末)关于x的方程exln x＝1的实根个数是________．
解析：由exln x＝1(x>0)得ln x＝(x>0)，即ln x＝x(x>0)．令y1＝ln x(x>0)，y2＝x(x>0)，在同一直角坐标 系内绘出函数y1，y2的图像，图像如图所示．根据图像可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.
答案：1
2．(2013·扬州三调)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c则a，b，c由小到大的顺序是________．
解析：因为函数f(x)＝2x＋x的零点在(－1,0)上，函数g(x)＝log2x＋x的零点在(0,1)上，函数h(x)＝x3＋x的零点为0，所以a0,8－8－lg 8<0，所以交点的横坐标在(7,8)内，所以k＝7.
答案：7
4．(2013·苏锡常镇二调)已知方程x＝x的解x0∈，则正整数n＝________.
解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x，y＝x的图像，如图所示．由图可得x0∈(0,1)，设f(x)＝x－x，因为f＝－<0，f＝－>0，故n＝2.
答案：2
5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．
解析：x≤0时，f(x)＝2－x－1,00时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
6．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图像，如图所示，其中－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其顶点为(－1,1)，由y＝f(x)与直线y＝m有3个交点可知实数m的取值范围是(0,1)．
答案：(0,1)
7．函数f(x)＝图像的对称中心为________．
解析：f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图像向上平移1个单位，即得函数f(x)的图像．由y＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图像的对称中心为(0,1)．
答案：(0,1)
8．(2014·常州期末)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k
的取值范围是________．
解析：由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
答案：
9．已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示．
由图像看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；
当00
a<0
图像
定义域
x∈R
值域
单调性
在上递减，在上递增
在上递增，在上递减
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
图像特点
①对称轴：x＝－；
②顶点：
1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．
2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝3x不是幂函数．
[试一试]
1．(2013·南通二调)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________.
解析：依题意，由f(x)＝k·xα是幂函数，可知k＝1.又其图像过点，得＝
α，则α＝，从而k＋α＝.
答案：
2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：由题意知即得a>.
答案：
1．函数y＝f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像关于x＝对称．
(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称(a为常数)．
2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是
3．两种数学思想
(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．
(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．
[练一练]
如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图像关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
解析：由题意知得
则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
考点一
幂函数的图像与性质
1.幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为______________________．
解析：令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x.
答案：f(x)＝x
2.图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．
答案：2，，－，－2
3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵y＝x(x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b，
∴a>c>b.
答案：a>c>b
[备课札记]
[类题通法]
1．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．
考点二
求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[备课札记]
[类题通法]
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：
[针对训练]
已知y＝f(x)为二次函数，且f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5
，求此二次函数的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，
所以
解得a＝，b＝－，c＝－5，故f(x)＝x2－x－5.
考点三
二次函数的图像与性质
研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有：
(1)轴定区间定求最值；
(2)轴动区间定求最值；
(3)轴定区间动求最值.
角度一 轴定区间定求最值
1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－6,0]．
角度二 轴动区间定求最值
2．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，
∴a＝(舍)．
(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
角度三 轴定区间动求最值
3．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．
解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴对称轴为直线x＝1，
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，
∴应进行讨论．
当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.
综上，g(a)＝
[备课札记]
[类题通法]
影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法：
(1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．
(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．
当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．
[课堂练通考点]
1．(2014·徐州摸底)已知二次函数f(x)＝ax2－4x＋c＋1(a≠0)的值域是[1，＋∞)，则＋的最小值是________．
解析：由题意知化简得＝且a>0，于是＋＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即a＝
eq f(2,3)时取等号．
答案：3
2．(2014·苏北四市期末)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是________．
解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1,3]，对称轴为直线x＝1，最小值为－1，所以当a＝－1时，b∈[1,3]；当b＝3时，a∈[－1,1]，所以b－a∈[2,4]．
答案：[2,4]
3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，
又其图像过点(0,1)，
∴4a－1＝1，∴a＝.∴f(x)＝(x－2)2－1.
答案：f(x)＝(x－2)2－1
4．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
解析：由已知得⇒
答案：a>0，ac＝4
5．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
解：∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·镇江模拟)已知a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，比较大小：f(m＋2)________1(用“<”“＝”或“>”连接)．
解析：由f(x)＝ax2＋2ax＋1(a>0)知f(x)过定点(0,1)．又f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2－a＋1(a>0)，设f(x)＝0的两个实数根为x1，x2，且x10得a>1，所以x2－x1＝＝∈(0,2)．又因为对称轴为直线x＝－1，f
(0)＝1，所以x2∈(－1,0)．由f(m)<0，得x10，所以f(m＋2)>1.
答案：>
2.(2013·苏锡常镇一调)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图像过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析：设点A(x1,0)，B(x2,0)，则＝(x1－t，－2)，＝(x2－t，－2)，所以·＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋4＝0.又x1x2＝，x1＋x2＝－，所以t2＋＋＋4＝0.又点C(t,2)在抛物线上，所以at2＋bt＋c＝2，所以t2＋＋＝，即－4＝，解得a＝－.
答案：－
3．(2013·盐城二调)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中，真命题的序号有________．
(1)当b>0时，函数f(x)在R上是单调增函数；
(2)当b<0时，函数f(x)在R上有最小值；
(3)函数f(x)的图像关于点(0，c)对称；
(4)方程f(x)＝0可能有三个实数根．
解析： 特殊值法．取b>0，c＝0，结合图像即得(1)正确；取b<0，c＝0，结合图像即得(2)错误，(4)正确；取b＝0，结合图像即得(3)正确．
答案：(1)(3)(4)
4．(2013·苏中三市、连云港、淮安三调)已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图像自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D.若AB＝BC，则实数t的值为________．
解析：由偶函数的性质得a＝1，b＝2，c＝－1.故f(x)＝|x|2－2|x|－1.由题意知所以xC＝，则t＝2－2×－1＝－.
答案：－
5．关于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是______________．
解析：由题意知
由①②③得－30.
∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝
由f(x)＝5得或
∴x＝5或x＝－5.
观察图像可知由f(x)<5，得－5f(a－1)的实数a的取值范围．
解：∵幂函数f(x)经过点(2，)，∴＝2(m2＋m)－1，
即2＝2(m2＋m)－1.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
第Ⅱ组：重点选做题
1．已知函数f(x)＝其中a∈R.若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)＝f(x1)成立，则实数k的取值范围是________．
解析：由题知当x＝0时，f(x)＝k(1－a2)．又对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使得f(x2)＝f(x1)成立，所以函数f(x)必须是连续函数，即在x＝0附近的左、右两侧，其函数值相等．于是(3－a)2＝k(1－a2)，即(k＋1)a2－6a＋9－k＝0有实数解，所以Δ＝62－4(k＋1)(9－k)≥0，解得k≤0或k≥8.
答案：(－∞，0]∪[8，＋∞)
2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2,3]时，y＝x2－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋
4(x∈[0,3])的图像有两个交点．
答案：
第六节指数与指数函数
1．根式的性质
(1)()n＝a.
(2)当n为奇数时＝a；
当n为偶数时＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图像与性质
y＝ax
a>1
00时，y>1；x<0时，00时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或01进行分类讨论．
[练一练]
1．函数y＝ 的定义域为________．
答案：[0，＋∞)
2．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，
则a2－1＝2，∴a＝±.又∵a>1，∴a＝.
当00，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．
[针对训练]
1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．
解析：由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知xB＝0.由2x＝3知xA＝log23，故AB＝xA－xB＝log23.
答案：log23
2．方程2x＝2－x的解的个数是________．
解析：方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．
由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
答案：1
考点三
指数函数的性质及应用
[典例] 已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0，且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性．
[解] (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，
从而y＝ax－a－x为增函数．
所以f(x)为增函数．
当00且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
在本例条件下，当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围.
解：由(2)知f(x)在R上是增函数，
所以在区间[－1,1]上为增函数．
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．
所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)
＝·＝－1.
所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.
故b的取值范围是(－∞，－1]．
[备课札记]
[类题通法]
利用指数函数的性质解决问题的方法
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
[针对训练]
已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)
的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，
要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故a的值为0.
[课堂练通考点]
1．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________．
解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，
即22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.
答案：7
2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域是________．
解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，fmin(x)＝f(2)＝1，fmax(x)＝f(4)＝9.
答案：[1,9]
3．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
解析：∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴23－x≤23＝8，∴8－23－x≥0，
∴函数y＝8－23－x的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
4．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.
答案：m>n
5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
解析：当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，
f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.
∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.
∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝.
当00，a≠1)的图像恒过点A，则A点的坐标为________．
解析：f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图像恒过点(1,1)．
答案：(1,1)
2．函数y＝x2 的值域是________．
解析：∵x2≥0，∴x2≤1，即值域是(0,1]．
答案：(0,1]
3．(2014·南京二模)如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
解析：设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)．又O，A，B
三点共线，所以＝，故4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．
答案：(1,2)
4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系为________．
解析：由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图像可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，
所以a>b.综上，a>b>c.
答案：a>b>c
5．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
解析：当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得－或a<－(舍)，故有0的解集是(1，＋∞)，由1－>0，可得2x>a，故x>log2a，由log2a＝1得a＝2.
答案：2
8．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，
又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
9．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解：令t＝ax(a>0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当00，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3.
10．已知函数f(x)＝3x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，
∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2.
∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±.
∵3x>0，∴3x＝1＋.
∴x＝log3(1＋)．
(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.
∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3t＋m≥0，
即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.
令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，
∴g(x)max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．
第Ⅱ组：重点选做题
1．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是________．
解析：由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2.
∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得图像如图．
∴f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是4个．
答案：4
2．(2014·常州质检)已知函数f(x)＝2x(x∈R)，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．若不等式2ag(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得
所以解得
所以2a·g(x)＋h(2x)≥0，
即(2x－2－x)a＋≥0对任意x∈[1,2]恒成立．
又x∈[1,2]时，令t＝2x－2－x，则t在x∈[1,2]上单调递增，
所以t＝2x－2－x∈，
所以a≥－＝－＝－，t＋在t∈上单调递增，
所以当t＝时，－有最大值－，
所以a≥－.
答案：
第七节对数与对数函数
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算及换底公式
(1)对数的性质(a>0且a≠1)：
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.
(2)对数的换底公式
基本公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b>0)．
(3)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝logaM＋logaN，
②loga＝logaM－logaN，
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的图像与性质
a>1
01时，y>0；
当x>1时，y<0；
当00
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M>0.
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
[试一试]
1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M>N”是“log2M>log2N”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：当M，N为负数时，不能得到log2M>log2N，而根据函数y＝log2x的单调性可知，当log2M>log2N时，可得M>N.
答案：必要不充分
2．(2014·常州期末)函数f(x)＝log2(4－x2)的值域为________．
解析：因为4－x2∈(0,4]，所以log2(4－x2)∈(－∞，2]，故原函数的值域为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；
(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当a>1时，对数函数的图像“上升”；
当00，且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限．
[练一练]
1．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图像经过定点A，则A点坐标是________．
答案：(1,0)
2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系为
________．
解析：易知log23>1，log32，log52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3 x与y＝log5 x的图像，观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a，b的其他解法：log32>log3＝，log52b；0，结合换底公式即得log32>log52.
答案：c>a>b
考点一
对数式的化简与求值
计算下列各题：
(1)lg＋lg 70－lg 3－；
(2)lg－lg＋lg
解：(1)原式＝lg－＝lg 10－＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(2)lg－lg＋lg
＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝.
[备课札记]
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
考点二
对数函数的图像及应用
[典例] (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
(2)当01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.
[答案] (1) (2)
[备课札记]
若本例(2)变为：若不等式(x－1)21时，如图，
要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的图像下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1.
所以10得－10且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0；
当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当00时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝________.
解析：由题意得，f(－2)＝－f(2)＝－log3(1＋2)＝－1.
答案：－1
2．(2013·广东高考改编)函数y＝的定义域是________．
解析：由题意得∴
答案：(－1,1)∪(1，＋∞)
3．(2013·苏北四市二调)已知函数f(x)＝alog2x－blog3x＋2，若f＝4，则f(2 014)的值为________．
解析：令g(x)＝f(x)－2＝alog2x－blog3x，可得g(x)满足g＝－g(x)．所以由g＝f－2＝2，得g(2 014)＝－2，所以f(2 014)＝0.
答案：0
4．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．
解析：f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1.
答案：[0，＋∞)
5．(2014·南京模拟)若log2a<0，则a的取值范围是________．
解析：当2a>1时，
∵log2a<0＝log2a1，∴<1.
∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，
∴a2－a<0，∴01.
∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a.
∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此时不合题意．
综上所述，a∈.
答案：
6．(2013·北京高考)函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．函数y＝的定义域为________．
解析：由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则解得－20时，f(m)1；
当m<0时，f(m)k得log3|x|>，解得x<－或x>.同理由f(x)≤k得－≤x<0或00，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域．
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为 (－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有
解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.
当00，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图像上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
解析：取x－1＝1得原函数的图像恒过定点A(2,1)，代入直线方程得2m＋n＝1，所以＋＝＋＝4＋＋≥8，当且仅当＝，即2m＝n＝时等号成立，故最小值为8.
答案：8
2．(2014·无锡模拟)若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lg x)>g(1)，x的取值范围是________．
解析：因为g(lg x)>g(1)，所以f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x>1或lg x<－1.
解得010.
答案：∪(10，＋∞)
第八节函数与方程
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
3．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．
2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．
所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
[试一试]
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
答案：0，－
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是________．(填序号)
①(－2，－1) ②(－1,0) ③(0,1) ④(1,2)
答案：②
1．函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．三个等价关系(三者相互转化)
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第二步：求区间(a，b)的中点c.
第三步：计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．
[练一练]
(2014·南京一模)若方程lg|x|＝－|x|＋5在区间(k，k＋1)(k∈R)上有解，则满足所有条件的k的值的和为________．
解析：利用数形结合思想，画出草图(如图)即可知方程在(－5，－4)，(4,5)这两个区间上有解，即此时k＝－5，k＝4，从而满足所有条件的k的值的和为－1.
答案：－1
考点一
函数零点所在区间的判定
1.函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
x∈[1,8]，∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
答案：存在
2．(2013·徐州期中)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
解析：记f(x)＝ex－x－2，则从表中数据可知f(1)<0，f(2)>0，所以k的值为1.
答案：1
3．(2014·朝阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
解析：由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得00)上不间断的偶函数f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间[0，a]上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间(－a，a)上零点的个数是________．
[解析] (1)由2x－＝2得2x－2＝.设f1(x)＝2x－2，f2(x)＝.在同一直角坐标系中画出两函数图像可观察得出有一个交点．即原方程只有1个实根．
(2)由于f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间[0，a]上是单调函数，故函数f(x)在(0，a)上有且仅有一个零点．又由于函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在(－a,0)
上有且仅有一个零点，从而函数f(x)在区间(－a，a)上有2个零点．
[答案] (1)1 (2)2
[备课札记]
[类题通法]
函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：
(1)令f(x)＝0；
(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；
(3)作出y1，y2图像；
(4)由图像交点个数得出结论．
[针对训练]
(2013·镇江12月统考)方程＋log2x＝0的根的个数为________．
解析：由＋log2x＝0，得log2x＝－，画出等号两侧在(0，＋∞)上的函数图像即可得出原方程有1个根．
答案：1
考点三
函数零点的应用
[典例] 若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．
[解析] 令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得00，即ln x>－1，可解得x>，所以，当0时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－.
答案：(，＋∞)
[课堂练通考点]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
答案：0
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在
[－1,1]内有________个不同的实数根．
解析：由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．
答案：1
3．(2013·苏锡常镇二调)方程xlg(x＋2)＝1有________个不同的实数根．
解析：方程变形为lg(x＋2)＝，根据函数y＝lg(x＋2)与y＝的定义域为(－2，＋∞)的图像(如图)的交点个数知方程根的个数．
答案：2
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
5．已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－，得b＝.∴当x>0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0，得x＝2(舍去)或x＝－，即g(x)＝0有唯一解．综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．
答案：2
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·南通期中)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
解析：因为函数f(x)＝3x－x－4，令f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在(a，b)内有实根，从而x≈1.56.
答案：1.56
2．(2014·荆门调研)已知函数y＝f(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．
解析：依题意，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
答案：3
3．若函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是(k，k＋1)，则整数k＝________.
解析：依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2,3)．
答案：2
4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①y＝2x； ②y＝－2x；
③f(x)＝x＋x－1；④f(x)＝x－x－1.
则输出函数的序号为________．
解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y＝2x没有零点，同样y＝－2x也没有零点；f(x)＝x＋x－1，当x>0时，f(x)≥2，当x<0时，f(x)≤－2，故f(x)没有零点；令f(x)＝x－x－1＝0得x＝±1.
答案：④
5．[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
解析：作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有2个不同的交点．
答案：2
6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．
解析：因为f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0,0.5) f(0.25)
7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．
解析：画出函数f(x)的图像如图．
要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图像有两个不同交点，由图易知k∈.
答案：
8．已知00和k<0作出函数f(x)的图像．当01或k<0时，没有交点，故当00，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
∴
∴∴－≤m<－1.
由①②可知m的取值范围(－∞，－1)．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·盐城三调)若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x1<00)在区间上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________．
解析：令f′(x)＝3x2－2ax>0，
则x>或x<0.
由f(x)在区间上是单调增函数知⊆，从而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a＝x－，令g(x)＝x－，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y＝a(00，所以方程x3－10x2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x0，因此从图像可以看出在(10，x0]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．
答案：4
第九节函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x值增大，图像与y轴接近平行
随x值增大，图像与x轴接近平行
随n值变化而不同
1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
[试一试]
据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是____________．
解析：y＝0.2x＋(4000－x)×0.3
＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
[练一练]
(2013·南京二模)如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN＝________.
解析：法一：由题意知CN＝AM.设CN＝x(0≤x≤1)，欲使最小，即使最小，过点N作NP∥AD交AB于点P，则AP＝DN＝1－x，所以PM＝AM－AP＝x－(1－x)＝2x－1，于是＝＝＝4－.问题转化为求函数f(x)＝的最小值．
令2x＋1＝t，则x＝(t－1)(1≤t≤3)．
于是g(t)＝·＝≥(2－2)，当且仅当t＝，即t＝∈[1,3]时取等号．
此时，x＝，即CN＝.
法二：以O为原点，过点O分别作AB与AD的垂线为x轴，y轴，建立直角坐标系，设N，则M，B，所以＝.
令f(t)＝，由f′(t)＝0，得t＝－1，易验证当t＝－1时，有最小值，此时CN＝t＋＝－1＋＝.
答案：
考点一
一次函数与二次函数模型
1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
解析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，
∴100k＋20＝100m，
得k－m＝－0.2，
于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元．
答案：10
2．(2013·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个________元．
解析：设售价定为(90＋x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x2＋10x＋200)＝－20(x2－10x－200)＝－20[(x－5)2－225]，∴当x＝5时，y取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)．
答案：95
3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
[备课札记]
[类题通法]
求解一次函数与二次函数模型问题的关注点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
考点二
分段函数模型
[典例] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．
[解] (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当2018%，所以B集团投资成功．
[课堂练通考点]
1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元．
解析：由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．
答案：3.20
2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.
解析：上午7：50到上午11：00是 h．设经时间t h后，小袁共行驶s(t) km
，则由条件可知s＋×1＝250，解得s＝190，从而250－190＝60.
答案：60
3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(00得x<4，
所以g(x)在(2,4)上是增函数，在(4,10)上是减函数．
所以a≥g(4)＝2ln 4－2＝4ln 2－2.
由条件③得f(10)＝10－2ln 10＋a≤8，
解得a≤2ln 10－2.
另一方面，由x－2ln x＋a≤x，得a≤2ln x在x∈[2,10]上恒成立，所以a≤2ln 2.
综上所述，a的取值范围为[4ln 2－2,2ln 2]，
所以满足条件的整数a的值为1.
7．(2013·苏北四市统考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的解析式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？
解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
所以写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以
y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为
g(x)＝×10 000＝
＝50≥50×(2＋79)＝6 950，
当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立．
所以要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为30层．
8．(2014·南通一调)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．
(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 h，种植一捆沙棘树苗用时 h．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？
(2)在按(1)分配的人数种植1 h后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 h，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 h，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．
解：(1)设A组人数为x，且0F(20)．
所以当A，B两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短．
(2)A组所需时间为1＋＝3，
B组所需时间为1＋＝3，
所以植树活动所持续的时间为3 h.
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2014·扬州期末)某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝(0≤x≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设函数f(x)为建造宿舍与修路费用之和．
(1)求f(x)的解析式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求出最小值．
解：(1)根据题意得100＝，所以k＝800.
故f(x)＝＋5＋6x,0≤x≤8.
(2)因为f(x)＝＋2(3x＋5)－5
≥2 －5＝75，
当且仅当＝2(3x＋5)，即x＝5时取等号．
所以f(x)min＝75.
所以宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．
2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t.
(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？
解：(1)由题意得BP＝t，CP＝1－t,0≤t≤1.
∠DAQ＝45°－θ，DQ＝tan(45°－θ)＝，
CQ＝1－＝，
所以PQ＝＝＝.
所以l＝CP＋CQ＋PQ＝1－t＋＋＝1－t＋1＋t＝2，是定值．
(2)S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ＝1－t－·＝
2－.
因为1＋t>0，所以S≤2－2 ＝2－，当且仅当(1＋t)＝，即t＝－1时取等号．
所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2－)平方百米．
3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100 km/h.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v km/h的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．
(1)把全程运输成本y元表示为速度v km/h的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：(1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋0.01v2·＝＋5v.
故所求函数为y＝＋5v，v∈(0,100]．
(2)由题意知a，v都为正数，故＋5v≥100，当且仅当＝5v，即v＝10时，等号成立．
①若10≤100，即0100，即a>100时，则当v∈(0,100]时，有
y′＝－＋5＝<0.
所以函数y在v∈(0,100]上单调递减，也即当v＝100时，全程运输成本y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，当0100时，行驶速度应为v＝100 km/h.
4．(2014·镇江质检)有一海湾，海岸线为近似半个椭圆(如图)，椭圆长轴端点分别为A，B.A，B间的距离为3 km，椭圆焦点分别为C，D.C，D间的距离为2 km，在C，D处分别有甲、乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．
(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；
(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？
解：(1)由点P在椭圆上知，PC＋PD＝3，即PC＝x，
则PD＝3－x.
所以度假村P受乙油井污染程度为，受甲油井污染程度为.
所以f(x)＝＋，定义域为.
(2)由(1)知f(x)＝＋
＝ak1k2.
故f′(x)＝ak1k2
＝2ak1k2·
＝18ak1k2·.
令f′(x)＝0，解得x＝2，
当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数．
故当x＝2时，f(x)取得最小值．
即度假村离甲油井2 km时，甲乙两油井对度假村的污染程度和最小．
第十节变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
如果当Δx→0时，→常数A，就说函数y＝f(x)在x0处可导，并把A叫做f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0.
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率，相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)；
(4)瞬时速度是位移函数S(t)对时间t的导数，即v(t)＝S′(t)；瞬时加速度是速度函数v(t)对时间t的导数，即a(t)＝v′(t)．
2．基本初等函数的导数公式
(sin x)′＝cos_x，(cos x)′＝－sin_x，(ax)′＝axln_a，(ex)′＝ex，(logax)＝，(ln x)′＝.
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．简单复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝f′(u)·ux′，即y′x＝f′(u)·a.
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[试一试]
1．(2014·南通期末)曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为__________________．
解析：因为y′＝ln x＋1，故点M(e，e)处的切线的斜率为2，所求切线方程为y＝2x－e.
答案：y＝2x－e
2．(2014·苏州质检)过坐标原点作函数y＝ln x图像的切线，则切线斜率为________．
解析：设切点为(x0，y0)，因为y′＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)．因为切线过原点，故y0＝1.又y0＝ln x0，得x0＝e，所以所求斜率为.
答案：
考点一
导数的运算
[典例] 求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝；(3)y＝ln(2x－5)．
[解] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝
＝＝.
(3)令u＝2x－5，y＝ln u，
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
[备课札记]
[类题通法]
1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．
[针对训练]
已知f(x)＝sin 2x，记fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N*)，则f1＋f2＋…＋f2 013＋f2 014＝________.
解析：由题意，可知f2(x)＝f1′(x)＝(sin 2x)′＝2cos 2x；
f3(x)＝f2′(x)＝(2cos 2x)′＝－4sin 2x；
f4(x)＝f3′(x)＝(－4sin 2x)′＝－8cos 2x；
f5(x)＝f4′(x)＝(－8cos 2x)′＝16sin 2x；
…
故f4k＋1(x)＝24ksin 2x，f4k＋2(x)＝24k＋1cos 2x，f4k＋3(x)＝－24k＋2sin 2x，f4k＋4(x)＝－24k＋3cos 2x(k∈N)．
所以f1＋f2＋…＋f2 014
＝20sin＋21cos－22sin－
23cos＋24sin＋…－22 010sin－22 011cos＋22 012sin＋22 013cos
＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos
＝×＋×
＝×＋×
＝
答案：
考点二
导数的几何意义
导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题.归纳起来常见的命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)求切点坐标；
(3)求参数的值.
角度一 求切线方程
1．(2014·镇江统考)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．
解析：因为y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.g(2)＝22＋f(2)＝7，即点(2，g(2))为(2,7)，由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
答案：6x－y－5＝0
角度二 求切点坐标
2．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：由题知，k＝f′(x)＝3x2－10＝2(x<0)，解得x＝－2，所以y＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，所以点P的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
角度三 求参数的值
3．(2014·苏锡常镇二调)在平面直角坐标系xOy中，点P(0,1)在曲线C：y＝x3－x2－ax＋b(a，b为实数)上，已知曲线C在点P处的切线方程为y＝2x＋1，则a＋b＝________.
解析：由P(0,1)在曲线C：y＝x3－x2－ax＋b上，且点P处的切线方程为y＝2x＋1
，对曲线C关于x求导得y′＝3x2－2x－a，令y＝f(x)，则即解得所以a＋b＝－1.
答案：－1
[备课札记]
[类题通法]
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．
[课堂练通考点]
1．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.
解析：y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
答案：－6
2．已知f(x)＝x(2 012＋ln x)，f′(x0)＝2 013，则x0＝________.
解析：由题意可知f′(x)＝2 012＋ln x＋x·＝2 013＋ln x．由f′(x0)＝2 013，得ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：1
3．若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．
解析：y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．
答案：(1,1)
4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.
答案：－4
5．(2014·苏北四市统考)已知曲线f(x)＝xsin x＋1在点处的切线与直线ax＋y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.
解析：f′(x)＝sin x＋xcos x，由题意f′＝sin＋cos＝1＝，所以a＝1.
答案：1
6．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥－x2＋ax－6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
(3)过点A作函数y＝f(x)图像的切线，求切线方程．
解：(1)f′(x)＝ln x＋1.
令f′(x)<0得ln x<－1，所以00，所以a≤ln x＋x＋.设g(x)＝ln x＋x＋，则
g′(x)＝＝.
当x∈(0,2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．
所以g(x)的最小值为g(2)＝5＋ln 2，故实数a的取值范围是(－∞，5＋ln 2]．
(3)设切点T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，
所以＝ln x0＋1，即e2x0＋ln x0＋1＝0.
设h(x)＝e2x＋ln x＋1，当x>0时，h′(x)＝e2＋>0，所以h(x)是单调递增函数，故h(x)＝0最多只有一个根．
又h＝e2·＋ln ＋1＝0，所以x0＝，
所以f′(x0)＝－1，所以所求切线方程为x＋y＋＝0.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2014·泰州期末)曲线y＝2ln x在点(e,2)处的切线(e是自然对数的底)与y轴交点的坐标为________．
解析：由曲线y＝2ln x得y′＝，所以k＝，所以点(e,2)处的切线方程为y－2＝(x－e)，令x＝0得y＝0，所以曲线y＝2ln x在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为(0,0)．
答案：(0,0)
2．曲线y＝x3＋ax＋1的一条切线方程为y＝2x＋1，则实数a＝________.
解析：由题知y′＝3x2＋a，设切点为(x0，x＋ax0＋1)，则切线方程为y－(x＋ax0＋1)＝(3x＋a)(x－x0)，即y＝(3x＋a)x＋(－2x＋1)．又切线方程为y＝2x＋1，所以解得
答案：2
3．(2014·常州模拟)已知点A(1,1)和B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d均为常数)上．若曲线C在点A，B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.
解析：由题意得y′＝3ax2＋2bx，因为k1＝k2，所以3a＋2b＝3a－2b，即b＝0.又a＋d＝1，d－a＝－3，所以d＝－1，a＝2，即a3＋b2＋d＝7.
答案：7
4．(2013·南通一模)曲线f(x)＝·ex－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．
解析：因为f′(x)＝·ex－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝ex－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.
答案：y＝ex－
5．(2013·南京、盐城三模)设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．
解析：设P(x0，x)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x.代入y＝x2得x2＋－－x＝0，
即(x－x0)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝
2＋2，令t＝4x，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.
答案：
6．(2013·广东高考)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析：因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
8．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 014＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 014＝503f1＋f2＋f3＋f4＋f1＋f2＝0.
答案：0
9．(2014·南京摸底)已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2)当a>0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x，
则f′(x)＝2x＋1－，
所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为
y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋
＝＝(x>0)．
由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a.
①当00且x>0，
得00，得a0且x>0，
得00，得0且x>0，得00，得1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；
(3)当a<1时，不等式f(x)≥m·g(x)在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝x2－aln x，得f′(x)＝.
由g(x)＝x－，得g′(x)＝.
又由题意可得f′(1)＝g′(1)，即2－a＝，
故a＝2或a＝.
所以当a＝2时，f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝x－；
当a＝时，f(x)＝x2－ln x，g(x)＝2x－.
(2)当a>1时，
h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2ln x－x＋，
所以h′(x)＝2x－－＋
＝－
＝(－1).
由x>0，得>0.
故当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以函数h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln 1－＋1＝.
(3)当a＝时，f(x)＝x2－ln x，g(x)＝2x－.
当x∈时，f′(x)＝2x－＝<0，
f(x)在上为减函数，
f(x)≥f＝＋ln 2>0.
当x∈时，g′(x)＝2－＝>0，g(x)在上为增函数，
g(x)≤g＝1－，且g(x)≥g＝0.
要使不等式f(x)≥m·g(x)在x∈上恒成立，
当x＝时，m为任意实数；当x∈时，m≤.
而min＝＝ln(4e)，
所以m≤ln(4e)．
实数m的取值范围为
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·苏州调研)已知函数f(x)＝aln x－bx2图像上一点P(2，f(2))处的切线方程为y＝－3x＋2ln 2＋2.
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)＋m＝0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围(其中e为自然对数的底，e≈2.7)；
(3)令g(x)＝f(x)－nx，如果g(x)图像与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x10，所以h(x)是增函数；
当x∈(1，e]时，h′(x)<0，所以h(x)是减函数．
则方程h(x)＝0在内有两个不等实根的充要条件是解得10，所以u(t)在00，解得a>2或a<－1.
答案：a>2或a<－1
2．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
解析：y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝.
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8.
所以最大值为8.
答案：8
第一课时 导数与函数单调性
考点一
判断或证明函数的单调性
[典例] (2013·天津高考节选)设a∈[－2,0]，已知函数f(x)＝
证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1, ＋∞)内单调递增．
[证明] 设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝x3－x2＋ax(x≥0)，
①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由于a∈[－2,0]，
从而当－11时，f2′(x)>0，即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．
综合①②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．
[备课札记]
[类题通法]
导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．
[针对训练]
已知函数f(x)＝x2－ex试判断f(x)的单调性并给予证明．
解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减，
f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可．
设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，
当x＝ln 2时，g′(x)＝0，
当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0，
当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.
∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0，
∴f′(x)<0恒成立，
∴f(x)在R上单调递减．
考点二
求函数的单调区间
[典例] 已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．
[解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
由已知可得解得a＝b＝3.
(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，
∵a>0，∴x10得，x<－或x>－；
由F′(x)<0得，－0时，在区间(－∞，－1)上的单调性.
解：当06时，f(x)＋g(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
[类题通法]
求函数的单调区间的“两个”方法
(1)方法一：①确定函数y＝f(x)的定义域；
②求导数y′＝f′(x)；
③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)方法二：①确定函数y＝f(x)的定义域；
②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
[针对训练]
(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R.
(1)当a＝8时，求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[e，e2]上的最小值．
解：(1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x，
f′(x)＝2x－4－＝.
由题意可知x>0，
由f′(x)>0得x>3.
所以函数f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)；
由f′(x)<0得00时，Δ＝16－4×2(2－a)＝8a>0，
令f′(x)>0，即2x2－4x＋2－a>0，解得x>1＋或x<1－(舍去)；
令f′(x)<0，即2x2－4x＋2－a<0，解得1－0，所以00，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．
因为f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，所以m≥3.
故实数m的取值范围是[3，＋∞)．
(2)当m≥3时，f(x)在[1,2]上是增函数，
所以f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，
解得m＝<3，不合题意，舍去；
当m<3时，由f′(x)＝3(m－3)x2＋9＝0，
解得x＝± .
所以f(x)在区间和上单调递减，在区间上单调递增．
①当≥2，即≤m<3时，
[1,2]⊆，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足题设要求，舍去；
②当1< <2，即00且x≠1)．
(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a的最小值；
(2)若∃x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，故f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立．
所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.
又 f′(x)＝－a＝－2＋－a
＝－2＋－a，
故当＝，即x＝e2时，f′(x)max＝－a.
所以－a≤0，于是a≥，故实数a的最小值为.
(2)命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤f′(x)max＋a”．
由(1)知当x∈[e，e2]时，f′(x)max＝－a，
所以f′(x)max＋a＝，
问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤”．
由(1)知函数f(x0)在[e，e2]上单调递减，所以f(x)min＝f(e2)＝－e2a≤，解得a≥－.
即实数a的取值范围是.
[课堂练通考点]
1．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．
解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，
由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.
答案：(0，＋∞)
2．(2014·扬州期末)已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.
解析：因为f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤－3e.又f′(x)＝，且x∈[1，e]，所以f′(x)<0, 即f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝4，即m＝－3e.
答案：－3e
3．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.
又∵f(x)在R上是单调增函数，
∴Δ＝4－12 m≤0，即m≥.
答案：
4.已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax－1.
当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，
解之，得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.
则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，
列表如下：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex
＝(－x2－x＋c)·ex
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex，
因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．
[课下提升考能]
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为________．
解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
解析：∵f(x)＝(x－3)·ex，
f′(x)＝ex(x－2)>0，∴x>2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
3．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为____________．
解析：依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)0，函数单调递增；
当x>2时，F′(x)<0，函数单调递减．
即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋2x－ax2－ax，
则F′(x)＝－，
当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立；
当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝，x＝－(舍去)．
当00，函数单调递增；
当x>时，F′(x)<0，函数单调递减．
故F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F，依题意
F ≤0恒成立，即ln＋－1≤0.
令g(a)＝ln＋－1，又g(x)单调递减，且g(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要条件是a≥1，
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
7．(2013·苏锡常镇二调)已知函数f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，实数a，b为常数)．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝|x－2|＋bln x＝
①当0，
则g′(x)>－a＋＋＝≥0，
即g′(x)>0，所以g(x)在上是单调增函数；
当x>时，g(x)＝ax－2＋ln x－，
g′(x)＝a＋＋>0，
所以g(x)在上是单调增函数．
因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．
因为g＝ln－，而a≥2，所以ln≤0，则
g<0，g(1)＝|a－2|－1＝a－3.
①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的个数为1；
②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝ 解的个数为0.
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2014·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－2acos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若k＝2 014，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．
解：(1)由已知得x>0且f′(x)＝2x－(－1)k·.
当k是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)＝2x－＝.
所以当x∈(0，)时，f′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0.
故当k是偶数时，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数．
(2)若k＝2 014，则f(x)＝x2－2aln x(k∈N*)．
记g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2aln x－2ax，
则g′(x)＝2x－－2a＝(x2－ax－a)．
则方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．
令g′(x)＝0，得x2－ax－a＝0.
因为a>0，x>0，所以x1＝<0(舍去)，
x2＝.
当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是单调减函数；当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是单调增函数．
当x＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)min＝g(x2)．
因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0.
则即
两式相减得2aln x2＋ax2－a＝0，
因为a>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*)
设函数h(x)＝2lnx＋x－1.
因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一个解．
因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1.
从而解得a＝.
2．(2014·南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)＝x＋sin x.
(1)设P，Q是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．
解：(1)由题意，得f′(x)＝1＋cos x≥0.
所以函数f(x)＝x＋sin x在R上单调递增．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，则>0，即kPQ>0.
所以直线PQ的斜率大于0.
(2)当a≤0时，x∈，则f(x)＝x＋sin x≥0≥axcos x恒成立，所以a≤0；
当a>0时，令g(x)＝f(x)－axcos x＝x＋sin x－axcos x，
则g′(x)＝1＋cos x－a(cos x－xsin x)
＝1＋(1－a)cos x＋axsin x.
①当1－a≥0，即00，所以g(x)在上为单调增函数．
所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合题意．
所以01时，
令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x，
于是h′(x)＝(2a－1)sin x＋axcos x.
因为a>1，所以2a－1>0，从而h′(x)≥0.
所以h(x)在上为单调增函数．
所以h(0)≤h(x)≤h，即2－a≤h(x)≤a＋1，
即2－a≤g′(x)≤a＋1.
(ⅰ)当2－a≥0，即12时，存在x0∈，使得当x∈(0，x0)时，有g′(x)<0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数，从而g(x)0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．
3．(2014·苏北四市摸底)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－bx(b为常数)．
(1)函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与g(x)的图像相切，求实数b的值；
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；
(3)若b>1，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|>|g(x1)－g(x2)|成立，求实数b的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为
y＝x－1.
由消去y，得x2－2(b＋1)x＋2＝0.
所以Δ＝4(b＋1)2－8＝0，解得b＝－1±.
(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)，
所以h′(x)＝＋x－b＝.
由题意知，h′(x)<0在(0，＋∞)上有解．
因为x>0，设u(x)＝x2－bx＋1，则u(0)＝1>0，
所以解得b>2.
所以实数b的取值范围是(2，＋∞)．
(3)不妨设x1>x2.
因为函数f(x)＝ln x在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)>f(x2)，函数g(x)图像的对称轴为直线x＝b，且b>1.
(ⅰ)当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)在区间[1,2]上是增函数，即等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，亦等价于b≤x＋在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2.
又b≥2，所以b＝2；
(ⅱ)当1|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x2)－g(x1)，等价于f(x1)＋g(x1)>f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x>0)在区间[1，b]上是增函数，等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b≤x＋在区间[1，b]上恒成立，所以b≤2.
又1|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)>g(x1)－g(x2)等价于f(x1)－g(x1)>f(x2)－g(x2)，等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x2＋bx在区间[b,2]
上是增函数，等价于H′(x)＝－x＋b≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b≥x－在区间[b,2]上恒成立，所以b≥，故≤b<2；
③当1≤x2|g(x1)－g(x2)|对于①②同时成立，那么对于③，
则存在t1∈[1，b]，使|f(x1)－f(x2)|>|f(t1)－f(x2)|>|g(t1)－g(x2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立；
或存在t2∈[b,2]，使|f(x1)－f(x2)|>|f(x1)－f(t2)|>|g(x1)－g(t2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立．
因此≤b<2.
综上所述，实数b的取值范围是.
第二课时 导数与函数极值、最值
考点一
运用导数解决函数的极值问题
[典例] (2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解] (1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
[备课札记]
若把本例中f(x)变为“f(x)＝x－aln x(a∈R)”，试求函数的极值.
解：由f′(x)＝1－＝，x>0知：
(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
[类题通法]
求函数f(x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
[针对训练]
设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，
从而f′(x)＝62＋b－，
即y＝f′(x)关于直线x＝－对称．
从而由题设条件知－＝－，即a＝3.
又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，
得b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，
令f′(x)＝0，
即6(x－1)(x＋2)＝0，
解得x＝－2或x＝1，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，
即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，
即f(x)在(－2,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
考点二
运用导数解决函数的最值问题
[典例] (2013·苏锡常镇调研(二))已知a为正常数，函数f(x)＝|ax－x2|＋ln x.
(1)若a＝2，求函数f(x)的单调增区间；
(2)设g(x)＝，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．
[解] (1)由a＝2得f(x)＝|2x－x2|＋ln x(x>0)，
当00；
当2时，f(x)＝x2－2x＋ln x，
f′(x)＝2x－2＋＝>0.
所以f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
所以函数f(x)的单调增区间为，(2，＋∞)．
(2)g(x)＝＝|x－a|＋，x∈[1，e]．
①若a≤1，则g(x)＝x－a＋，
故g′(x)＝1＋＝.
因为x∈[1，e]，所以0≤ln x≤1，所以1－ln x≥0，
x2＋1－ln x>0，所以g′(x)>0.
所以g(x)在[1，e]上为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝1－a；
②若a≥e，则g(x)＝a－x＋，
则g′(x)＝－1＋＝，
令h(x)＝－x2＋1－ln x，则h′(x)＝－2x－<0.
所以h(x)在[1，e]上为减函数，则h(x)≤h(1)＝0.
所以g(x)在[1，e]上为减函数，所以g(x)的最小值为
g(e)＝a－e＋.
③当10)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
解：(1)f′(x)＝－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
(2)f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝，
∵当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<1；
令f′(x)<0，得10)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
[解] (1)f′(x)＝
＝，
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．
而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
[备课札记]
[类题通法]
求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．
[针对训练]
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0， ①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0， ②
由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，
所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4.所以c＝5.
(2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解之，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
＋
0
－
0
＋
＋
f(x)
8
13
4
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
[课堂练通考点]
1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：－
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于________．
解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即
解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，
故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
答案：18
3．(2014·苏北四市统考)已知t为常数，函数f(x)＝|x3－3x－t＋1|在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t＝________.
解析：由题意知－2≤x3－3x－t＋1≤2在x∈[－2,1]上恒成立，不等式左右两边分别分离变量，可得x3－3x－1≤t≤x3－3x＋3在x∈[－2,1]上恒成立，得1≤t≤1，所以t＝1.本题还可以通过数形结合的方法讨论解决．
答案：1
4．(2013·镇江12月统考)已知函数f(x)＝(x>0，x≠1)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若不等式e>x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
(1，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
极小值f(e)
由表得函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1，e)，单调增区间为(e，＋∞)．
所以存在极小值为f(e)＝e，无极大值．
(2)当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立．
当x>0时，在不等式e>x两边同时取自然对数，得
>ln x．(*)
①当00，不等式恒成立；
如果a<0，ln x<0，aln x>0，不等式(*)等价于a<，
由(1)得，此时∈(－∞，0)，不等式(*)不恒成立．
②当x>1时，ln x>0，则a>0，不等式(*)等价于a<，由(1)得，此时的最小值为e，得00，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
答案：④
3．(2013·南通三模)定义在[1，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(2x)＝cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)＝1－|x－3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝________.
解析：易知当2≤x≤4时，其极大值点为(3,1)；当1≤x≤2时，2≤2x≤4，从而由条件得f(x)＝f(2x)＝(1－|2x－3|)．因为c>0，故极大值点为；当2≤x≤4时，4≤2
x≤8，从上述步骤得f(2x)＝cf(x)＝c(1－|4x－3|)．因为c>0，故极大值点为(6，c)；上述三点在同一直线上，所以＝，解得c＝2或1.
答案：1或2
4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，
∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，
f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，
且对称轴为x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
答案：－13
5．(2013·盐城三调)设a>0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－ln x，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．
解析：问题可转化为f(x)min≥g(x)max，当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故g(x)单调递增，则g(x)max＝g(e)＝e－1.又f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，易知，x＝a是函数f(x)的极小值，当0e时，f(x)min＝f(e)＝e＋，则e＋≥e－1，显然成立，所以a>e.综上，a≥.
答案：[，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m
的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
7．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，
⇒
∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
8．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a0； ②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
解析：∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a0，
y极小值＝f(3)＝－abc<0.
∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.
答案：②③
9．(2013·江苏高考节选)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．
解：令f′(x)＝－a＝<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．
同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当xln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.
综上，a的取值范围为(e，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2－1与函数g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设F(x)＝f(x)－2g(x)，求函数F(x)的极值．
解：(1)因为f(1)＝0，g(1)＝0，
所以点(1,0)同时在函数f(x)，g(x)的图像上，
因为f(x)＝x2－1，g(x)＝aln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝，
由已知，得f′(1)＝g′(1)，所以2＝，即a＝2.
(2)因为F(x)＝f(x)－2g(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
所以F′(x)＝2x－＝，
当a<0时，
因为x>0，且x2－a>0，所以F′(x)>0对x>0恒成立，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)无极值；
当a>0时，
令F′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)，
所以当x>0时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
递减
极小值
递增
所以当x＝时，F(x)取得极小值，且F()＝()2－1－2aln＝a－1－aln a.
综上，当a<0时，函数F(x)在(0，＋∞)上无极值；
当a>0时，函数F(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a.
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2014·常州调研)已知函数f(x)＝ax－ln x，g(x)＝，它们的定义域都是(0，e]，其中e是自然对数的底e≈2.7，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)当a＝1时，求证：f(m)>g(n)＋对一切m，n∈(0，e]恒成立；
(3)是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x.
所以f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1
所以当x＝1时，f(x)min＝1.
(2)证明：由(1)知，当m∈(0，e]时，有f(m)≥1.
因为0g(n)＋对一切m，n∈(0，e]恒成立．
(3)假设存在实数a，使f(x)的最小值是3，则
f′(x)＝a－＝.
①当a≤时，因为0时，
若00，f(x)在上为增函数．
所以当x＝时，fmin(x)＝1－ln＝3，解得a＝e2.
所以假设成立，存在实数a＝e2，使得f(x)的最小值是3.
2．(2014·苏州期末)设函数f(x)＝ln x－－ln a(x>0，a>0且为常数)．
(1)当k＝1时，判断函数f(x)的单调性，并加以证明；
(2)当k＝0时，求证：f(x)>0对一切x>0恒成立；
(3)若k<0，且k为常数，求证：f(x)的极小值是一个与a无关的常数．
解：(1)当k＝1时，f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，
因为f′(x)＝－·x－－x－
＝－≤0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数．
(2)证明：当k＝0时，f(x)＝ln x＋x－－ln a，故
f′(x)＝－＝.
令f′(x)＝0，解得x＝.
当0时，f′(x)>0，f(x)在上是单调增函数．
所以当x＝时，f′(x)有极小值，为f＝2－2ln 2.
因为e>2，所以f(x)的极小值，为f＝2(1－ln 2)＝2ln>0.
所以当k＝0时，f(x)>0对一切x>0恒成立．
(3)证明：f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，
所以f′(x)＝.
令f′(x0)＝0，得kx0－2＋a＝0.
所以＝.
所以x0＝.
当0x0时，f′(x)>0，f(x)在(x0，＋∞)上是单调增函数．
因此，当x＝x0时，f(x)有极小值f(x0)．
又f(x0)＝ln－k ＋ ，而＝是与a无关的常数，所以ln，－k ， 均与a无关．
所以f(x0)是与a无关的常数．
故f(x)的极小值是一个与a无关的常数．
3．(2014·泰州质检)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常数．
(1)若a≠b，求证：函数f(x)存在极大值和极小值；
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1，x2，设点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直线AB的斜率为－，求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．
解：(1)证明：f′(x)＝(x－b)[3x－(2a＋b)]，
因为a≠b，所以b≠，
所以f′(x)＝0有两个不等实根b和，
所以f(x)存在极大值和极小值．
(2)①当a＝b时，f(x)不存在减区间；
②当a>b时，由(1)知x1＝b，x2＝，
所以A(b,0)，B，
所以＝－，即4(a－b)3＝9(a－b)，
所以a－b＝或a－b＝－(舍去)；
③当ab且a－b＝或aAD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．
(1)设AB＝x m，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：(1)由题意AB＝x，BC＝2－x.
因为x>2－x，所以10恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)若a＝1，则f(x)＝x|x－1|－ln x.
当x∈[1，e]时，f(x)＝x2－x－ln x，
f′(x)＝2x－1－＝>0.
所以f(x)在[1，e]上单调递增，
从而f(x)max＝f(e)＝e2－e－1.
(2)由于f(x)＝x|x－a|－ln x，x∈(0，＋∞)．
当a≤0时，则f(x)＝x2－ax－ln x，
f′(x)＝2x－a－＝.
令f′(x)＝0得x0＝>0(舍去负根)．
当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
当a>0时，
①当x≥a时，f′(x)＝2x－a－＝，
令f′(x)＝0得
x1＝，
当a≥1时，≤a，f′(x)≥0，
所以f(x)在(a，＋∞)上单调递增；
当0a，当x∈(0，x1)时，f′(x)<0；x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
②当02时，由f′(x)＝0
得x3＝，x4＝且00；当x∈(x4，a)时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当a<1时，f(x)的单调减区间是，单调增区间是；
当1≤a≤2时，f(x)的单调减区间是(0，a)，单调增区间是(a，＋∞)；
当a>2时，f(x)的单调递减区间是和，单调递增区间是和(a，＋∞)．
(3)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由f(x)>0得|x－a|>.(*)
当x∈(0,1)时，|x－a|≥0，<0，不等式(*)恒成立，所以a∈R；
当x＝1时，|1－a|≥0，＝0，所以a≠1；
当x>1时，
①当a≤1时，则|x－a|>恒成立等价于x－a>恒成立，即a0，故u(x)＝x－在(1，＋∞)上单调递增，u(x)>u(1)＝1，故a<1；
②当a>1时，若|x－a|>对x∈(1，＋∞)恒成立，取x＝a，则|x－a|＝0，＝>0，矛盾．
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是(－∞，1)．
[备课札记]
[类题通法]
利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：
(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)
恒成立的问题．
(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．
[针对训练]
设函数f(x)＝x2＋ex－xex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，
若x＝0，则f′(x)＝0；
若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0；
若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．
故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2，
∴m<2－e2时，不等式f(x)>m恒成立．
故m的取值范围为(－∞，2－e2)．
考点三
利用导数证明不等式问题
[典例] (2013·徐州期中)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
[解] (1)f′(x)＝ln x＋1，当x∈，f′(x)<0，
f(x)单调递减；当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增．
①当00)，则
h′(x)＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
所以h(x)min＝h(1)＝4.
因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.
所以实数a的取值范围是(－∞，4]．
(3)证明：问题等价于证明xln x>－(x∈(0，＋∞))．
由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，
当且仅当x＝时取到．
设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到．
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
[备课札记]
[类题通法]
利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．
[针对训练]
已知函数f(x)＝x2－ax3(a>0)，函数g(x)＝f(x)＋ex(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若a＝e，
(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；
(ⅱ)求证：x>0时，不等式g′(x)≥1＋ln x恒成立．
解：(1)f′(x)＝x－ax2＝－ax，
∴当f′(x)＝0时，x＝0或x＝，又a>0，
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈时，
f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)的极小值为f(0)＝0，
f(x)的极大值为f＝.
(2)∵a＝e，∴g(x)＝x2－ex3＋ex(x－1)，
g′(x)＝x(ex－ex＋1)．
(ⅰ)记h(x)＝ex－ex＋1，则h′(x)＝ex－e，
当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
∴h(x)≥h(1)＝1>0，
则在(0，＋∞)上，g′(x)>0；
在(－∞，0)上，g′(x)<0，
∴函数g(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．
(ⅱ)证明：x>0时，g′(x)＝x(ex－ex＋1)≥1＋ln x⇔ex－ex＋1≥，
由(ⅰ)知，h(x)＝ex－ex＋1≥1，
记φ(x)＝1＋ln x－x(x>0)，则φ′(x)＝，
在区间(0,1)上，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
在区间(1，＋∞)上，φ′(x)<0，φ(x)是减函数，
∴φ(x)≤φ(1)＝0，即1＋ln x－x≤0，≤1，
∴ex－ex＋1≥1≥，即g′(x)≥1＋ln x恒成立．
[课堂练通考点]
1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为
________．
解析：∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上单调递减；
∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．
∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2<3，
∴a≥3.
经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
答案：[3，＋∞)
2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.
答案：1
2．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
解析：因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
答案：20
3．(2013·镇江12月统考)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2＋2)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(x2＋2)0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
解析：由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于040时，y′>0.
所以当x＝40时，y有最小值．
答案：40
5．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．
∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.
要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.
答案：(－∞，0)
6．(2014·扬州模拟)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.
(1)求助跑道所在的抛物线方程；
(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．
(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)
解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a0x2＋b0x＋c0，依题意解得 a0＝1，b0＝－4，c0＝4，
所以助跑道所在的抛物线方程为
f(x)＝x2－4x＋4，x∈[0,3]．
(2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)，
依题意即解得
所以g(x)＝ax2＋(2－6a)x＋9a－5
＝a2＋1－.
令g(x)＝1，得2＝.
因为a<0，所以x＝－＝3－.
当x＝时，g(x)有最大值，为 1－，
则运动员的飞行距离d＝3－－3＝－，
飞行过程中距离平台最大高度h＝1－－1＝－，
依题意，4≤－≤6，即2≤－≤3，
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 m到3 m之间．
7．(2014·苏北三市调研)已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(1)求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0)，a≠1)，
所以f′(x)＝ax ln a＋2x－ln a，
f′(0)＝0，又因为f(0)＝1，
所以函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)由(1)知f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.
因为当a>0，a≠1时，总有f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(3)因为存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，而当x1，x2∈[－1,1]时，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．当x变化时，f′(x) ，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以f(x)在[－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当x∈[－1,1]时，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max为f(－1)和f(1)中的最大值．
f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－
＝a－－2ln a.
令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，
因为g′(a)＝1＋－＝2≥0，
所以g(a)＝a－－2ln a在a∈(0，＋∞)上是增函数.
而g(1)＝0，故当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(－1)；
当01时，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，易得函数y＝a－ln a在a∈(1，＋∞)上是增函数，解得a≥e；
当00，b>0.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P为切点)，求实数a，b的值；
(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.
①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；
②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由P(2，c)为公共切点，
f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx(a>0)，
得f′(x)＝2ax，k1＝4a，
g′(x)＝3x2＋b，k2＝12＋b.
又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，
所以解得a＝，b＝5.
(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.
因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，
所以x∈时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．
此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，
所以32＋2a＋b＝0，得a2＝4b，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1.
又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
若－1≤－，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a－；
若－<－1<－时，即20且m≠1)满足＝，试比较x0与m的大小，并加以证明．
解：(1)f3′(x)＝3ax2，由f3′(2)＝12得a＝1.
(2)gn(x)＝xn－n2ln x－1，
g′n(x)＝nxn－1－＝.
因为x>0，令gn′(x)＝0得x＝，
当x>时，gn′(x)>0，gn(x)是增函数；
当01时，(n＋1)(mn－1)>0.
设h(x)＝－xn＋1＋x(n＋1)－n(x≥1)，
则h′(x)＝－(n＋1)xn＋n＋1＝－(n＋1)(xn－1)≤0，
当且仅当x＝1时取等号，
所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．
又m>1，所以h(m)0，
所以x0>m.
综上所述，当m>1时，x0m.
3．(2013·南京、盐城一模)已知f(x)是定义在集合M上的函数．若区间D⊆M，且对任意x0∈D，均有f(x0)∈D，则称函数f(x)在区间D上封闭．
(1)判断f(x)＝x－1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由；
(2)若函数g(x)＝在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围；
(3)若函数h(x)＝x3－3x在区间[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封闭，求a，b的值．
解：(1)因为函数f(x)＝x－1在区间[－2,1]上单调递增，
所以当x∈[－2,1]时，f(x)的值域为[－3,0]．
而[－3,0]⊄[－2,1]，所以函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的．
(2)因为g(x)＝＝3＋.
①当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a＝3满足题意；
②当a>3时，在区间[3,10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的值域为.
由⊆[3,10]得解得3≤a≤31，
故31时，h′(x)>0；当x＝－1或x＝1时，
h′(x)＝0；当－10，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.经检验，a＝－2，b＝2符合题意；
②当a＝－1时，由h(－1)＝2，得b＝2，此时h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合题意；
③当a＝0时，显然不符合题意．
综上所述，a＝－2，b＝2.
“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范
[对应学生用书P33]
[技法概述]
解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．有些问题的结论看似不明确或不利于解决，可以转换角度，达到解决问题的目的．
[适用题型]
高考中有以下几类解答题用到此种审题方法：
1．研究函数与导数中两函数图像交点、函数的零点、方程的根等问题；
2．一些不等式恒成立问题常转换求函数的最值；
3．圆锥曲线中的定点问题，常转换先求直线方程．
[典例] (2013·陕西高考，节选)(本题满分12分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点．
[失分警示]
不说明两曲线公共点的个数等于函数零点个数，步骤不规范．
⇐
⇐
[解题流程]
第一步
利用斜率求切线方程
第二步
构造新函数，将公共点转化为零点
第三步
求零点
第四步
求函数的导函数并判断其单调性进而求极值(最值)
第五步
利用极值(最值)判断零点个数即交点个数
第六步
得出结论
⇐
⇐
⇐
想不到第二次求导即构造新函数h(x)导致解题中断．
不说明φ′(x)有最小值0导致扣分．
⇐
1．(2014·北京东城模拟)已知函数：f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
(2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)0，f(x)为增函数，
∴f(x1)min＝f(e)＝e－(a＋1)－，
g′(x)＝x＋ex－xex－ex＝x(1－ex)，
当x2∈[－2,0]时g′(x)≤0，
g(x)为减函数，g(x2)min＝g(0)＝1，
∴e－(a＋1)－<1，即a>，
∴a的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝ax＋xln x，且图像在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)＝，求g(x)的单调区间；
(3)当m>n>1(m，n∈Z)时，证明：>.
解：(1)f(x)＝ax＋xln x，f′(x)＝a＋1＋ln x，
依题意f′＝a＝1，所以a＝1.
(2)因为g(x)＝＝，
所以g′(x)＝.
设φ(x)＝x－1－ln x，则φ′(x)＝1－.
当x>1时，φ′(x)＝1－>0，φ(x)是增函数，对任意x>1，φ(x)>φ(1)＝0，即当x>1时，g′(x)>0，
故g(x)在(1，＋∞)上为增函数．
当0φ(1)＝0，即当00，故g(x)在(0,1)上为增函数．
所以g(x)的递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．
(3)证明：要证>，即证－>ln n－ln m，
即ln m>ln n，>.(*)
因为m>n>1，由(2)知，g(m)>g(n)，故(*)式成立，
所以>.
3．(2014·石家庄模拟)设函数f(x)＝x－1ex的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)求函数f(x)在[m，m＋1](m>0)上的最小值；
(2)设函数g(x)＝若x1≠x2，
且g(x1)＝g(x2)，证明：x1＋x2>2.
解：(1)由题意得f′(x)＝，则当x>1时，f′(x)>0；
01时，2x－2>0，从而e2x－2－1>0，
又e－x>0，所以F′(x)>0，
从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．
又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x>1时，
有F(x)>F(1)＝0，即g(x)>g(2－x)．②
由①及g(x1)＝g(x2)知x1与x2只能在1的两侧．
不妨设01，
由结论②可知，g(x2)>g(2－x2)，
所以g(x1)＝g(x2)>g(2－x2)．
因为x2>1，所以2－x2<1，
又由结论①可知函数g(x)在(－∞，1)上是增函数，
所以x1>2－x2，即x1＋x2>2.
