备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题11 含参数函数的单调区间问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题11 含参数函数的单调区间问题

专题11 含参数函数的单调区间问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.‎ ‎1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.‎ ‎2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解 ‎3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式 ‎4、关于分类讨论的时机与分界点的确定 ‎（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论.思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果.所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始.体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论.（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定.要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色.例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论.‎ ‎（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解 ‎（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2019届高考二轮训练】已知函数f(x)＝x2＋4x＋aln x，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. (－6，＋∞)‎ 17‎ B. (－∞，－16)‎ C. (－∞，－16]∪[－6，＋∞)‎ D. (－∞，－16)∪(－6，＋∞)‎ ‎【答案】C 例2【2019届河南省周口市高三上学期期末】已知函数（）在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时， 在上为减函数，在上为增函数，且恒成立 若函数在区间上单调递增，‎ 则在区间上单调递增，‎ 则，解得 当时， 在区间上单调递增，满足条件 当时， 在上单调递增，令，则 则在上为减函数，在上为增函数 17‎ 则，解得 综上所述，实数的取值范围 故选 ‎【名师点睛】本题考查知识点是函数的含绝对值的分类讨论。结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论， ， 时，实数的取值范围，然后再综合讨论结果即可得到答案。‎ 例3【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数,若对任意,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【点睛】本题考查由函数的单调性求有关参数问题.在判定函数的单调性时，要注意常见形式，如：‎ ‎①若对任意,且，恒有，则函数在单调递增；‎ ‎②若对任意,且，恒有，则函数在单调递增；‎ ‎③若对任意,且，恒有 ，则函数在单调递增.‎ 例4.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】因为函数恰好有三个单调区间，‎ 17‎ 所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.‎ 例5【2019届衡水金卷（四）】已知函数的导函数在区间内单调递减，且实数， 满足不等式，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 又的几何意义是表示平面区域内的动点Q(a,b)与定点P(2,3)连线的斜率，数形结合易知最大， 最小，由方程组 所以的取值范围为，故选C.‎ ‎【名师点睛】本题的难点在于能够数形结合，看到不等式要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到不等式要联想到二次不等式对应的曲线区域.如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易.数学的观察想象是数学能力的一个重要部分,在平时的学习中,要有意识的培养和运用.‎ 例6【2019届北京四中高三下第二次模拟】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ 17‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 例7【2019届广东省江门市高三3月模拟】已知函数，若实数满足，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得函数的定义域为R，‎ ‎∵，‎ ‎∴函数为偶函数．‎ 又当时，，‎ ‎∴函数在上单调递增．‎ ‎∴，‎ 17‎ ‎∴．‎ ‎∴，即，解得，‎ 故实数的取值范围为．选C．‎ 例8.，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号.‎ ‎（2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把本例的条件改为“在上存在单调递增区间”，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的解法解出的的范围时，但当时，满足不等式的的解仅有，不能成为单调区间，故舍去，答案依然为.‎ 例9【2019届北京市十一学校高三3月零模】设函数①若在区间上不单调,实数的取值范围是______；‎ ‎②若且对任意恒成立,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】 ‎ 17‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。‎ ‎(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。‎ ‎(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是＞0的必要不充分条件.‎ ‎（4）可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调，则=0在区间(a，b)上有奇次根。‎ 例10【2019届新疆乌鲁木齐地区高三第一次监测】已知函数的定义域为，其中， 为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设是函数的导函数，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究这个函数的导函数，和正负，得到函数的单调性；（2）问题等价于大于等于0，分情况， ， 讨论函数的单调性和正负即可.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）∵，∴；‎ 由于 ‎∴当时， ，此时在上单调递增；‎ 当时， ，此时在上单调递减；‎ 17‎ 当时， ， ，此时在上单调递减，在上单调递增 ‎ ‎（Ⅱ）依题意， 对恒成立，由（Ⅰ）知，对 当时， ；‎ 令 ‎ 则 ‎∴， ‎ 又， ，则对恒成立，∴此时 综上： .‎ ‎【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1【2019届河北省邢台市高三上学期期末】若函数在上单调递增，则 17‎ 的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意得到 在上恒成立，得到， ‎ 故答案为：A.‎ ‎2.【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 当时， ，要使恒成立，则恒成立 ‎， ，解得 当时， ，要使恒成立，则恒成立 ‎， ，解得 综上所述， ‎ 故选.‎ ‎3.【2019届高三二轮训练】若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为________.‎ 17‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减.‎ 当f(x)在区间D上单调递增时，导函数在区间D上，且要检验不恒恒成立。当f(x)在区间D上单调递减时，导函数在区间D上，且要检验不恒成立.‎ ‎4．【2019届福建省厦门市高三下第一次检查（3月）】若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数在上单调递增 ‎∴在上恒成立 ‎∴在上恒成立 ‎∵，当且仅当，即时取等号 ‎∴‎ 故答案为.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ②利用导数转化为不等式或 17‎ 恒成立问题求参数范围，本题是利用方法②求解的.‎ ‎5．【2019届湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考】已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎6.【2019届一轮测试】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是_____.‎ ‎【答案】(-∞,-3]‎ ‎【解析】由题意可知f'(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立,‎ 则解得a≤-3.‎ ‎7【2018届山东省济宁市高三一模】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，‎ ‎ 因为，所以，所以函数单调递减，‎ ‎ 由因为为奇函数，‎ 因为，所以，‎ 即，解得.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的综合应用问题，求解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域.‎ 17‎ ‎8【2019届江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 解得或．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 答案： ‎ ‎9．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知向量,若函数在区间上是增函数,则的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，得， ，‎ 因为函数在上单调递增，则在上恒成立，又的图象关于直线对称，则只需，即.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性.已知函数的单调性求有关参数问题时，往往是将函数在某区间上单调转化为导函数在该区间上恒为非负值或恒为非正值，如本题中，将“函数在上单调递增”转化为“在上恒成立”‎ 17‎ ‎10．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数 ‎（Ⅰ）若曲线在点处切线的斜率为,求函数的单调区间;‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上单调递增,求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间为,单调递减区间为；（Ⅱ）.‎ 所以所以.‎ 当变化时, 的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为;‎ ‎（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增,所以对,只要在上的最小值大于等于0即可.‎ 因为函数的对称轴为 当时, 在上的最小值为,‎ 解,得或所以此种情况不成立；‎ 当时, 在上的最小值为 17‎ 解得 综上,实数的取值范围是.‎ ‎11【2019届北京市育英中学高三十月月考】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数是偶函数,试求的值;‎ ‎（Ⅱ）当时,求证:函数在上单调递减.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.‎ ‎（Ⅱ）证明:由题意: .‎ 设,则.‎ ‎∵,‎ ‎∴由,即得到: ;‎ 由,即得到: .‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎∴当时, ,即在上单调递减;‎ 当时, ,即在上单调递减.‎ 17‎ ‎∴当时,函数在上单调递减.‎ ‎12.【2019届辽宁省大连市高三一模】已知函数.‎ 若在上是单调递增函数，求的取值范围；‎ 设，当时，若，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 试题解析：‎ 解： 在上是单调递增函数,‎ 在上，恒成立，即：‎ 设 ‎ ‎ ， ‎ 当时， 在上为增函数，‎ 当时， 在上为减函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， 即 .‎ 方法一：因为，‎ 17‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以，所以在上为增函数， ‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，即. ‎ 方法二：‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ，则，‎ ‎ 在上递增且 ‎ 令， ‎ 设, ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 17‎ ‎ ‎ 即： ‎ 又 ， ‎ ‎ 即：‎ ‎ 在上递增 ‎ ，即：得证.‎ 17‎