高考数学难点41讲难点14 数列综合应用问题

高考数学难点41讲难点14 数列综合应用问题

难点 14 数列综合应用问题 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方 程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实 际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒 等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数 学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. ●难点磁场 (★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在 x= 处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表达式； (2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用 t 表 示 an 和 bn； (3)设圆 Cn 的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆 Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是 正数的等比数列，记 Sn 为前 n 个圆的面积之和，求 rn、Sn. ●案例探究 ［例 1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游 业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an,bn 的 表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运 用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的 热点和重点题型，属★★★★★级题目. 知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不 等式的解法等知识点. 错解分析：(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既 解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差. 技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指 数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧. 解：(1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800×(1－ )万元，…第 n 年投入为 800 ×(1－ )n－1 万元，所以，n 年内的总投入为 an=800+800×(1－ )+…+800×(1－ )n－1= 800×(1－ )k－1 =4000×［1－( )n］ 2 2+t 4 2t 5 1 4 1 5 1 5 1 5 1 5 1 ∑ = n k 1 5 1 5 4 第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400×(1+ )，…，第 n 年旅游业 收入 400×(1+ )n－1 万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k－1= 400×( )k－1. =1600×［( )n－1］ (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn－an＞0，即： 1600×［( )n－1］－4000×［1－( )n］＞0，令 x=( )n，代入上式得：5x2－7x+2＞ 0.解此不等式，得 x＜ ，或 x＞1(舍去).即( )n＜ ，由此得 n≥5. ∴至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入. ［例 2］已知 Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)设 f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数 m 的取值范围， 使得对于一切大于 1 的自然数 n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2 恒成 立. 命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问 题、解决问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙. 错解分析：本题学生很容易求 f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理. 技巧与方法：解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数，此时不等式的恒成立 就转化为：函数 f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2. 解：∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*) ∴f(n+1)＞f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 ∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于 1 的自然数 n，不等式 f(n)＞［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2 恒成立 只要 ＞［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2 成立即可 4 1 4 1 4 1 4 1 ∑ = n k 1 4 5 4 5 4 5 5 4 5 4 5 2 5 4 5 2 3 1 2 1 + n 1 20 11 20 11 3 1 2 1 + n 1 0)42 1 32 1()42 1 22 1( 42 2 32 1 22 1 2 1 32 1 22 1)()1( 12 1 3 1 2 1)( 112 >+−+++−+= +−+++=+−+++=−+ ++++++=−=∴ ++ nnnn nnnnnnnfnf nnnSSnf nn 又  20 9 32 1 22 1 =+++ 20 11 20 9 20 11 由 得 m＞1 且 m≠2 此时设［logm(m－1)］2=t 则 t＞0 于是 解得 0＜t＜1 由此得 0＜［logm(m－1)］2＜1 解得 m＞ 且 m≠2. ●锦囊妙计 1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、 解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差 (比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题. 2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关： (1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力. (2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建 相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题 的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知二次函数 y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当 a=1，2，…，n，…时，其抛 物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两 个点，若 1，x1，x2，4 依次成等差数列，而 1，y1，y2，8 依次成等比数列，则△OP1P2 的面 积是_________. 3.(★★★★)从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加满，再倒出 b 升，再用 水加满；这样倒了 n 次，则容器中有纯酒精_________升. 4.(★★★★★)据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国 内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%，”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每 年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 _________亿元. 三、解答题 5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为 q(q＞0)的等 比数列，设 bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…). (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围； (2)求 bn 和 ，其中 Sn=b1+b2+…+bn；    ≠−>− ≠> 11,01 1,0 mm mm    > −> 0 20 11 20 9 t t 2 51+ lim∞→n nn S 1lim∞→ (3)设 r=219.2－1，q= ，求数列{ }的最大项和最小项的值. 6.(★★★★★)某公司全年的利润为 b 元，其中一部分作为奖金发给 n 位职工，奖金分 配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由 1 到 n 排序，第 1 位 职工得奖金 元，然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职 工，并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额，试求 a2,a3，并用 k、n 和 b 表示 ak(不必 证明)； (2)证明 ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金与 n 和 b 有关，记为 Pn(b),对常数 b，当 n 变化时，求 Pn(b). 7.(★★★★)据有关资料，1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨，占地 562.4 平方 公里，若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资，则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾，并 可节约开采各种矿石 20 吨，设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资，计划以后每年递增 20%的回收量，试问： (1)2001 年回收废旧物资多少吨？ (2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地？ 8.(★★★★★)已知点的序列 An(xn，0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a＞0),A3 是线段 A1A2 的中点， A4 是线段 A2A3 的中点，…，An 是线段 An－2An－1 的中点，…. (1)写出 xn 与 xn－1、xn－2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1－xn，计算 a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明； (3)求 xn. 参考答案 难点磁场 解：(1)设 f(x)=a(x－ )2－ ，由 f(1)=0 得 a=1. ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1. (2)将 f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得： (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的 x∈R 都成立，取 x=1 和 x=t+1 分别 代入上式得： 且 t≠0，解得 an= ［(t+1)n+1－1］，bn= ［1－(t+1 n) (3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知 an+bn=1，故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上，又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切，故有 rn+rn+1= ｜an+1－an｜= (t+1)n+1 设{rn}的公比为 q，则 2 1 n n b b 2 12 log log + n b lim∞→n lim∞→n 2 2+t 4 2t    +=++ =+ +1)1()1( 1 n nn nn tbat ba t 1 t t 1+ ] 2 2 ① ② ②÷①得 q= =t+1，代入①得 rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)= ［(t+1)2n－1］ 歼灭难点训练 一、1.解析：当 a=n 时 y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1 由｜x1－x2｜= ，得 dn= ，∴d1+d2+…+dn 答案：A 二、2.解析：由 1,x1,x2,4 依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由 1， y1,y2,8 依次成等比数列，得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4).∴ =(3,4) ∴ 答案：1 3.解析：第一次容器中有纯酒精 a－b 即 a(1－ )升，第二次有纯酒精 a(1－ )－ ，即 a(1－ )2 升，故第 n 次有纯酒精 a(1－ )n 升. 答案：a(1－ )n 4.解析：从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项，以 7.3%为公 比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案：120000 三、 5.解：(1)由题意得 rqn－1+rqn＞rqn+1.由题设 r＞0,q＞0,故从上式可得：q2－q－1＜0，解    +=+ +=+ + ++ + 2 11 1 )1(2 )1(2 n nn n nn tqrr tqrr n n r r 1+ 2 )1(2 1 + + + t t n 3 4 2 22 1 )2( )1(2 1 )1( + +π= − −π tt t q qr n a ∆ )1( 1 +nn 1)1 11(lim)(lim 1 111 11 3 1 2 1 2 11)1( 1 32 1 21 1 21 =+−=+++∴ +−=+−++−+−=+++⋅+⋅= ∞→∞→ nddd nnnnn n n n   21 ),2,2( OPOP = ,5||,22,1486 2121 ===+= OPOPOPOP 110 25222 1sin||||2 1 10 2sin,10 27 225 14 |||| cos 2121 21 21 21 21 21 =×××==∴ =∴= × ==∴ ∆ OPPOPOPS OPP OPOP OPOPOPP POP a b a b ba a ba )1( − a b a b a b 得 ＜q＜ ,因 q＞0,故 0＜q＜ ; (2)∵ .b1=1+r≠0，所以 {bn}是首项为 1+r，公比为 q 的等比数列，从而 bn=(1+r)qn-1. 当 q=1 时，Sn=n(1+r), ,从上式可知，当 n－20.2＞0，即 n≥21(n∈N*)时，Cn 随 n 的增大而减 小，故 1＜Cn≤C21=1+ =2.25 ① 当 n－20.2＜0，即 n≤20(n∈N *)时，C n 也随 n 的增大而减小，故 1＞C n≥C20=1+ =－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项 C21=2.25，最小项 C20=－4. 6.解：(1)第 1 位职工的奖金 a1= ，第 2 位职工的奖金 a2= (1－ )b，第 3 位职工的奖 金 a3= (1－ )2b，…，第 k 位职工的奖金 ak= (1－ )k－1b; (2)ak－ak+1= (1－ )k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭” 的原则. (3) 设 fk(b) 表 示 奖 金 发 给 第 k 位 职 工 后 所 剩 余 数 ， 则 f1(b)=(1 － )b,f2(b)=(1 － )2b,…,fk(b)=(1－ )kb.得 Pn(b)=fn(b)=(1－ )nb, 2 51− 2 51+ 2 51+ 0, 212 212 212 221212 1 21 ≠=+ +=+ +=∴== − − − ++++ + ++ qaa qaqa aa aa b bqa a aa aa nn nn nn nn n n n n nn nn 1)1(),2()3( )1(,0 )10(,1 11lim,0 )1)(1( 1lim1lim ,1 )1)(1(,1 ;1 1 )1)(1( 1lim1lim ,1 )1)(1(,10;0)1( 1lim1lim − ∞→∞→∞→ ∞→∞→ ∞→∞→ +=    ≥ <<+ − == −+ −= − −+=> + −= −+ −= − −+=<<=+= n n nnnnnn n n nnnn n n nnn qrb q qr q Sqr q S q qrSq r q qr q S q qrSqrnS 有由 所以 时当 时当 .2.20 11log)1)(1(log log)1(log ])1[(log ])1[(log log log 22 22 1 2 2 2 12 −+=−+ ++= + += − + nqnr qnr qr qr b b n n n n n n n b bC 2 12 log log +=记 8.0 112.2021 1 +=− 2.0 112.2020 1 −=− n b n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 故 . 7.解：设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量，Sn 表示前 n 年废旧物资回收总量，则数列{an} 是以 10 为首项，1+20%为公比的等比数列. (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S6= =99.2992≈99.3(万吨) ∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99.3≈1986(万吨) (3）由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨)， ∴从 1996 年到 2001 年共节约： ≈3 平方公里. 8.解：(1)当 n≥3 时，xn= ; 由此推测 an=(－ )n-1a(n∈N) 证法一：因为 a1=a＞0,且 (n≥2) 所以 an=(－ )n-1a. 证法二：用数学归纳法证明： (ⅰ)当 n=1 时，a1=x2－x1=a=(－ )0a,公式成立； (ⅱ)假设当 n=k 时，公式成立，即 ak=(－ )k－1a 成立. 那么当 n=k+1 时， ak+1=xk+2－xk+1= 据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意 n∈N，公式 an=(－ )n-1a 成立. (3)当 n≥3 时，有 xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1 =an－1+an－2+…+a1, 由(2)知{an}是公比为－ 的等比数列，所以 a. e bbPn n = ∞→ )(lim 2.0 16.1101%)201( ]1%)201[(10 66 −×=−+ −+ 8 4 104.7 102.3974.562 × ×× 2 21 −− + nn xx aaxxxxxxxa axxxxxxxaaxxa 4 1)2 1(2 1)(2 1 2 ,2 1)(2 1 2,)2( 233 23 342 122 12 232121 =−−=−−=−+=−= −=−−=−+=−==−= 2 1 11 11 1 2 1)(2 1 22 −− −− + −=−=−=−+=−= nnn nn n nn nnn axxxxxxxxxa 2 1 2 1 2 1 kkkk kk axxxxx 2 1)(2 1 2 11 1 −=−−=−+ ++ + .)2 1()2 1(2 1 111 公式仍成立aa )(kk −+− −=−−= 2 1 2 1 3 2 )2 1(1 lim 1 = −− = ∞→ axn n