高考数学压轴题大全
高考数学压轴题突破训练：函数
1. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 ， ，及任意的
，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于
万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于
万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图
直角坐标系，试回答以下问题：
(1)请解释 ；
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己
的宣传费：若甲先投入
万元，乙在上述策略下，投入最少费用；而甲根据乙的情况，调整宣传费为；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传
费为 如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；试问是否存在 ，
的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.
2. 已知三次函数 在y轴上的截距是2，且在
上单调递增，在（－1，2）上单调递减.
(Ⅰ)求函数f (x)的解析式；
(Ⅱ)若函数 ，求 的单调区间.
3. 已知函数 ，函数 的图象与 的图象关于点 中心对称。
（1）求函数 的解析式；
（2）如果 ， ，试求出使 成立的取值范围；
（3）是否存在区间，使 对于区间内的任意实数，只要 ，且 时，都有
恒成立？
4．已知函数：
（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.
( ) 8+= xxf ( ) 12+= xxg 0≥x
( )xf
( )xg
( ) ( )0,0 gf
121 =a
,, lim nn
a→∞ nn
b∞→lim
cbxaxxxf +++= 23)( ),2(),1,( +∞−−∞
)ln()1()2(3
)()( mxmx
xfxh ++−−
′= )(xh
155)( 2 ++= xxxϕ )( Rx ∈ )(xfy = )(xϕ )2
1,0(
)(xfy =
)()(1 xfxg = )2,)](([)( 1 ≥∈= − nNnxgfxg nn 0)(2
—1;
(Ⅱ)如果 ，且f(x)＝x的两实根相差为2，求实数b 的取值范围.
9. 函数 的定义域为R，并满足以下条件：①对任意 ，有 ；
②对任意、 ，有 ；③ 则
（1）求 的值； （4分）
2
1
( )f x ]1,0[ )1,0(∈ ( )f x ],0[ *x ]1,[ *x ( )f x
]1,0[ ]1,0[ ( )f x
21, xx )1,0(∈ 21 xx < )()( 21 xfxf ≥ ),0( 2x )()( 21 xfxf ≤
)1,( 1x
)5.00( << rr 21, xx )1,0(∈ rxx 212 ≥−
r+5.0
022 2 =−− axx ( )βα <
1
4)( 2 +
−=
x
axxf
)(xf ( )βα ,
)(xf [ ]βα ,
31( ) ( , )3f x x ax b a b R= + + ∈ 2x = 4
3
−
( )f x
[ 4,3]x∈ − 2 10( ) 3f x m m≤ + +
),,0(1)( 2 Rbabxaxxf ∈>++=
42 21 <<< xx
20 1 << x
)(xf Rx ∈ 0)( >xf
Ry ∈ yxfxyf )]([)( = .1)3
1( >f
)0(f
（2）求证： 在R上是单调增函数； （5分）
（3）若 ，求证：
10. 已知函数 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；
（3）是否存在实数b，使函数
的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
11. 定义在区间（0，）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q,都有 .
（1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；
（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证： ；
（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有 ，求证：
12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位：万元),
成本函数为C(x)= 460x+ 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为: Mf(x)=f(x+1)–
f(x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）
(1) 利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
13. 已知函数 （ 且 ）．
(1) 试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
(2) 已知当 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，求的值并写出函数的解析式；
(3)
（理）记(2)中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；
若不存在，请说明理由．
(文)
记(2)中的函数的图像为曲线，试问曲线是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，
请说明理由．
14. 已知函数 和 的图象在 处的切线互相平行.
)(xf
acbcba =>>> 2,0 且 ).(2)()( bfcfaf >+
14)( 234 −+−= axxxxf
1)( 2 −= bxxg
)()( xqfxf q =
)()()( 2 bfcfaf •
)2(2)()( nmfnfmf
+== 3 2 2m< < +
3 3( 1)( ) x af x a x
−= + 0a ≠ 1a ≠
0x > (0, 6) ( 6, )+∞
( ) logaf x x= ( ) 2log (2 2),( 0, 1, )ag x x t a a t R= + − > ≠ ∈ 2x =
(Ⅰ) 求的值；
（Ⅱ）设 ，当 时， 恒成立，求的取值范围.
15. 设函数 定义在上，对任意的 ，恒有 ，且当 时，
。试解决以下问题：
（1）求 的值，并判断 的单调性；
（2）设集合 ，若
，求实数的取值范围；
（3）若 ，满足 ，求证：
16. （理科）二次函数f(x)=
（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；
（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)= ；
（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得 .
(文科)已知函数f(x)= ，其中
（I）若b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；
（II）若对任意实数x，不等式 恒成立,且存在 成立，求c的值。
17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x、y (-1,1)都有 。
（I）求证：函数f(x)是奇函数；
（II）如果当 时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；
（III）设-1 ( ) 0f x <
(1)f ( )f x
{ } { }( , ) | ( ) ( ) 0 , ( , ) | ( 2) 0,A x y f x y f x y B x y f ax y a R= + + − > = − + = ∈ A B ≠ ∅
0 a b< < | ( ) | | ( ) | 2 | ( ) |2
a bf a f b f
+= = 3 2 2b< < +
)(2 Rbabaxx ∈++ 、
)1(4
1 2 −a
4
1)( ≤kf
cbxax ++2 .,,* ZcNbNa ∈∈∈
)1(2)(4 2 +≤≤ xxfx )1(2)( 0
2
00 +< xxfx 使得
)(xf ]1,1[−
)(xf ]1,1[−
)( cxf − )( 2cxf −
21 ≤≤− c )( cxf − )( 2cxf −
19. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。
（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。
20. （理）已知
（1）讨论 的单调性；
（2）证明： 其中无理数 .
（文）设函数 ，其图象在点 处的切线的斜率分别为
.
（1）求证： ；
（2）若函数 的递增区间为 ，求 的取值范围.
21.设函数
（1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）当x∈[a+1, a+2]时，不等 ，求a的取值范围.
22. 已知函数 ，函数 .
（1）当 时，求函数f(x)的最小值；
（2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.
23. 已知二次函数 为常数）；
.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若
问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；
若不存在，说明理由.
)0()1()( 2 ≤++= aaxxInxf
)(xf
2),()11()3
11)(2
11( *
444 ≥∈<+++ nNnen )71828.2 =e
)(3
1)( 23 cbacxbxaxxf <<++= ))(,()),1(,1( mfmBfA
ao -,
10 <≤ a
b
)(xf ],[ ts ]-[ ts
)10(323
1)( 223 <<+−+−= abxaaxxxf
axf ≤′ |)(|
1x
x716x)x(f −
−+= mxln6)x(g +=
1x >
ttttylcbxaxxf .20(8:,)( 2
1
2 ≤≤+−=++= 其中直线 2:2 =xl
,ln6)( mxxg +=
12
8
xO
M(17,25)
24. 已知 ，点A(s,f(s)), B(t,f(t))
(I) 若 ,求函数 的单调递增区间；
(II)若函数 的导函数 满足：当|x|≤1时，有| |≤ 恒成立，求函数 的解析表达式；
(III)若0－1时，－m <1，定义域：
由 得x >1，由 得x <1.
故在（1，2），（2，+∞）上单增；在 上单减. ………………11分
综上所述，当m≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增；
当 时, 上单增；
当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m，1）单减.…12分
3.解：（1） ………………………………………………………………（6分）
（2）由 解得
即
解得 …………………………………（12分）
（1） 由 ，
又 ，
当 时， ， ，
∴对于 时， ，命题成立。………………（14分）
以下用数学归纳法证明 对 ，且 时，都有 成立
假设 时命题成立，即 ，
)(xf ),2(),1,( +∞−−∞
023)( 2 =++=′∴ baxxxf
3 2
2 31 2 33 ( ) 6 22 261 2 3
a
a f x x x xb b
− + = − = − ∴ ∴ ∴ = − − +
= −− × =
2'( ) 3 3 6 3( 1)( 2)f x x x x x= − − = + −
)2)(ln()1(1)( ≠−>++−+=∴ xmxmxmxxh 且
mx
x
mx
mxh +
−=+
+−=′∴ 111)(
),( +∞−m
0)( >′ xh ),()( +∞−mxh 在
12 −≤<− m 12 ≥−> m ),2()2,( +∞− m
0)( >′ xh ),2(),2,()( +∞−mxh 在
),2()2,( +∞− m
0)( >′ xh 0)( <′ xh
)1,( m−
12 −≤<− m ),2(),2,()( +∞−mxh 在
255)( xxxf −=
0)(5)(5)( 2
112 <−= xgxgxg 1)(0)( 11 >< xgxg 或
155055 22 >−<− xxxx 或
10
55
10
5510
+<<−>< xxx 或或
{ } }{ 100)( ><=< xxxxfx 或
{ } Φ=><∩+−
10)10
55,10
55( xxx 或
)10
55,10
55(
+−∈x 0)(2 >− agxgaa 时即
2
min )1()1()()1,()(2
3
2
11 −=−=−−∞≤≤− aagxgaxgaa 上为减函数在时即
0)2
1()4
3()1(2
10)2
3()4
5()1(2
3 2222 >−=−−−<>−=−−−> aaaaaaaa 时当时
2
1
2
1 ≠< aa 且 a−
4
3
2
3
2
1 ≤≤ a 2)1( −a 2
3>a 4
5−a
2
1−=a
( )f x ( )f x ],0[ *x ]1,[ *x
)()( 21 xfxf ≥ ),0( 2x 21 xx < ),()()( 12
* xfxfxf >≥ )()( 21 xfxf ≥ ),0( 2x
为含峰区间.
当 时,假设 ,则 ,从而 这与 矛盾,所以 ,即
为含峰区间………………………….(7分)
（2）证明：由(1)的结论可知:
当 时, 含峰区间的长度为 ；
当 时, 含峰区间的长度为 ；
对于上述两种情况，由题意得 ①
由①得 即 ，
又因为 ，所以 ②
将②代入①得 ③
由①和③解得
所以这时含峰区间的长度 ，
即存在 使得所确定的含峰区间的长度不大于
6.解：(1)证明： ，
由方程 的两根分别为、 知
时， ，所以此时 ，
所以 在区间 上是增函数
(2)解：由（１）知在 上， 最小值为 ，最大值为 ，
， ，可求得 ，
，
所以当 时， 在区间 上的最大值与最小值之差最小，最小值为４
),0( 2x
)()( 21 xfxf ≤ )1,( 1x 21 xx <≤ ),()()( 21
* xfxfxf >≥ )()( 21 xfxf ≤ )1,( 1x
)1,( 1x
)()( 21 xfxf ≥ 21 xl =
)()( 21 xfxf ≤ 12 1 xl −=
+≤−
+≤
rx
rx
5.01
5.0
1
2
,211 12 rxx +≤−+ rxx 212 ≤−
rxx 212 ≥− rxx 212 =−
，，－ rxrx +≥≤ 5.05.0 21
，＝，－＝ rxrx +5.05.0 21
rll +== 5.021
21, xx r+5.0
22
2
'
)1(
)22(2)( +
−−−=
x
axxxf
022 2 =−− axx ( )βα <
( )βα ,∈x 022 2 <−− axx 0)(' >xf
)(xf ( )βα ,
( )βα , )(xf )(αf )(βf
1]2)[(
]44)()[(
1
4
1
4)()(
222
22
+−++
−++−=
+
−−+
−=−
αββαβα
αββααβ
α
α
β
βαβ
a
aaff
2
a=+ βα 1−=αβ 44
2
+=− aαβ
16
1241
)442(44)()( 2
2
22
+=
+++
++⋅+
=−∴ aa
aa
ff αβ
0=a )(xf [ ]βα ,
7.解：(1) ，由题意 ，
令 得 的单调递增区间为 和 .
(2) ，当变化时， 与 的变化情况如下表：
- 4 (-4，-
2)
-2 (-
2,2)
2 (2,3
)
3
0 0
单调
递增
单调
递减
单调
递增
1
所以 时， .于是 在 上恒成立等价于
，求得 .
8.解：(Ⅰ)设
∴由条件 ……（2分）即 （4分）
∴ ……（5分）对
……（8分）
（Ⅱ）由
……（11分）
由 代入有
9.解：解法一：（1）令 ，得： ……………1分
…………………………4分
（2）任取、 ，且 . 设 则
…………………… 8分
在R上是单调增函数…… 9分
（3）由（1）（2）知
………11分
2( )f x x a′ = +
(2) 4 0 4
8 4 4(2) 23 3
f a a
bf a b
′ = + = = − ⇒ == + + = −
2( ) 4 0f x x′ = − > ( )f x ( , 2)−∞ − (2, )∞
31( ) 4 43f x x x= − + ( )f x′ ( )f x
( )f x′
( )f x 4
3
− 28
3
4
3
−
[ 4,3]x∈ − max
28( ) 3f x = 2 10( ) 3f x m m≤ + + [ 4,3]x∈ − 2 10 28
3 3m m+ + ≥
( , 3] [2, )m∈ −∞ − ∪ +∞
,0,1)1()()( 2 >+−+=−= axbaxxxfxg 且
0)4(0)2(,42 21 ><<<< ggxx 且得 .22
144
3
03416
0124 ababa
ba −<<−⇒
>−+
<−+
.8
122
144
3 >−<− aaa 得 可得aba 22
144
3 −<<−
.8
3224
11 aa
b
a
−<−<−
.1
8
14
114
1120 −=
×
−>−>−=∴
aa
bx
.0101)1()( 2121
2 同号与即可知 xxaxxxbaxxg >==+−+=
,2,42,20 12211 =−∴<<<<< xxxxx
.1)1(1244)1(4)()( 2
2
2
12
2
12
2
12 +−=+⇒=−−=−+=−∴ baaa
bxxxxxx
01240)2( <−+< bag 即 .4
1231)1(2 2 <⇒−<+− bbb
2,0 == yx 2)]0([)0( ff =
1)0(0)0( =∴>∴ ff
),(2 +∞−∞∈x 21 xx < ,3
1,3
1
2211 pxpx == 21 pp <
21 )]3
1([)]3
1([)3
1()3
1()()( 2121
pp ffpfpfxfxf −=−=−
)()()(,1)3
1( 2121 xfxfxfppf ∴<∴<>
1)0()( => fbf 1)( >bf b
a
bfb
cbfaf )]([)()( =⋅=
b
c
bfb
cbfcf )]([)()( =⋅= b
ca
b
c
b
a
bfbfbfcfaf
+
>+=+∴ )]([2)]([)]([)()(
而 ……15分
解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有
………1分 ∴当 时 ……2分
∵任意x∈R， …………3分 ……………………4分
（2） …………………………6分
是R上单调增函数 即 是R上单调增函数；…… 9分
（3） ……………………11分
而
10.解：（1）
∵ ∴
，∴ ，
（2）设点A（x
∵
由 交点对应于方程
即
∴b=4或b=0为所求.
11.解：(1)取x=1,q=2,有
若存在另一个实根 ，使得
（2） ，
，则0， ∴ ，又a+c=2b,
∴ac-b=
)(2)]([2)]([2222
2
2 bfbfbfbbacca b
b
b
ca
=>∴==>+
+
)(2)()( bfcfaf >+∴
yxfxyf )]([)( =
xfxfxf )]1([)1()( =⋅=∴ 0=x 0)]1([)0( ff =
0)( >xf 1)0( =∴ f
1)]3
1([)3
13()1(,1)3
1( 3 >=×=∴> ffff
xfxf )]1([)( =∴ )(xf
caca fffcfaf +>+=+ )]1([2)]1([)]1([)()(
)(2)]1([2)]1([2222 22 bfffbbacca bca =>∴==>+ +
)(2)()( bfcfaf >+∴
[ ] [ ] 取得极大值，时，当上单调递减，，上单调递增，在，在 )(12110)( xfxxf =∴
0|)2124,0)( 1
23/ =+−= =xaxxxxf 即（ 4=a
)),(,21)())(, 0000 xfxBxxfxf −= （的对称点的坐标为上的任一点，它关于是
的图象的一条对称轴。是 )(1)()2( 00 xfyxxfxf ==∴=−
个不同的的图象恰有与 2144)(1)( 2342 −+−=−= xxxxfbxxg
个不同的实根，恰有21441 2342 −+−=− xxxbx
00400044 2234 =≠===∴=−+− bxbxxbxxxx 时方程有等根得，当时是一个根，当
的一个根，是即 0)(10)1()2()1( 2 =∴== xffff 10 ≠x
,0)()(),0(),0((0)( 0101111 ==≠=+∞∈≠ xqfxfqxxxxxf q 有成立，且对任意的
10)(,0)0)( 10 ==∴≡∴= xxfxfxf 有且只有一个实根与条件矛盾，（恒成立，
21 ,,1 qq bcbacba ==>>> 不妨设
2 0q > )()()()()( 2
21
21 bfqqbfbfcfaf qq •=•=•
2( ) 04
a c−− <
即ac 0, P(x)单调递增,
当 12 +∞∈<∈+∞= xfxxfxxff 时，当时单调递增，当在
).()(,0),()(),()(,)()( nfmfnmnfmfnfmfnfmf −=∴>>−==∴=
,1≠ 021 ≠q
)21 q+ ,22)(,10.1
2
+=<<<=∴ nmfmfmnmn
+=∴+==>+>
2
2)(),2(2)(,12,1 nmfmfnmfmfmnnmm
2
2
+=∴ nmm
,22 2 nmnm ++ 22 24 nmm =−−∴ ,1240 2 <−−< mm 1>m
223 +<<∴ m
0a < ( )f x ( ( 1),0)a a− − (0, ( 1))a a −
0 1a< < ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
1a > ( )f x ( , ( 1))a a−∞ − − ( ( 1), )a a − +∞
( 1) 6a a − = 1a > 3a =
3 2 3( ) 3
xf x x
= + ( 0)x ≠
y kx= 0k ≠
( , )P p q ( , )P p q′ ′ ′ ( , )P p q
p p′≠ q q′≠
2 2
q q p pk
′ ′+ += 1q q
p p k
′− = −′−
且 ， ， （14分）
整理得 ，解得 或 ，
所以存在直线 及 为曲线的对称轴． （16分）
（文）该函数的定义域 ，曲线的对称中心为 ，
因为对任意 ， ，
所以该函数为奇函数，曲线为中心对称图形．
14.解：(Ⅰ) ………………………3分
∵函数 和 的图象在 处的切线互相平行
…………………………………………………5分
………………………………………………………………6分
（Ⅱ）
…………………………………………7分
令
∴当 时， ,当 时， .
∴ 在 是单调减函数，在 是单调增函数. …………………………9分
，
∴当 时，有 ，当 时，有 .
∵当 时， 恒成立, ∴ …………………………11分
∴满足条件的的值满足下列不等式组
2 3
3
pq p
= + 2 3
3
pq p
′′ = + ′
1 2
3
k k
− = 3k = 3
3k = −
3y x= 3
3y x= −
( ,0) (0, )D = −∞ +∞ (0,0)
x D∈ 3 3( 1) 3 3( 1)( ) ( )x a x af x f xa x a x
− −− = − + = − + = − −
1 4( ) log , ( ) log2 2a af x e g x ex x t
′ ′= = + −
( )f x ( )g x 2x =
(2) (2)f g′ ′∴ =
1 4log log2 2a ae et
∴ = +
6t∴ =
6t =
( ) ( ) ( )F x g x f x∴ = − 2log (2 4) loga ax x= + －
[ ]2(2 4)log , 1,4a
x xx
+= ∈
[ ]2(2 4) 16( ) 4 16, 1,4xh x x xx x
+= = + + ∈
[ ]2 2
16 4( 2)( 2)( ) 4 , 1,4x xh x xx x
− +′ = − = ∈
1 2x≤ < ( ) 0h x′ < 2 4x< ≤ ( ) 0h x′ >
)(xh [ )1,2 ( ]2,4
min( ) (2) 32h x h∴ = = ( ) (1) (4) 36maxh x h h∴ = = =
10 << a min( ) log 36aF x = 1>a min( ) log 32aF x =
[ ]1,4x∈ ( ) 2F x ≥ min( ) 2F x ≥
①，或 ②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得
综上所述，满足条件的的取值范围是： .
15.解：（1）在 中令 ，得 ； …………………2分
设 ，则 ，从而有
所以，
所以， 在上单调递减 …………………5分
（2） ，由（1）知， 在上单调递减，
， …………………7分
故集合中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；而 ，所以， ，
…………8分故集合中的点所表示的区域为一直线，如图所示，
由图可知，要 ，只要 ，
∴实数的取值范围是 …………………10分
（3）由（1）知 在上单调递减，∴当 时， ，当 时， ，
，而 ， ，故 ，
由 得， ，所以， ， …………………12分
又 ，所以 ，
又 由 得， ，
，
又 ，所以 ，由
及 解得，
16.解：（理）（I） （3分）
（II）设两整根为x1,x2，x1>x2
(5分)
（III）设m
≥
1 4 2a< ≤
1 4 2a< ≤
( ) ( ) ( )f m n f m f n⋅ = + 1m n= = (1) 0f =
1 2 0x x> > 1
2
1x
x
> 1
2
( ) 0xf x
<
1 1
1 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xf x f x f x f f xx x
= ⋅ = + <
( )f x
2 2( ) ( ) ( ) 0 (1)f x y f x y f x y f+ + − = − > = ( )f x
2 2
0
0
1
x y
x y
x y
+ >
− >
− <
( 2) 0 (1)f ax y f− + = = 1 0ax y− + =
A B ≠ ∅ 1a <
( ,1)−∞
( )f x 0 1x< < ( ) 0f x > 1x > ( ) 0f x <
0 a b< < | ( ) | | ( ) |f a f b= 1, 1a b∴ < > ( ) 0, ( ) 0f a f b> <
| ( ) | | ( ) |f a f b= ( ) ( ) 0f a f b+ = 1ab =
12
a b ab
+ > = ( ) (1) 02
a bf f
+ < =
2
( ) 2 ( )2 2
a b a bf b f f
+ + = =
| ( ) | 2 | ( ) |2
a bf b f
+= 2 2 24 ( ) 2b a b a b= + = + +
2 24 2b b a− = +
0 1a< < 22 2 3a< + <
22 4 3b b< − < 1b > 3 2 2b< < +
.0.,0,0,42 >∴≥∆≤−=∆ bbba 方程有实根与题设矛盾则若
=−
=
−=+
,1
,
,
21
21
21
xx
bxx
axx
4
1
14
2
2
−=
=−∴
ab
ba
)1(4
1)( 2 −==−∴ abaf
1y ax= +
即
f(m)=
f(m+1)=
(6分)
（文）f(sinx)=
f(sinx)max=f(1)=2,
又b>2a>0,
(7分)
(2)
不存在
当a=1时，c=1,
此时存在x0,使
404
2
2 abba <⇒>−
]2
1,(2.1 +∈−° mma 021 <+≤− ma
4
1)2(4
2
2
22 ≤+=++<++ amaammbamm
)1,2
1(2.2 ++∈−° mma
4
1)21(4)1()2()1()1( 2
2
22 ≤++=++++<++++ amamambmam
.存在∴
cxbxa ++ sinsin 2
左边对称轴在 1,12
−=∴−<− xa
b
,4)1()(sin min −=−=∴ fxf
=++
−=+−∴
,2
,4
cba
cba
−−=
=
,1
,3
ac
b
.2,1 −==∴ ca .23)( 2 −+=∴ xxxf
4
17)( min −=xf
)1.(4)1(,4)11(2)1(4),1(2)(4 2 分=∴=+≤≤∴+≤≤ ffxxfx
)1).((4,4 分即 cabcba +−=−=++∴
.0)4(,4)( 2 恒成立即又 ≥+−+≥ cxbaxxxf
,04)(,04)4( 2 ≤−−−≤−−=∆∴ accaacb 即
)1.(21.,2,024
)2.(,0)(
*
2
分或又
分
==∴∈≤≥−=∴
=∴≤−∴
aaNaaab
caca
.22)(,0,2,2 2 +=∴=∴== xxfbca 时当
.22)( 2
000 +< xxfx 使
.12)(,2 2 ++=∴=∴ xxxfb
)2.(1).1(2)( 2
00 分故 =+< cxxf
17.解：(I)证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0),
故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= ∴f(-x)=-f(x)∴函数f(x)的奇函数 4’
（II）设-12 9’
当a=0时， ，原不等式的解集为{x|x>2} 10’
当-12中原不等式的解；
若x<0，则a(x-1)>1,x<1+
故原不等式的解集为 12’
当02，则a(x-1)<1,x<1+ ∴
故原不等式的解集为{x| }
18.解：（1）∵奇函数 的图像上任意两点连线的斜率均为负
∴对于任意 且 有
……………………………………………………3分
从而 与 异号
∴ 在 上是减函数…………………………………………5分
（2） 的定义域为
的定义域为 ………………………………7分
∵ 上述两个定义域的交集为空集
则有： 或 …………………………9分
解得： 或
)(xf
]11[21 ，、 −∈xx 21 xx ≠
0xx
)x(f)x(f
21
21 <−
−
21 xx − )()( 21 xfxf −
)(xf ]11[ ，−
)( cxf − ]11[ +− cc ，
)( 2cxf − ]11[ 22 +− cc ，
112 +>− cc 112 −<+ cc
2>c 1−2a，故a＝1，c＝－2。∴f（x）＝x2＋3x－2，最
小值为－17/4。
（2）令x＝1，代入不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）得f（1）＝4，即a＋b＋c＝4，从而b＝4－a－c。又4x≤f（x）恒
成立，得ax2＋（b－4）x＋c≥0恒成立，故△＝（b－4）2－4ac≤0，∴a＝c。又b≥0，a＋c≤4，∴c＝1或c＝2。当c
＝2时，f（x）＝2x2＋2，此时不存在满足题意的x0。当c＝1时满足条件，故c＝1。
20.解：（理）（1）
①若 时，
∴ 在 单调递增，在 单调递减，……………………………………
②若 时， 对 恒成立.
2>c 1−+ cc
2c1 ≤≤−
112 +≤− cc
2c1 ≤≤ 0c1 ≤≤−
112 +≥+ cc 112 −≥− cc
]1,1[( 2 +− cc
10 << c
112 +<+ cc 112 −<− cc
]1,1[ 2 +− cc
2c1 ≤≤−
0c1 ≤≤− 2c1 ≤≤ ]1,1[( 2 +− cc
10 << c ]1,1[ 2 +− cc
.x1
ax2axax1
x2)x(f 2
2
2
'
+
++=++=
0=a ,00)(,001
2)( '
2
' <⇒<>⇒>+= xxfxx
xxf
)x(f +∞,0 0,∞−
-1a0.
0 ≤⇒
≤∆
0得：a3a，
则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）
列表如下：
x (－∞，a) a (a, 3a) 3a (3a,+∞)
f′(x) — 0 + 0 —
f(x) － a3+b b
∴函数f(x)的极大值为b，极小值为－ a3+b…………………………7分
（2） 上单调递
减，因此
∵不等式|f′(x)|≤a恒成立，
∴ 即a的取值范围是
)x(f
0a1 <<−
a
211xa
a11x0ax2ax0)x(f
22
2' −−−<<−+−<⇒<>++⇒>
0)x('f >
a
a11x
2−−−>
a
a11 2−+−
)x(f a
a11,a
a11 22 −+−−−−
a
a11,
2−−−∞−
a
a11 2−+− ∞−
1a −≤ )x(f +∞∞− ,
0a1 <<− )x(f a
a11,a
a11 22 −+−−−−
a
a11,
2−−−∞− +∞−+−
,a
a11 2
0a = )x(f +∞,0 0,∞−
3
4
3
4
]2,1[)(,)2(34)( 2222 ++′∴+−−=−+−=′ aaxfaaxaaxxxf 在
44)2()(,12)1()( minmax −=+′=′−=+′=′ aafxfaafxf
15
4:,44
12 <≤
−≥−
≤−
aaa
aa 解得 15
4 <≤ a
22.解：(1) 方法一： ∵ x>1 , ，
当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0；
方法二：∵ x>1，
当且仅当 即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.
方法三：求导（略）……………………………………4分
（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=
设 F(x)=g(x)－h(x)= ( 且 )，则
，……………………………6分
令 得x=3或x=1（舍）又∵ ， ，
，F（3）＝6ln3－15+m
根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如
下：………………11分
由此可得：
当 或
时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；
当 时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；
当 时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.
23.解：（I）由图形 知： ，
∴函数f（x）的解析式为 …………………………4分
（Ⅱ）由
得
∵0≤t≤2
∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（ …………………………6分
由定积分的几何意义知：
01x
)4x(
1x
16x8x)x(f
22
≥−
−=−
+−=
061x
9)1x(261x
91x)x(f =−−⋅−≥−−+−=
1x
91x −=−
2xx8 −
mx8xxln6 2 +−+ 0x > 1x ≠
x
)3x)(1x(28x2x
6)x('F
−−=−+=
0)x('F = −∞=
→ )x(Flim
0x
+∞=
+∞→ )x(Flim
x
7m)x(Flim
1x
−=
→
7m ≤ 3ln615m −>
3ln615m −=
3ln615m7 −<<
=
=
−=
=−
=+⋅+⋅
=
0
8
1
,164
4
088
0
2
2
c
b
a
a
bac
cba
c
解之得：
xxxf 8)( 2 +−=
+−=
+−=
xxy
tty
8
8
2
2
,8,,0)8(8 21
2 txtxttxx −==∴=−−−
)8, 2 ttt +−
∫ ∫ +−−+−++−−+−= 1
0
2 222 )]8()8[()]8()8[()( t
dxttxxdxxxtttS
………………………………9分
（Ⅲ）令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
当x∈（0，1）时， 是增函数；
当x∈（1，3）时， 是减函数
当x∈（3，+∞）时， 是增函数
当x=1或x=3时，
∴
………………………………12分
又因为当x→0时，
当
所以要使 有且仅有两个不同的正根，必须且只须
即
∴m=7或
∴当m=7或 时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．
24.解：(I) f(x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,
因为f(x)单调递增，
所以(x)≥0，
即 3x2-4x+1≥0,
解得，x≥1, 或x≤ ,……………………………2分
2
2
23
1
0
22
2 )8()2
8
3[()]20
8
3()8[(
t
xttxxxxxtt ⋅+−−+−++−−+−=
3
4016103
4 23 +−+−= ttt
.ln68)()()( 2 mxxxxfxgx ++−=−=ϕ
mxxxx ++−= ln68)( 2ϕ
)0()3)(1(2682682)(
2
' >−−=+−=+−=∴ xx
xx
x
xx
xxxϕ
)(,0)(' xx ϕϕ >
)(,0)(' xx ϕϕ <
)(,0)(' xx ϕϕ >
0)(' =xϕ
;7)1()( −= mx ϕϕ 极大值为
153ln6)3()( −+= mx ϕϕ 极小值为
−∞→)(xϕ
+∞→+∞→ )(xx ϕ时，
0)( =xϕ
>
=
<
=
0)1(
0)3(
0)3(
0)1(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
或
>−
=−+
<−+
=−
07
0153ln6
0153ln6
07
m
m
m
m 或
.3ln615 −=m
.3ln615 −=m
3
1
故f(x)的增区间是(-∞， )和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤ .………………………4分
故有 ≤(1)≤ ，
≤(-1)≤ ，
≤(0)≤ ,………………………5
即 ………6
①+②，得
≤ab≤ ，……………………………8分
又由③，得
ab= ，
将上式代回①和②，得
a+b=0,
故f(x)=x3 x. ……………………9分
(III) 假设⊥ ,
即 = = st+f(s)f(t)=0, ……………10分
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, ……………………………………11分
由s，t为(x)=0的两根可得，
s+t= (a+b), st= , (0
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