天津高考数学文科试卷及答案

天津高考数学文科试卷及答案

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学（文史类）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：‎ 如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，‎ ‎ P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．‎ 柱体的体积公式V 柱体=Sh， 圆锥的体积公式V =Sh ‎ 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高．‎ h 表示棱柱的高．‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 ‎（4）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）设，，则“”是“”的 ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 ‎ ‎（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（6）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，‎ 则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.‎ ‎2、本卷共12小题，共计110分.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）i是虚数单位，复数满足，则的实部为_______.‎ ‎（10）已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ ‎（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为_______.‎ ‎（第11题图）‎ ‎（12）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.‎ ‎（13）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.‎ ‎(14) 已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.‎ ‎(Ⅰ)求B；‎ ‎(Ⅱ)若，求sinC的值 ‎(16)(本小题满分13分)‎ 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：FG||平面BED；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；‎ ‎(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 已知是等比数列，前n项和为，且.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 设函数，，其中 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学（文史类）参考答案 一、选择题：‎ ‎（1）【答案】A ‎（2）【答案】A ‎（3）【答案】B ‎（4）【答案】A ‎（5）【答案】C ‎（6）【答案】C ‎（7）【答案】B ‎（8）【答案】D 二、填空题：‎ ‎（9）【答案】1‎ ‎（10）【答案】3‎ ‎（11）【答案】4‎ ‎（12）【答案】‎ ‎（13）【答案】‎ ‎ (14) 【答案】‎ 三、解答题 ‎（15）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解 试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；‎ ‎（Ⅱ）解：由得，则，所以 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 ‎(16)‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润 试题解析：（Ⅰ）解：由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.‎ ‎（Ⅱ）解：设利润为万元，则目标函数，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大.解方程组得点的坐标为，所以.‎ 答：生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.‎ 考点：线性规划 ‎【结束】‎ ‎ (17) ‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出，即（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点作于点，则平面，从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且 ‎，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：在中，，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（Ⅲ）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为 考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 ‎【结束】‎ ‎ (18) ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由解得，分别代入得，（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：‎ 试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以.‎ ‎（Ⅱ）解：由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.‎ 设数列的前项和为，则 考点：等差数列、等比数列及其前项和 ‎【结束】‎ ‎（19）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.‎ 试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 设，由方程组 消去，‎ 整理得，解得或，‎ 由题意得，从而，‎ 由（1）知，设，有，，‎ 由，得，所以，‎ 解得，因此直线的方程为，‎ 设，由方程组 消去，得，‎ 在中，，‎ 即，化简得，即，‎ 解得或，‎ 所以直线的斜率为或.‎ 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 ‎【结束】‎ ‎（20）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得即，再由化简可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.‎ 试题解析：（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：‎ ①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.‎ ②当时，令，解得或.‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.‎ 由题意得，即，‎ 进而，‎ 又，且，‎ 由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，‎ 所以.‎ ‎（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：‎ ①当时，，由（1） 知在区间上单调递减，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此，‎ ‎ 所以.‎ ②当时，，‎ 由（1）和（2） 知，，‎ 所以在区间上的取值范围为，‎ 所以 ‎.‎ ‎③当时，，由（1）和（2）知，‎ ‎，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此，‎ ‎.‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.‎ 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 ‎【结束】‎