高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题 考点预测和题型解析 在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。‎ l 考题预测 离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。‎ 从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。‎ l 复习建议 ‎1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用.‎ 离散型随机变量的分布列的作用是：‎ ‎（1）可以了解随机变量的所有可能取值；‎ ‎（2）可以了解随机变量的所有取值的概率；‎ ‎（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。‎ ‎2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。‎ ‎3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。‎ ‎4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。‎ l 知识点回顾 ‎ 1．离散型随机变量的期望：‎ ‎（1）若离散型随机变量的概率分布为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ ‎ ‎ ‎ ---‎ 则称为的数学期望（平均值、均值）‎ ‎ 简称为期望。‎ ‎ ① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。‎ ‎② 是一个实数，由的分布列唯一确定。‎ ‎③ 随机变量是可变的，可取不同值。‎ ‎④ 是不变的，它描述取值的平均状态。‎ ‎（2）期望的性质：‎ ‎ ① ‎ ‎ ② ‎ ‎ ③ 若，则 ‎ ‎ ④ 若，则 ‎ ‎2．离散型随机变量的方差 ‎（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为 则称 ……；为 的方差。‎ ‎① 反映随机变量取值的稳定与波动。‎ ‎② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。‎ ‎③ 是一个实数，由的分布列唯一确定。‎ ‎④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散。‎ ‎⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差，‎ 记作。‎ 注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。‎ ‎（2）方差的性质：‎ ‎ ① ‎ ‎ ② ‎ ‎ ③ 若，则 ‎ ‎ ④ 若，则 ‎ ‎⑤ ‎ l 考点预测 根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测：‎ 考点1：产品检验问题 ‎【例1】已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求 ‎（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；‎ ‎（Ⅱ）取得正品元件个数的数学期望.‎ ‎【分析及解】（I）从甲盒中取两个正品的概率为P（A）=‎ 从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=……4分 ‎∵A与B是独立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）=‎ ‎ （II）的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎……12分 ‎【例2】 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.‎ ‎（I）求第一天通过检查的概率；‎ ‎（II）求前两天全部通过检查的概率；‎ ‎（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.‎ ‎【分析及解】（I）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，∴第一天通过检查的概率为 ‎ ‎ （II）同（I），第二天通过检查的概率为 ‎ 因第一天，第二天是否通过检查相互独立。‎ ‎ 所以，两天全部通过检查的概率为：‎ ‎（II）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2，‎ 因此，‎ 考点2：比赛问题 ‎【例3】A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立.‎ ‎ （1）求A队夺冠的概率；‎ ‎ （2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.‎ ‎【分析及解】（1）A队连胜3场的概率为，‎ ‎ 打4场胜3场的概率为，‎ ‎ 打5场胜3场的概率为 ‎ 又以上事件是互斥的，‎ ‎ ∴A队获胜的概率为P=P1+P2+P3=‎ ‎ （2），（A队连胜3场或B队连胜3场），‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ .‎ ‎【例4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为.‎ ‎ （Ⅰ）求的概率分布；‎ ‎ （Ⅱ）求E.‎ ‎【分析及解】（Ⅰ）=3，4，5. ‎ 的概率分布为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.2800‎ ‎0.3744‎ ‎0.3456‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）E=3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656. ‎ 考点3：射击，投篮问题 ‎【例5】甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中标，‎ 相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响.‎ ‎ （1）甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率；‎ ‎ （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；‎ ‎ （3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？‎ ‎【分析及解】（1）甲至少一次未击中目标的概率P1是 ‎ ‎ ‎ （2）甲射击4次恰击中2次概率为 ‎ 乙射击4次恰击中3次概率为 ‎ ‎ 由乘法公式得 ‎ ‎ （3）乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为：‎ ‎ ‎ ‎【例6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：‎ ‎ （1）乙投篮次数不超过1次的概率；‎ ‎1.3.5‎ ‎ （2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【分析及解】记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。‎ ‎ 解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，‎ 所求的概率是P = P（A+ ‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：乙投篮次数不超过1次的概率为 ‎ ‎ 解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是 ‎ ‎ ‎ = ‎ ‎ ‎ ‎ 答：乙投篮次数不超过1次的概率为 ‎ ‎ （2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，‎ ‎1.3.5‎ ‎ ‎ 甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4‎ P ‎ ‎ 甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为 ‎ ‎ 答：甲、乙投篮次数总和ξ的数学期望为 考点4：选题，选课，做题，考试问题 ‎【例7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：‎ ‎ （1）求该题被乙独立解出的概率。‎ ‎ （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。‎ ‎【分析及解】（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.‎ 设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出此题的概率为P2.‎ 则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2‎ P（A+B）=1－P（）‎ ‎=1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92‎ ‎∴0.6+P2－0.6P2=0.92‎ 则 0.4P2=0.32即P2=0.8. ‎ ‎ （2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08‎ P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44‎ P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48‎ ξ的概率分布为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.08‎ ‎0.44‎ ‎0.48‎ Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4‎ ‎∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。‎ ‎【例8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.‎ ‎ （Ⅰ）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；‎ ‎ （Ⅱ）求的分布列和数学期望.‎ ‎【分析及解】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z ‎ 依题意得 ‎ （I） 若函数为R上的偶函数，则=0 ‎ ‎ 当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 ‎ =0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24‎ ‎ ∴事件A的概率为0.24 ‎ ‎ （II）依题意知=0.2‎ ‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ P ‎0.24‎ ‎0.76‎ ‎ ‎ ‎ ∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.52 ‎ 考点5：试验，游戏，竞赛，研究性问题 ‎【例9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.‎ ‎ （I）求ξ的所有可能取值；‎ ‎ （II）求ξ的分布列；‎ ‎ （III）求ξ的期望Eξ.‎ ‎【分析及解】解法一（I）ξ的所有可能取值为3400，2400，1400，400‎ ‎ （II）‎ ‎ ‎ ‎ ξ的分布列为 ‎ ξ 3400 2400 1400 400‎ ‎ P ‎ ‎ （III）‎ ‎ 解法二 设该顾客中奖奖券η张，则 ‎ （II）‎ ‎ （III）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以η的数学期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5‎ ‎ ‎ ‎ 由于按先A后B或先B后A的次序答题，获得奖金期望值的大小相等，故获得奖金期 望值的大小与答题顺序无关. ‎ ‎【例10】某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.‎ ‎ （1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；‎ ‎ （2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.‎ ‎【分析及解】（Ⅰ）记“恰好选到12个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A，则其概率为 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）随机变量=2，3，4‎ P（=2）=P（=3）= ‎ P（=4）=∴随机变量的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴E=2×+3×+4×=‎ 考点6：旅游，交通问题 ‎【例11】春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：‎ ‎ （Ⅰ）随机变量的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）随机变量的期望.‎ ‎【分析及解】解法一：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4，‎ ‎ 由等可能性事件的概率公式得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 从而的分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ （II）由（I）得的期望为 ‎ ‎ ‎ 解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ ‎ ‎ ‎ 解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。‎ ‎ ‎ ‎【例12】 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.‎ ‎ （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 ‎ （2）求恰有2条线路没有被选择的概率.‎ ‎ （3）求选择甲线路旅游团数的期望.‎ ‎【分析及解】（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=‎ ‎ （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=‎ ‎ （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3‎ ‎ P（ξ=0）= P（ξ=1）= ‎ ‎ P（ξ=2）= P（ξ=3）= ‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ∴ξ的分布列为 ‎ ‎ ‎ ∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=‎ 考点7：摸球问题 ‎1,3,5‎ ‎【例13】甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为 ‎ （1）求n的值；‎ ‎ （2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.‎ ‎【分析及解】（1）由得n=4‎ ‎1 2 3 4‎ ‎1 2 3‎ ‎ （2） 甲盒 乙盒 是被抽取的2个小球得分之和 则有P（=1）=‎ ‎ P（=2）=‎ P（=3）=‎ P（=4）=‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 概率分布表：‎ ‎∴E=‎ ‎【例14】一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。‎ ‎ （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；‎ ‎ （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.‎ ‎【分析及解】解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，‎ ‎∵“两球恰好颜色不同”共2×4+4×2=16种可能，‎ 解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验 ‎∵每次摸出一球得白球的概率为 ‎∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 ‎（2）设摸得白球的个数为，依题意得 考点8：摸卡片，数字问题 ‎【例15】在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.‎ ‎ （I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；‎ ‎ （II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由.‎ ‎【分析及解】（I）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件为3，4，5，6四个数中取出两个，且应除去3，4两个数字。‎ ‎ 故所求事件概率. ‎ ‎ （II）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ=2，3，4，5，6.‎ ‎ ‎ ‎ 若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η，‎ η=1，2，3，4，5，6.‎ ‎ ∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数 字中最大数字的期望值不相等.‎ ‎【例16】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎ （Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎ （Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；‎ ‎【分析及解】(Ⅰ)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，‎ 则PA．=. ‎ ‎ （Ⅱ）由题意得，有可能的取值为：2，3，4，5.‎ ‎，‎ ‎20070212‎ ‎，‎ 所以随机变量的概率分布为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 因此的数学期望为 ‎ ‎ 考点9：入座问题 ‎【例17】编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一 ‎ 个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.‎ ‎（1）求随机变量的概率分布；‎ ‎（2）求随机变量的数学期望和方差.‎ ‎【分析及解】 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0‎ （Ⅰ）‎ ‎ ∴概率分布列为： ‎ ‎（Ⅱ）……（9分）‎ 注：可以不列出“P（”.‎ ‎【例18】‎20070515‎ 有编号为1，2，3，……n的n个学生，入座编号为1，2，3，……n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知=2时，共有6种做法，‎ ‎ （1）求n的值；‎ ‎ （2）求随机变量的概率分布列和数学期望.‎ ‎【分析及解】（Ⅰ）当时，有种坐法， ‎ ‎，即，‎ ‎，或（舍去）． ‎ ‎． ‎ ‎（Ⅱ）的可能取值是，‎ 又， ， ‎ ‎ ，， ‎ 的概率分布列为：‎ P ‎ ‎ ‎… ‎ 则． ‎ 考点10：信息问题 ‎【例19】 如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.‎ ‎ （Ⅰ）写出最大信息总量的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）求最大信息总量的数学期望.‎ ‎【分析及解】（1）由已知，的取值为7，8，9，10.‎ 的概率分布列为 ‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P P ‎（2）‎ ‎【例20】如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.‎ ‎ （I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；‎ ‎ （II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.‎ ‎【分析及解】（I）‎ ‎ ‎ ‎ （II）‎ ‎ ∴线路通过信息量的数学期望 ‎ ‎ 答：（I）线路信息畅通的概率是.‎ ‎ （II）线路通过信息量的数学期望是6.5.‎ 考点11：路线问题 ‎【例21】如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）. 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.‎ ‎ （I）求点P恰好返回到A点的概率；‎ C D A B ‎ （II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望.‎ ‎【分析及解】（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为 ‎ 因为只投掷一次不可能返回到A点；‎ ‎ 若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：‎ ‎ （1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为 ‎ 若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：‎ ‎ （1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为 ‎ 若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）‎ ‎ 其概率为 ‎ 所以，点P恰好返回到A点的概率为 ‎ （II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，Eξ=2·+3·+4·=‎ ‎【例22】把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进。现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字。P从A点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷.‎ ‎ （1）求点P恰好返回A点的概率；‎ ‎ （2）在点P转一周恰能返回A点的所有结果中，用随即变量表示点P能返回A点的投掷次数，求的分数列和期望.‎ ‎【分析及解】（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为，则：①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为；‎ ‎ ②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，‎ ‎ 其概率为；‎ ‎ ③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，‎ ‎ 其概率为；‎ ‎ ④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为；‎ ‎ （以上每一种情况1分，共4分）‎ ‎ 则能返回A点的概率为： ‎ ‎ （2）的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以期望